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Neste vídeo, vamos falar de força centrípeta. Esta é uma força que faz com que um objeto se mova num arco circular. Podemos começar a discutir esta força falando sobre a palavra centrípeta. Significa em direção ao centro. Portanto, se temos um objeto, como este, que se está a mover numa trajetória circular, esta força centrípeta que experimenta para mantê-lo nessa trajetória está sempre a apontar para o centro do círculo. Neste sentido, esta força, geralmente abreviada 𝐹 índice c, é em direção ao centro. Algo muito importante a ver sobre a força centrípeta é que não é uma força nova que poderíamos dizer que estamos a introduzir. Este é simplesmente o nome que damos a qualquer força que age sobre um objeto em direção ao centro de um arco circular em que o objeto está a viajar.
Por exemplo, digamos que este objeto aqui que se está a mover numa trajetória circular seja um carro a percorrer uma estrada circular horizontal. Quando pensamos qual é a força que mantém o carro na estrada enquanto percorre a trajetória, sabemos que esta força é o atrito entre os pneus e a superfície da estrada. Portanto, neste exemplo, é a força de atrito que é uma força centrípeta ou em direção ao centro. Ou imagine este cenário. Digamos que temos um satélite em órbita circular ao redor da Terra. A força que atrai o satélite para o centro da sua trajetória circular é a força da gravidade. Portanto, neste caso, a gravidade é a força centrípeta que atua no satélite. Veremos mais exemplos destas várias forças em direção ao centro à medida que avançamos.
O ponto é que, em cada caso, a força centrípeta não é uma força nova ou separada que estamos a adicionar à imagem. Pelo contrário, ela já está lá, presente nas circunstâncias físicas particulares. Agora, sempre que falamos de forças a atuar sobre objetos, podemos lembrar-nos da segunda lei do movimento de Newton. Lembre-se de que esta lei nos diz que a força resultante que atua num objeto é igual à massa desse objeto multiplicada pela sua aceleração.
Portanto, quando um objeto que se move em círculo experimenta uma força, a força centrípeta, se esta é a única força que atua no objeto, esta força deve ser igual à massa do objeto multiplicada pela sua aceleração. Mas aqui está algo interessante sobre a equação da segunda lei de Newton. Esta é realmente uma equação vetorial. Isto porque a força, assim como a aceleração, é um vetor. Portanto, se escrevermos isto para reconhecer isso, diríamos que o vetor de força é igual à massa de um objeto vezes o vetor aceleração do objeto.
Como força e aceleração são os únicos vetores nesta equação, isso significa que apontam no mesmo sentido. E, portanto, esta aceleração aqui, provocada pela força centrípeta que atua sobre a nossa massa, também deve apontar para o centro do círculo em que esta massa se está a mover. Portanto, podemos chamar esta aceleração de aceleração centrípeta. E vamos chamá-la de 𝑎 índice c. Ok, então estes objetos que identificámos estarem a mover-se em círculo fazem-no porque estão a experimentar uma força em direção ao centro. E, portanto, também aceleram em direção ao centro destes círculos.
Mas aqui está algo interessante. Os vetores velocidade destes objetos não apontam no mesmo sentido da sua aceleração. Ou seja, não apontam para o centro destas trajetórias circulares. Em vez disso, apontam tangentes à parte da trajetória circular onde o objeto está em cada instante. Portanto, a velocidade do nosso carro, 𝑣 índice c, aponta assim. E a velocidade do nosso satélite, 𝑣 índice s, é assim.
Observe que isso significa que a velocidade de cada um destes objetos é perpendicular à aceleração de cada um. Agora, como estes dois objetos estão a mover-se em círculos, há outra coisa que podemos dizer sobre cada cenário. Em cada cenário, a trajetória circular em que o nosso objeto se está a mover tem um raio específico. Chamamos o raio do nosso círculo de carros 𝑟 índice c e o raio do nosso círculo de satélites 𝑟 índice s. Agora, trazemos isto à tona porque existe outra maneira de expressar a aceleração centrípeta, a aceleração de um objeto que se move num círculo. É igual à velocidade tangencial do objeto, em qualquer ponto da trajetória circular, ao quadrado e depois dividido pelo raio do círculo em que o objeto se move.
Se olharmos para esta equação e nos lembrarmos que a velocidade é um vetor, poderemos pensar que a aceleração centrípeta do nosso objeto dependerá do valor da velocidade que escolhermos utilizar nesta equação. Por exemplo, considerando o nosso carro a percorrer um círculo, e se, em vez de utilizar a velocidade do carro quando estiver aqui, utilizarmos a sua velocidade quando estiver aqui no círculo ou aqui ou aqui ou aqui ou em qualquer outro lugar? Certamente é verdade que as direções destes vetores de velocidade não são as mesmas. Mas os seus módulos são. Portanto, independentemente de qual delas utilizarmos, já que estamos a fazer o quadrado deste termo na nossa equação da aceleração centrípeta, obteremos o mesmo resultado, não importa qual seja. E isto aponta para o facto de que esta equação está a mostrar-nos o módulo da aceleração centrípeta.
Agora, se considerarmos o segundo membro desta equação e substituirmo-lo por 𝑎 índice c aqui, então podemos começar a ver algumas relações interessantes entre a velocidade do nosso objeto e o raio do círculo em que viaja e a força centrípeta que experimenta. Podemos ver, por exemplo, que se aumentássemos a velocidade do nosso objeto sem alterar o raio do círculo em que se move, a força em direção ao centro que o objeto experimenta aumentaria por um fator maior do que o fator pelo qual a nossa velocidade aumentou. Isso porque pegamos na nossa velocidade e a colocamos ao quadrado para nos ajudar a calcular a força centrípeta.
Por outro lado, digamos que devemos manter a nossa velocidade como antes. Mas agora diminuímos o raio do círculo em que o nosso objeto se move. Mais uma vez, isso levaria a um aumento na força centrípeta. Para um raio menor e com a mesma velocidade, é preciso mais força para manter um objeto em movimento em círculo. Assim, até agora, falámos apenas de variáveis lineares, velocidade linear e aceleração linear. Mas sabemos que também existem versões angulares destas variáveis. Por exemplo, se temos um objeto a mover-se num círculo de raio 𝑟 com uma velocidade tangencial, isto é, velocidade linear 𝑣, podemos dizer que este objeto tem uma velocidade angular simbolizada utilizando a letra grega 𝜔. E a relação entre a velocidade linear 𝑣 e a velocidade angular 𝜔 deste objeto é que 𝑣 é igual a 𝑟 vezes 𝜔.
Agora, se considerarmos as unidades envolvidas para estes fatores no segundo membro, a unidade base SI para distância linear é metros. E, em seguida, as velocidades angulares são geralmente dadas em radianos por segundo. Mas então, e esta é uma observação importante, a unidade de radianos é adimensional. Portanto, quando multiplicamos o raio 𝑟 pela velocidade angular 𝜔, as unidades resultantes são simplesmente metros por segundo, sem nenhuma unidade de radianos envolvida. Estas são as unidades da velocidade 𝑣. Então, entendendo que 𝑣 igual a 𝑟 vezes 𝜔, podemos pegar no segundo membro desta expressão e substituí-la por 𝑣 na nossa equação da força centrípeta. Quando fazemos isso, podemos ver que o quadrado de 𝑟 vezes 𝜔 dar-nos-á dois fatores de 𝑟, um dos quais anula com o 𝑟 no denominador. E a nossa equação simplifica para 𝐹 índice c igual a 𝑚 vezes 𝑟 vezes 𝜔 ao quadrado.
E agora vamos relembrar algo sobre esta equação de antes. Lembre-se de que, de acordo com a segunda lei de Newton, esta equação lia-se 𝐹 índice c é igual a 𝑚 vezes 𝑎 índice c, a aceleração centrípeta. A forma da equação agora diz-nos que 𝑟 vezes 𝜔 ao quadrado é igual a esta aceleração centrípeta. E podemos indicar este facto aqui em baixo. Agora, antes de começarmos a trabalhar com forças centrípetas, vamos considerar este cenário específico. Digamos que estamos a segurar uma ponta de uma corda, bem aqui, e amarrada à outra extremidade da corda está uma pequena pedra. E digamos que começamos a girar esta corda para que se mova num círculo vertical.
Agora, uma característica de um objeto que se move em círculo é que a sua velocidade é constante. Portanto, a velocidade da nossa pedra aqui é a mesma que aqui e aqui e aqui e em qualquer outro lugar deste arco. Então, recordando esta forma para a força centrípeta que atua na nossa pedra. Se a velocidade da pedra é constante o tempo todo, e é, e o raio do círculo no qual a pedra se move também é constante, e é. Então a força em direção ao centro experimentada pela pedra também deve ser constante no seu valor. Como mencionámos anteriormente, porém, toda força centrípeta tem uma causa física, seja o atrito entre pneus e uma estrada ou a gravidade entre um satélite e a Terra. Sempre há um mecanismo físico a criar uma força em direção ao centro.
Neste caso, podemos ver que um desses mecanismos é a tensão na nossa corda. Esta força de tensão está sempre a puxar a pedra em direção à nossa mão para o centro do círculo. Portanto, é uma força centrípeta. Mas e aqui é onde as coisas ficam interessantes, porque este é um círculo vertical em que estamos a girar a pedra, a força da gravidade também está envolvida aqui. A diferença importante aqui entre a nossa força de tensão e a gravidade é que a força de tensão aponta sempre para o centro da trajetória circular desta pedra, enquanto a gravidade aponta sempre para baixo. Isso significa que, quando a pedra está no fundo do seu arco circular, a gravidade tende a movê-la para fora da trajetória circular. Ou seja, está a afastá-la do centro do seu círculo, enquanto, por outro lado, quando a pedra está no topo do seu arco, a gravidade e a força de tensão na corda atuam no mesmo sentido, para baixo.
Em casos como estes em que os objetos se estão a mover em círculos verticais, é muito importante perceber que, enquanto continuarem a mover-se num círculo, a força em direção ao centro que atua sobre eles é constante no seu valor. Se a velocidade do objeto e o raio da trajetória circular do objeto não mudarem, a força centrípeta também não muda. Mas o que muda é a intensidade das forças envolvidas na criação da força em direção ao centro. Para mostrar o que queremos dizer com isto, vamos considerar a pedra nestes dois pontos, na parte inferior do arco e na parte superior. Sabemos que em cada um destes casos, a intensidade da força centrípeta que atua nele, e podemos desenhar este vetor força a laranja, é a mesma. Não muda.
Mas então, olhando a força da gravidade e a força da tensão, quando a nossa pedra está no ponto mais baixo do arco, podemos ver que estas forças atuam em sentidos opostos na pedra. A força de tensão está a atuar para cima, enquanto a gravidade está a atuar para baixo. Vamos identificar esta tensão 𝑇 índice b, a tensão na corda quando a pedra está no fundo da sua trajetória. E chamaremos a força gravítica de 𝐹 índice g. Observando os nossos três vetores, 𝐹 índice c, 𝑇 índice b e 𝐹 índice g, podemos dizer que 𝐹 índice c é o resultado de 𝑇 índice b e 𝐹 índice g.
Por outras palavras, a força centrípeta é igual à diferença entre a força de tensão e a força da gravidade que atua na pedra. Se decidirmos que as forças que atuam para cima estão no sentido positivo, poderíamos escrever que a força de tensão, que atua e, portanto, é positiva, menos a força gravítica, a que aponta para a pedra, é igual à força centrípeta na pedra quando está no fundo do seu arco. Então, esta é a nossa equação a mostrar as forças na pedra neste ponto da sua trajetória. Agora vamos considerar quando a pedra está no topo do seu arco. Aqui, todas as três forças que atuam sobre ela apontam para baixo e, pela nossa convenção, são negativas.
Agora chamamos a força de tensão na nossa corda 𝑇 índice b quando a nossa pedra estava no fundo da sua trajetória. Então, vamos chamar a nossa tensão da corda de 𝑇 índice t quando a pedra estiver no topo do seu arco. Agora, como mencionámos, com base na nossa escolha do sentido, todas estas três forças, 𝐹 índice c, a força da gravidade representada aqui por este vetor azul e 𝑇 índice t, são negativas. Então, a equação que mostra as forças que atuam na nossa pedra quando está no topo do seu arco seria assim. Olhando para esta equação, e se multiplicássemos os dois membros por menos um? Isso mudaria todos os sinais negativos para sinais positivos.
E agora, veja isto. Temos duas expressões diferentes da força centrípeta, que dissemos que devem ter a mesma intensidade na nossa pedra em qualquer ponto. E assim podemos igualar estas duas expressões. Se fizermos isso, obteremos um resultado parecido com este. E, como último passo, digamos que adicionamos 𝐹 índice g a cada membro da equação. Agora, estamos a assumir que a intensidade da aceleração gravítica que atua na pedra é constante ao longo de toda a trajetória. E como a massa da pedra também é constante o tempo todo, isso significaria que, no primeiro membro da nossa equação, estamos a adicionar e, em seguida, a subtrair a mesma quantidade de força gravítica. Isso significa que estes termos são anulados. Enquanto no segundo membro, 𝐹 índice g mais 𝐹 índice g pode ser escrito como duas vezes 𝐹 índice g.
E aqui é onde vemos o resultado de todo o nosso trabalho. A força da tensão na corda é diferente quando a pedra está no fundo do seu arco e quando está no topo. De facto, podemos dizer que a força de tensão é menor quando a pedra está no topo do seu arco, porque precisamos de adicionar duas vezes a força de gravidade na pedra a esta tensão para igualar a tensão na corda quando a pedra está no fundo. Portanto, quando o objeto no final de uma corda ou cabo ou cordão se está a mover num círculo vertical, enquanto a força da gravidade é essencialmente a mesma no objeto o tempo todo. E a força centrípeta certamente está em todo o seu movimento circular. É a força de tensão nessa corda ou cordão ou cabo que varia à medida que o objeto se move. Ok, tendo dito tudo isso, vamos dar um exemplo de exercício.
Qual é a intensidade da força centrípeta que deve atuar sobre um objeto de massa 1.0 quilograma para fazê-lo mover-se ao longo de uma trajetória circular de 1.0 metro de diâmetro, completando um círculo a cada 1.0 segundo?
Bem, ok, então neste cenário, temos uma trajetória circular. E disseram-nos que o diâmetro desta trajetória é de 1.0 metros. Junto com isto, temos um objeto cuja massa, que podemos chamar 𝑚, é dada em 1.0 quilograma. Queremos que este objeto se mova pela trajetória circular de maneira que complete um círculo a cada 1.0 segundo. Uma volta ao redor do círculo é uma revolução completa. Então, isso significa que podemos nos referir a este tempo de 1.0 segundo como o nosso período de revolução. A questão é, em tudo isso, qual é a intensidade da força centrípeta que deve atuar sobre esta massa? Ou seja, para que a massa se mova num círculo, deve haver uma força que a faça tender para o centro desse círculo. Essa é a força centrípeta, e queremos descobrir o quão forte é.
Podemos começar por fazer isso recordando que a força centrípeta num objeto é igual à massa do objeto multiplicada pela sua aceleração centrípeta. Agora, a aceleração centrípeta de um objeto é dada pela sua velocidade ao quadrado dividida pelo raio da trajetória circular em que se move. Mas também podemos recordar que, para um objeto que se move num círculo, a sua velocidade linear, a sua velocidade tangencial em torno desse círculo, é igual ao raio do círculo vezes a velocidade angular do objeto 𝜔. Se substituirmos 𝑟 vezes 𝜔 em 𝑣 na nossa equação da aceleração centrípeta, obtemos que é igual à quantidade 𝑟 vezes 𝜔 ao quadrado dividido por 𝑟 ou, mais simplesmente, 𝑟 vezes 𝜔 ao quadrado. Podemos então substituir 𝑟 vezes 𝜔 ao quadrado em 𝑎 índice c na nossa equação da força centrípeta. E agora temos uma expressão para esta força com a qual podemos trabalhar em termos dos nossos parâmetros.
Começando com a massa do nosso objeto, deram-nos 1.0 kg. E, em seguida, o raio do círculo em que o nosso objeto se está a mover é igual ao diâmetro dividido por dois. E, finalmente, há este fator aqui, a velocidade angular ao quadrado. Podemos lembrar que a unidade de 𝜔 é radianos por segundo. E como nos dizem que o nosso objeto completa um círculo a cada 1.0 segundo, lembrando que um círculo completo é igual a dois 𝜋 radianos, podemos dizer que a velocidade angular do nosso objeto é igual a dois 𝜋 radianos divididos por 1.0 segundos. Esta é a sua velocidade angular. Então, substituindo na nossa equação a força centrípeta, eis o que obtemos. A nossa massa, como vimos, é de 1.0 kg. O raio do nosso círculo é o seu diâmetro, 1.0 metros, dividido por dois. Dá 0.5 metros. E, em seguida, a velocidade angular do nosso objeto é de dois 𝜋 radianos em 1.0 segundos. E este fator de 𝜔 está ao quadrado.
Quando calculamos tudo isto, obtemos um resultado de 19.73 e assim por diante, e assim por diante newtons. Mas observe como todos os valores dados na nossa afirmação de problema têm dois algarismos significativos. Este é o número que manteremos na nossa resposta. E para dois algarismos significativos, o nosso resultado é igual a 20 newtons. Esta é a intensidade da força centrípeta a atuar no nosso objeto.
Vamos lembrar alguns pontos-chave agora sobre a força centrípeta. Aprendemos nesta aula que a força centrípeta, fiel ao seu nome, aponta sempre para o centro de um arco circular. Vimos também que, para um objeto de massa 𝑚 movendo-se a uma velocidade 𝑣 num arco circular de raio 𝑟, a força em direção ao centro ou centrípeta que atua nessa massa é igual a 𝑚 vezes 𝑣 ao quadrado 𝑟.
Além disso, identificámos este fator, 𝑣 ao quadrado sobre 𝑟, como uma aceleração centrípeta. E também recordámos a conexão entre as velocidades linear e angular, que é 𝑣 igual a 𝑟 vezes 𝜔, e vimos que isso implica que a aceleração centrípeta pode ser escrita como 𝑟 vezes 𝜔 ao quadrado. E, finalmente, vimos que quando um objeto se move numa trajetória circular vertical, o efeito da gravidade deve ser considerado. Este é um resumo da força centrípeta.
