Vídeo: Fatorando Trinômios

Fatore completamente 6𝑥² − 19𝑥 + 10.

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Transcrição do vídeo

Fatore completamente seis 𝑥 ao quadrado menos 19𝑥 mais 10.

Esta é uma expressão quadrática em 𝑥. Nós temos alguma coisa vezes 𝑥 elevado ao quadrado; alguma coisa vezes 𝑥; e um número real. Então, vamos fatorar esta expressão utilizando dois parênteses, desta forma; nós temos 𝑥 aqui; 𝑥 aqui; e nós temos alguns números.

Agora, isso é o que chamamos de quadrática não-monica porque o número que multiplica o 𝑥 ao quadrado não é um. Se fosse apenas um 𝑥 ao quadrado, seria uma quadrática monica. Isso torna nosso trabalho um pouco mais difícil, então vamos dar uma olhada em como podemos dividir e fatorar essa expressão.

Primeiro de tudo, vamos pegar o coeficiente de 𝑥 ao quadrado e o termo constante no final e multiplicá-los. Bem, temos seis positivo e dez positivo. Se multiplicarmos os dois, obtemos 60.

Agora vamos listar todos os fatores de 60. Bem, obviamente, uma vez 60 é 60, mas duas vezes 30 também é 60, três vezes 20, quatro vezes 15, cinco vezes 12, seis vezes 10.

Sete, oito e nove não existe um número inteiro, cuja multiplicação de 60, e depois chegamos a 10. E já encontramos 10 em nossa lista de fatores. Então, temos todos os fatores. E não se esqueça, nós temos seus respectivos opostos; menos um vezes menos 60 que também é igual a 60.

Agora precisamos examinar nossa lista e encontrar o par de fatores que somam o coeficiente de 𝑥, no caso, menos 19. Então, qual par de fatores desta lista que, quando adicionados, esses números somam menos 19? Bem, menos quatro mais menos 15 é igual a menos 19, então esses são os dois fatores que estamos procurando.

Agora, vamos reescrever o menos 19𝑥 que nós temos na expressão original como menos 4𝑥 menos 15𝑥. Agora, se analisarmos esta segunda linha, percebemos que o menos 4𝑥 menos 15𝑥 ainda é menos 19𝑥, então essa linha ainda é igual a linha acima.

Mas agora vou considerar essas duas expressões como diferentes. Então vou separar a primeira metade e a segunda metade e fatorar cada uma delas. Olhando para a primeira metade, vamos fatorar seis 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥. O maior fator comum de seis e quatro é dois, e o maior fator comum de 𝑥 ao quadrado e 𝑥 é 𝑥.

Então, esses dois primeiros termos são fatorados em dois 𝑥 vezes três 𝑥 porque dois 𝑥 vezes três 𝑥 é seis 𝑥 ao quadrado e dois 𝑥 vezes menos dois porque dois 𝑥 vezes menos dois são menos quatro 𝑥.

Agora vou copiar esse parêntese aqui e descobrir o que eu preciso para multiplica-lo para gerar os dois segundos termos aqui. O que eu preciso para multiplicar três 𝑥 para obter menos 15𝑥? Bem, será menos cinco. Vamos apenas checar que o que eu preciso para multiplicar menos dois para obter o 10 positivo. Bem, isso também seria menos cinco. Então parece que o fator comum é menos cinco.

E a expressão que tenho agora é, dois 𝑥 vezes três 𝑥 menos dois menos cinco vezes três 𝑥 menos dois, se eu multiplicasse esses parênteses, obteria a linha acima e obteria minha expressão original. Mas eu tenho uma expressão envolvendo dois 𝑥 vezes algo, três 𝑥 menos dois, e menos cinco vezes algo, três 𝑥 menos dois. Esse algo é um fator comum, então eu vou colocar em evidência como um fator.

No primeiro caso, multipliquei três 𝑥 menos dois por dois 𝑥; e no segundo caso, multipliquei por menos cinco. Então dois 𝑥 menos cinco me dão meu segundo parênteses. Assim, a forma fatorada de seis 𝑥 ao quadrado menos 19𝑥 mais 10 é três 𝑥 menos duas vezes dois 𝑥 menos cinco.

Bem, vamos apenas verificar isso rapidamente. E três 𝑥 vezes dois 𝑥 é seis 𝑥 ao quadrado; três 𝑥 vezes menos cinco é menos 15𝑥; menos dois vezes dois 𝑥 é menos quatro 𝑥; e menos dois vezes menos cinco é 10.

E simplificando um pouco, menos 15𝑥 menos quatro 𝑥 é menos 19𝑥. Então a expressão simplificada é: seis 𝑥 ao quadrado menos 19𝑥 mais 10, que é a solução que estávamos procurando, então temos a resposta certa.

A forma totalmente fatorada de seis 𝑥 ao quadrado menos 19𝑥 mais 10 é três 𝑥 menos dois vezes dois 𝑥 menos cinco. Embora, claro, se você tivesse escrito dois 𝑥 menos cinco vezes três 𝑥 menos dois, isso definitivamente estaria correto também.

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