Vídeo: Determinando o Limite de um Quociente de uma Diferença de Potências num Ponto

Determine lim_(𝑥 → 2) (𝑥⁵ − 32)/(𝑥 − 2).

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Determine o limite com 𝑥 a tender para dois de 𝑥 elevado a cinco menos 32 sobre 𝑥 menos dois.

A primeira coisa que podemos fazer para tentar calcular este limite é simplesmente substituir diretamente o ponto limite dois na expressão. A expressão é 𝑥 elevado a cinco menos 32 sobre 𝑥 menos dois. Substituindo dois nela, obtemos dois elevado a cinco menos 32 sobre dois menos dois. Dois elevado a cinco é 32, então temos 32 menos 32 sobre dois menos dois. E isto é zero dividido por zero. Esta é uma indeterminação, que não podemos calcular. E a substituição direta não nos deu o valor deste limite.

Obviamente, não teremos sucesso algum. Bem, 𝑥 menos dois é o denominador desta fração. Então, vamos ter que reescrever isto noutra forma, onde nos livramos dele. Se conhecer o teorema do resto, saberá que temos boas razões para esperar que o numerador 𝑥 elevado a cinco menos 32 tenha um fator de 𝑥 menos dois. E assim, se fizermos uma divisão polinomial para esta expressão racional, devemos esperar obter um polinómio.

Uma alternativa para realizar a divisão polinomial é reescrever o 32 como dois elevado a cinco. E então podemos aplicar a identidade 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛 sobre 𝑥 menos 𝑎 igual 𝑥 elevado a 𝑛 menos um mais 𝑎 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 menos dois mais 𝑎 ao quadrado 𝑥 elevado a 𝑛 menos três e assim por diante. Portanto, os dois últimos termos são 𝑎 elevado a 𝑛 menos duas vezes 𝑥 mais 𝑎 elevado a 𝑛 menos um.

Então estabelecendo 𝑎 igual a dois e 𝑛 igual a cinco, temos que este quociente é 𝑥 elevado a quatro mais duas vezes 𝑥 elevado a três mais dois vezes 𝑥 ao quadrado mais dois elevado a três vezes 𝑥 mais dois elevado a quatro. E podemos simplificar isto calculando as potências de dois. O primeiro membro e o segundo membro são iguais. Além disso, 𝑥 é igual a dois e o primeiro membro é não definido. Portanto, o limite do primeiro membro é igual ao limite do segundo membro. E quando o substituímos diretamente nos limites do segundo membro, não obtemos uma indeterminação.

Substituindo 𝑥 por dois, obtemos dois elevado a quatro mais duas vezes dois elevado a três mais quatro vezes dois elevado a dois mais oito vezes dois mais 16. E calculando isto, obtemos a nossa resposta final 80. Então para recapitular o que aconteceu, substituindo diretamente em 𝑥 elevado a cinco menos 32 sobre 𝑥 menos dois deu-nos uma indeterminação. Mas aplicando uma identidade ou utilizando uma divisão polinomial, poderíamos reescrever esta expressão como um polinómio. E substituir diretamente este polinómio nos deu o valor do limite 80.

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