Pop Video: Combinações Lineares, Span e Vetores da Base

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No último vídeo, e conjunto com as ideias de adição de vetores e multiplicação escalar, descrevi coordenadas de vetores, onde há esta alternância entre, por exemplo, pares de números e vetores bidimensionais. Agora, imagino que as coordenadas de vetores já eram familiares para muitos de vocês, mas há outra forma interessante de pensar sobre essas coordenadas, o que é bastante central para a álgebra linear. Quando tem um par de números que pretende descrever um vetor, como três, menos dois, quero que pense em cada coordenada como um escalar, ou seja, pense em como cada um deles estica ou encolhe vetores. No sistema de coordenadas O𝑥𝑦, há dois vetores muito especiais: o que aponta para a direita com norma um, comumente chamado de 𝑖-chapéu ou o vetor unitário na direção O𝑥, e o que aponta para cima, com norma um, comumente chamado de 𝑗-chapéu, ou o vetor unitário na direção O𝑦.

Agora, pense na coordenada em 𝑥 do nosso vetor como um escalar que redimensiona 𝑖-chapéu, esticando-o por um fator de três, e a coordenada em 𝑦 como um escalar que redimensiona 𝑗-chapéu, virando-o e esticando-o por um fator de dois. Neste sentido, os vetores que estas coordenadas descrevem são a soma de dois vetores redimensionados.

Esse é um conceito surpreendentemente importante, esta ideia de adicionar dois vetores redimensionados. Estes dois vetores, 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu, têm um nome especial, a propósito. Juntos, são chamados base de um sistema de coordenadas. O que isto significa, basicamente, é que quando pensa em coordenadas como escalares, os vetores da base são o que estes escalares realmente redimensionam. Há também uma definição mais técnica, mas chegarei a ela mais tarde. Ao enquadrar o nosso sistema de coordenadas em termos destes dois vetores da base especiais, levanta um ponto bastante interessante e subtil. Poderíamos ter escolhido vetores da base diferentes e ter obtido um novo sistema de coordenadas completamente adequado. Por exemplo, considere um vetor a apontar para cima e para a direita, e um outro vetor a apontar para baixo e para a direita de alguma forma. Reserve um momento para pensar em todos os vetores diferentes que pode obter escolhendo dois escalares, utilizando cada um deles para redimensionar cada um dos vetores e, em seguida, adicionar o que obtém. Que vetores bidimensionais pode obter alterando a escolha dos escalares? A resposta é que pode obter todos os possíveis vetores bidimensionais, e acho que é um bom quebra-cabeças contemplar o motivo.

Um novo par de vetores da base como este ainda nos dá uma forma válida de ir e voltar entre pares de números e vetores bidimensionais, mas a associação é definitivamente diferente daquela que obtém utilizando a base mais padronizada com 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu. Isso é algo que abordarei com mais detalhe posteriormente, descrevendo a relação exata entre diferentes sistemas de coordenadas. Mas, por enquanto, eu só quero que aprecie o facto de que sempre que descrevemos vetores numericamente, isso depende da escolha implícita dos vetores da base que estamos a utilizar. Então, sempre que estiver a redimensionar dois vetores e a adicioná-los assim, chamamos uma combinação linear desses dois vetores.

De onde vem esta palavra “linear”? Por que é que tem alguma coisa a ver com retas? Bem, esta não é a etimologia, mas uma forma que eu gosto de pensar é que, se fixar um destes escalares e deixar o outro alterar o seu valor livremente, a ponta do vetor resultante desenha uma reta. Agora, se permitir que ambos os escalares atuem livremente e considerar todos os vetores possíveis que pode obter, há duas coisas que podem acontecer: para a maioria dos pares de vetores, poderá obter todos os pontos possíveis no plano; cada vetor bidimensional está ao seu alcance. No entanto, no caso desafortunado em que os seus dois vetores originais se alinham, a ponta do vetor resultante é limitada apenas a essa única reta que passa pela origem. Na verdade, tecnicamente também existe uma terceira possibilidade: ambos os seus vetores podem ser zero e, nesse caso, fica simplesmente preso na origem. Aqui temos um pouco mais de terminologia: o conjunto de todos os vetores possíveis que pode obter com uma combinação linear de um determinado par de vetores é chamado de span desses dois vetores.

Então, reafirmando o que acabámos de ver neste jargão, o span da maior parte dos pares de vetores 2D é todos vetores de espaço 2D, mas quando se alinham, o seu espaço é todos os vetores cuja ponta está numa certa reta. Lembra-se que lhe disse que a álgebra linear gira em torno da adição de vetores e da multiplicação escalar? Bem, o span de dois vetores é basicamente uma forma de perguntar: «Quais são todos os vetores possíveis que pode obter utilizando apenas estas duas operações fundamentais, adição de vetores e multiplicação escalar?» Este é um bom momento para falar sobre como as pessoas geralmente pensam sobre vetores como pontos. Torna-se muito complicado pensar numa coleção inteira de vetores a viver numa reta e mais complicado ainda para pensar em todos os vetores bidimensionais de uma só vez, a preencher o plano. Então, ao lidar com coleções de vetores como esta, é comum representar cada um como apenas um ponto no espaço. O ponto na seta daquele vetor onde, como de costume, quero que pense naquele vetor com o seu início na origem. Desta forma, se quiser pensar em todos os vetores possíveis, cuja seta fica numa determinada reta, pense apenas na própria reta.

Da mesma forma, para pensar em todos os possíveis vetores bidimensionais de uma só vez, conceptualize cada um deles como o ponto que está na seta. Então, na verdade, o que vai pensar é na folha plana e infinita que é próprio espaço bidimensional, pondo as setas de fora. Em geral, se está a pensar num vetor sozinho, pense nele como uma seta e, se estiver a lidar com uma coleção de vetores, é conveniente considerá-los todos como pontos. Assim, para o nosso exemplo do span, o span da maior parte dos pares de vetores acaba por ser toda a folha infinita do espaço bidimensional, mas se estes se alinharem, o seu span é apenas uma reta. A ideia de span torna-se muito mais interessante se começarmos a pensar em vetores no espaço tridimensional. Por exemplo, se tomar dois vetores no espaço 3D que não estão a apontar na mesma direção, o que significa considerar o seu soan? Bem, o seu span é a coleção de todas as combinações lineares possíveis desses dois vetores, ou seja, todos os vetores possíveis que obtém redimensionando cada um dos dois de alguma forma e, em seguida, adicionando-os.

Pode imaginar rodar dois botões diferentes para alterar os dois escalares que definem a combinação linear, adicionando os vetores redimensionados e acompanhado a ponta do vetor resultante. Essa ponta vai traçar uma espécie de folha plana, atravessando a origem do espaço tridimensional. Essa folha plana é o span dos dois vetores, ou, mais precisamente, o conjunto de todos os vetores possíveis cujas pontas vivem nessa folha plana é o span dos seus dois vetores. Não é uma imagem mental bonita? Então, o que acontece se adicionarmos um terceiro vetor e considerarmos o span de todos os três? Uma combinação linear de três vetores é definida praticamente da mesma maneira que é para dois; escolherá três escalares diferentes, redimensionará cada um desses vetores e adicioná-los-á a todos. E novamente, o span desses vetores é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis. Duas coisas diferentes podem acontecer aqui: se o seu terceiro vetor estiver no span dos dois primeiros, o span não mudará; está preso nesta mesma folha plana. Por outras palavras, adicionar uma versão redimensionada deste terceiro vetor à combinação linear não dá acesso a novos vetores. Mas se escolher aleatoriamente um terceiro vetor, é quase certo que não esteja no span dos dois primeiros. Então, como está a apontar numa direção diferente, este desbloqueia o acesso a todos os possíveis vetores tridimensionais.

Uma forma que gosto de pensar sobre isto é que, à medida que redimensiona este novo terceiro vetor, este move-se ao redor dessa folha de span dos dois primeiros, percorrendo todo o espaço. Outra maneira de pensar sobre isso é que está a aproveitanr ao máximo os três escalares que tem à sua disposição para aceder as três dimensões completas do espaço. Agora, no caso em que o terceiro vetor já estava assente no span dos dois primeiros, ou no caso em que dois vetores se alinham, queremos alguma terminologia para descrever o facto de que pelo menos um desses vetores é redundante, não trazendo nada de novo ao nosso span. Sempre que isso acontece, quando tem vários vetores e pode remover um sem reduzir o span, a terminologia relevante é dizer que são “linearmente dependentes”.

Outra forma de expressar isso seria dizer que um dos vetores pode ser expresso como uma combinação linear dos outros, uma vez que já está no span dos outros. Por outro lado, se cada vetor realmente adicionar outra dimensão ao span, é dito que são “linearmente independentes”. Então, com toda esta terminologia e, esperançosamente, com algumas boas imagens mentais, deixo-o com um quebra-cabeça antes de irmos. A definição técnica de uma base de um espaço é um conjunto de vetores linearmente independentes que abrangem esse espaço. Agora, dada a forma como descrevi uma base antes e dado o seu entendimento atual das palavras “span” e “linearmente independente”, pense sobre por que é que esta definição faria sentido. No próximo vídeo, vou entrar em matrizes e transformações do espaço. Até lá!