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Vídeo da aula: Volumes das Pirâmides Matemática • 8º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar volumes de pirâmides triangulares ou quadriláteras e resolver problemas, incluindo situações da vida real.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar os volumes de pirâmides triangulares e quadriláteras e resolver problemas, inclusive em situações da vida real.

Podemos começar nos lembrando do que é uma pirâmide. Uma pirâmide é uma forma tridimensional em que a base é um polígono, por exemplo, um triângulo, um quadrado, um pentágono ou assim por diante. E todos os outros lados são triângulos que se encontram no vértice da pirâmide.

Podemos lembrar que existem dois tipos especiais de pirâmides. O primeiro tipo é uma pirâmide reta, que é uma pirâmide cujo vértice fica acima do centroide da base. O segundo tipo é uma pirâmide regular, que é uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular. Ou seja, todos os lados da base têm o mesmo comprimento e todas as arestas laterais da pirâmide são do mesmo comprimento. E agora, vamos pensar sobre o volume de uma pirâmide.

O volume de uma forma tridimensional é a quantidade de espaço que essa forma ocuparia. Se imaginarmos encher essa pirâmide com água e depois jogá-la em um recipiente, quanta água haveria? Então, vamos imaginar que temos um prisma que tem o mesmo comprimento, largura e altura da pirâmide. Se pegássemos nossa pirâmide cheia de água e a derrubássemos no prisma, o volume da água no prisma seria um terço da altura do prisma. Podemos, portanto, dizer que, para encontrar o volume de uma pirâmide, é igual a um terço vezes a área da base vezes a altura da pirâmide. E esta é a fórmula que usamos para encontrar o volume de uma pirâmide.

Neste diagrama, a área da base é um retângulo, então multiplicaríamos o comprimento pela largura. Mas, claro, o polígono na base pode ter qualquer forma. Por exemplo, se fosse um triângulo, precisaríamos usar a fórmula para encontrar a área do triângulo para calcular a área da base. Então, agora, vamos ver algumas questões envolvendo o volume de uma pirâmide. Neste vídeo, veremos apenas as pirâmides que têm uma base triangular ou quadrilátera.

Determine, para o centésimo mais próximo, o volume da pirâmide dada.

Então, aqui, temos uma pirâmide com uma base retangular. Vamos usar a fórmula de que o volume de uma pirâmide é igual a um terço vezes a área da base vezes a altura. Para encontrar a área da base, como sabemos que se trata de um retângulo, vamos multiplicar o comprimento pela largura, dando seis multiplicado por quatro. E são 24 centímetros quadrados.

Para encontrar o volume da pirâmide então, usando a fórmula, temos que é igual a um terço multiplicado pela área da base, que é 24. Multiplicado pela altura da pirâmide, que é de nove centímetros. Podemos então encontrar um terço de 24 ou nove. Nesse caso, podemos encontrar um terço de 24 como oito. E assim, nosso cálculo é oito multiplicado por nove, que é 72. E as unidades aqui, como é um volume, seriam centímetros cúbicos. Como somos solicitados a dar nossa resposta ao centésimo mais próximo, podemos indicar isso com uma resposta com centésimos de 72,00 centímetros cúbicos.

Vamos agora dar uma olhada em uma questão envolvendo uma pirâmide triangular.

Determine, para o décimo mais próximo, o volume do sólido dado.

Podemos ver que este sólido tem uma base triangular e três outras faces triangulares, o que significa que esta é uma pirâmide de base triangular. E assim, para encontrar o volume, podemos lembrar que a fórmula para o volume de uma pirâmide é que ele é igual a um terço vezes a área da base vezes a altura. Como temos uma pirâmide triangular aqui, a área da base pode ser qualquer um dos quatro lados triangulares. Para mantê-lo simples, no entanto, vamos usar o que está destacado em laranja aqui.

E assim, para encontrar a área da base, podemos usar a fórmula que a área de um triângulo é igual a metade da base vezes a altura. E, portanto, neste triângulo na base, temos uma base de 10 e uma altura de oito. Então, nós calculamos um meio vezes 10 vezes oito. Poderíamos então simplificar isso para o cálculo cinco vezes oito, que dará 40, com unidades de centímetros quadrados.

Usando isso no volume de uma pirâmide, teremos um terço multiplicado por 40 e multiplicado pela altura dessa pirâmide, que seria de cinco centímetros. Portanto, o volume é 200 sobre três, ou 200 dividido por três, que é 66,6 centímetros cúbicos repetidos. E para arredondar para o décimo mais próximo, pois nossos algarismos seriam a dízima seis seis seis, isso significa que quando verificamos nosso segundo algarismo decimal, teríamos um valor que é cinco ou mais. E nossa resposta para o volume será arredondada para 66,7 centímetros cúbicos.

Calcule o volume de uma pirâmide de base quadrada com uma altura de 12 polegadas e um comprimento de base de cinco polegadas.

Vamos começar essa pergunta esboçando um diagrama dessa pirâmide. Como nos é dito que essa pirâmide tem um comprimento de base de cinco polegadas, já que isso é um quadrado, sabemos que tanto o comprimento quanto a largura serão os mesmos. A altura de 12 polegadas se refere à altura perpendicular da pirâmide. Podemos lembrar que o volume de uma pirâmide é igual a um terço multiplicado pela área da base multiplicada pela altura.

Então, para encontrar a área da base, que é um quadrado neste caso, sabemos que esse será o comprimento multiplicado pelo comprimento. Então, são cinco vezes cinco, dando 25 polegadas quadradas. Então, para encontrar o volume da pirâmide, pegamos a área da nossa base, que é 25. Então, temos um terço vezes 25 vezes a altura, que é de 12 polegadas. Podemos simplificar esse cálculo encontrando um terço de 12, que é quatro. Então, agora temos o cálculo 25 multiplicado por quatro, que é 100. E nossas unidades aqui serão polegadas cúbicas. Portanto, nossa resposta final para o volume da pirâmide é de 100 polegadas cúbicas.

Na pergunta a seguir, veremos um exemplo de como às vezes podemos precisar usar o teorema de Pitágoras para nos ajudar a obter todos os valores que precisamos para o volume de uma pirâmide.

Encontre o volume da seguinte pirâmide regular arredondado para o centésimo mais próximo.

Como nos é dito que esta é uma pirâmide regular, isso significa que a base da pirâmide é um polígono regular. E assim, sabemos que o comprimento de todos os lados do triângulo na base será de 14 centímetros. Para encontrar o volume de uma pirâmide, calculamos um terço multiplicado pela área da base multiplicada pela altura.

Vamos começar calculando a área desse triângulo na base da pirâmide. Para encontrar a área de um triângulo, calculamos metade da base vezes a altura. Se olharmos mais de perto para esse triângulo, sabemos que ele terá todos os três lados de 14 centímetros. O que significa que sabemos o comprimento da base, mas não sabemos a altura desse triângulo. Como temos um triângulo retângulo, poderíamos aplicar o teorema de Pitágoras.

O teorema de Pitágoras nos diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. Então, vamos usar o teorema de Pitágoras para calcular a altura do nosso triângulo. Podemos definir a altura aqui como o valor desconhecido de 𝑥. Então, a hipotenusa aqui, 𝑐 ao quadrado, será 14 ao quadrado, que é igual a 𝑥 ao quadrado, mais sete ao quadrado, pois sete é metade de 14. E estamos usando a metade menor do triângulo da base original.

Calculando os quadrados, então, temos 196 igual a 𝑥 ao quadrado mais 49. Em seguida, reorganizamos subtraindo 49 de ambos os lados da equação, dando-nos 147 iguais 𝑥 ao quadrado. E então pegamos a raiz quadrada de ambos os lados para nos dar a raiz quadrada de 147 igual a 𝑥. Vamos manter nossa resposta nesta forma de raiz quadrada enquanto continuamos com a pergunta.

Então, agora, descobrimos que a altura do triângulo é a raiz quadrada de 147. Podemos calcular a área desse triângulo usando a fórmula. Então, nossa área é igual a metade da base, que é 14, e multiplicada pela altura, que é a raiz quadrada de 147. Podemos simplificar esse cálculo para sete multiplicado pela raiz quadrada de 147. Poderíamos neste estágio calcular isso usando uma calculadora, mas como ainda precisamos calcular o volume, podemos mantê-lo neste formato de sete raiz de 147.

Agora nós calculamos a área do triângulo - que é a área da base da pirâmide - podemos ir em frente e calcular o volume da pirâmide. Então, nosso volume é igual a um terço multiplicado pela área da base, que é sete raiz de 147, multiplicado pela altura da pirâmide, que é 17 centímetros. Usando nossa calculadora, podemos calcular isso como a dízima 480,93277. E arredondar para o centésimo mais próximo significa que verificamos nosso terceiro algarismo decimal para ver se é cinco ou mais. E como não é, nossa resposta permanece como 480,93. E nossas unidades aqui serão centímetros cúbicos.

Na pergunta final, receberemos o volume e a altura de uma pirâmide, e precisaremos calcular o perímetro do polígono na base da pirâmide.

Dado que uma pirâmide quadrada tem um volume de 372 centímetros cúbicos e uma altura de 31 centímetros, determine o perímetro de sua base.

Então, vamos modelar nossa pirâmide quadrada com volume de 372 centímetros cúbicos. A altura de 31 centímetros se refere à altura perpendicular da pirâmide. Somos solicitados a calcular o perímetro da base dessa pirâmide quadrada. Essa é a distância ao redor do lado de fora.

Vamos considerar o que sabemos sobre o volume de uma pirâmide. Podemos lembrar que o volume de uma pirâmide é igual a um terço multiplicado pela área da base multiplicada pela altura. Isso não nos ajudará diretamente a calcular o perímetro. Mas se pudéssemos calcular a área da base, poderíamos seguir em frente e calcular o perímetro. Então, vamos começar preenchendo as informações que sabemos nessa fórmula.

Isso nos dará 372 - que é o volume da pirâmide - é igual a um terço vezes a área da base vezes 31, que é a altura da pirâmide. Podemos simplificar o lado direito escrevendo um terço multiplicado por 31 como 31 sobre três. Em seguida, queremos isolar a área da base, então realizamos a operação inversa para multiplicar por 31 sobre três. E isso é dividir por 31 sobre três, que é o mesmo que multiplicar por três sobre 31. Então, temos 372 vezes três sobre 31 é igual à área da base.

Podemos calcular isso sem uma calculadora, observando que 31 cabe em 372, 12 vezes. O que significa que a área da base é igual a 12 vezes três, o que equivale a 36 centímetros quadrados. Então, agora que calculamos a área do quadrado na base, podemos usar isso para calcular o comprimento dos lados e, portanto, calcular o perímetro.

Então, se nossos comprimentos laterais são 𝑥 por 𝑥, isso significa que a área 𝑥 ao quadrado seria igual a 36. Portanto, o comprimento 𝑥 é igual à raiz quadrada de 36, que é de seis centímetros. E assim, o perímetro, que é a distância ao redor desse quadrado, é igual a seis mais seis mais seis, que é 24 centímetros.

Agora, vamos resumir o que aprendemos neste vídeo. Lembramos que as pirâmides são formas geométricas tridimensionais onde a base é um polígono e todos os outros lados são triângulos que se encontram no vértice. Também analisamos o significado de uma pirâmide reta e uma pirâmide regular.

Vimos que o volume de uma pirâmide é um terço do volume do prisma da mesma base e altura. Escrevemos isso como uma fórmula em que o volume de uma pirâmide é igual a um terço multiplicado pela área da base multiplicada pela altura. E, finalmente, como vimos em um de nossos exemplos, pode haver momentos em que precisamos usar o teorema de Pitágoras para nos ajudar a calcular dimensões desconhecidas.

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