Vídeo: Calculando Funções que Envolvem Decrescimento Exponencial

Uma população de bactérias decresce como resultado de um tratamento químico. A população 𝑡 horas após o tratamento ter sido aplicado pode ser modelada pela função 𝑃(𝑡), onde 𝑃(𝑡) = 6000 × (0.4)^𝑡. Qual era a população quando o produto químico foi aplicado pela primeira vez? Qual é a taxa de decrescimento da população?

03:26

Transcrição do vídeo

Uma população de bactérias diminui como resultado de um tratamento químico. A população, 𝑡 horas após o tratamento ter sido aplicado, pode ser modelada pela função 𝑃 de 𝑡, onde 𝑃 de 𝑡 é igual a 6000 vezes 0.4 elevado a 𝑡.

Então, isso descreve o cenário da pergunta. Esta é uma questão composta; existem duas partes. A primeira parte é “qual era a população quando o produto químico foi aplicado pela primeira vez?”. A segunda parte é “qual é a taxa de decrescimento da população?”. Naturalmente, vamos responder a primeira parte da questão primeiro: qual era a população quando o produto químico foi aplicado pela primeira vez?

Bem, temos uma função 𝑃 de 𝑡, que nos informa a população 𝑡 horas após o tratamento ter sido aplicado. Então, ao perguntarmos qual era a população quando o produto químico foi aplicado pela primeira vez, a população inicial, estamos perguntando qual era a população quando 𝑡 é igual a zero. Isso é 𝑃 de zero, que é a população zero horas após o tratamento ter sido aplicado. Para descobrir isso, nós apenas substituímos na expressão que temos para 𝑃 de 𝑡.

Substituindo em zero, obtemos 𝑃 de zero igual a 6000 vezes 0.4 elevado a zero. Qualquer número elevado a zero é um, e então 𝑃 de zero é 6000. Então a resposta para a primeira parte da questão “qual era a população quando o produto químico foi aplicado pela primeira vez?” É 𝑃 de zero ou 6000.

A próxima parte da questão é “qual é a taxa de decrescimento da população?” Novamente, usamos a definição da função 𝑃 de 𝑡. Nós já vimos na primeira parte da questão que a população inicial 𝑃 de zero é 6000. 𝑃 de um é a população após uma hora. Substituindo isso na fórmula que temos para 𝑃 de 𝑡, obtemos que 𝑃 de um é 6000 vezes 0.4 elevado a um, o que é, naturalmente, apenas 6000 vezes 0.4 ou 2400.

A população após duas horas é 𝑃 de dois ou 6000 vezes 0.4 elevado a dois. Novamente, estamos apenas substituindo a expressão que temos, e isso é 960. Os valores reais não são realmente importantes aqui. O importante é que a população em um determinado período é 0.4 vezes a população de uma hora antes.

Outra maneira de dizer isso é que a população é 40 porcento da população da hora anterior. E outra maneira de dizer isso é que a população diminui em 60 porcento a cada hora. Então, qual é a taxa de decrescimento da população? É de 60 porcento por hora.

Então, olhando para a nossa função 𝑃 de 𝑡, a constante multiplicativa de 6000 nos diz sobre o estado inicial - no nosso caso, a população inicial. E a base 0.4 nos fala sobre a mudança ao longo do tempo que, neste caso, é o quanto a população diminui ao longo do tempo.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.