Vídeo: Encontrando e Calculando a Primeira Derivada de Polinômios

Calcule 𝑓′(3), onde 𝑓(𝑥) = 17𝑥² + 52𝑥.

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Transcrição do vídeo

Calcule 𝑓 linha três, onde 𝑓 𝑥 é igual a 17 𝑥 ao quadrado mais 52𝑥.

Bem, para resolver este problema, primeiro precisamos saber o que significa 𝑓 linha três. E, na verdade, o que isso significa é a primeira derivada de nossa função, em que o valor de 𝑥 é igual a três. Então, para realmente encontrar o valor disso, o que precisamos fazer é derivar nossa função.

E eu vou fazer isso termo por termo. E nós poderíamos fazer isso usando esta fórmula onde dizemos que se 𝑦 é igual a 𝑥 à potência de 𝑛, então 𝑑𝑦 𝑑𝑥 — então é o mesmo que 𝑓 linha porque é a primeira derivada de nossa função, ou também a função de inclinação que é também chamado — é igual a 𝑛 multiplicado por 𝑥 elevado a 𝑛 menos um.

Então, o que isso significa em termos práticos é que multiplicamos pelo expoente. E então nós realmente reduzimos o expoente por um. Ok, vamos continuar e usar isso para derivar nossa função. Então, se nós tivermos a função 17𝑥 ao quadrado mais 52𝑥, então quando nós derivarmos isso, nós vamos ter o primeiro termo igual a 34𝑥. E nós entendemos isso porque nós realmente multiplicamos o coeficiente do 𝑥 ao quadrado pelo expoente, então dois multiplicado por 17. Isso dá o nosso 34. E então nós temos 𝑥 ao quadrado. E então o que nós realmente fazemos com isso é que tiramos um do expoente, então dois menos um, o que nos dá 𝑥. Portanto, temos 34𝑥.

Agora passamos para o segundo termo. E acabamos de receber mais 52. E obtemos 52 porque, novamente, se multiplicarmos o expoente pelo coeficiente, obtemos um multiplicado por 52, o que nos dá 52. E então é 𝑥 elevado a um menos um, então 𝑥 elevado a zero. E nós realmente temos uma propriedade de potência que diz que qualquer coisa elevado a zero é sempre igual a um. Então, portanto, isso seria 52 multiplicado por um, o que nos dá apenas 52.

Certo, ótimo! Então agora nos derivamos. O que precisamos fazer é substituir o valor de três em 𝑥, para que possamos encontrar o valor de 𝑓 linha três. Então, temos 𝑓 linha três é igual a 34 multiplicado por três. E isso é porque nós realmente substituímos 𝑥 por três. E então isso é mais 52, o que nos dará 102 mais 52, o que nos dará 154.

Portanto, podemos dizer que se tivermos a função 𝑓 𝑥 é igual a 17𝑥 ao quadrado mais 52𝑥 e então nós derivamos isso para encontrar a função de inclinação e então nós substituímos 𝑥 igual a três, vamos obter uma resposta de 154. Então o que isso significa em termos práticos é que, no ponto três, se desenharmos o gráfico dessa função, a inclinação seria igual a 154. E isso é porque encontramos 𝑑𝑦 𝑑𝑥. E isso é a função de inclinação.

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