Lesson Video: Diagramas em Árvore

Video Transcript

Neste vídeo, aprenderemos como desenhar e utilizar diagramas em árvore para representar o espaço amostral de uma experiência.

Antes de examinarmos os diagramas em árvore, vamos pensar no espaço amostral. Este é o conjunto de todos os possíveis resultados ou resultados de uma experiência. Então, que aspeto teria? Se girássemos esta roleta, o espaço amostral seria um, dois, três e quatro, pois são todos os resultados possíveis que poderíamos obter. Numa roleta diferente com valores um, dois, três repetidos, o espaço amostral aqui seria um, dois e três.

Vamos dar uma olhadela noutro exemplo em que determinamos o espaço amostral.

Um saco contém sete bolas numeradas de um a sete. Determine o espaço amostral ao escolher uma bola aleatoriamente.

Para determinar o espaço amostral, precisamos de fazer uma lista de todos os resultados. Se escolhermos uma bola aleatoriamente, poderíamos escolher a bola numerada com um, ou a bola numerada com dois, ou, de facto, qualquer uma das bolas numeradas com três, quatro, cinco, seis e sete. Poderíamos, portanto, escrever o espaço amostral como o conjunto dos valores um, dois, três, quatro, cinco, seis e sete.

Vamos dar uma olhadela nos diagramas em árvore agora e ver como estes podem representar o espaço amostral. Os diagramas em árvore são particularmente úteis para determinar as probabilidades de vários acontecimentos. Vamos dar o exemplo de onde queremos determinar os resultados possíveis quando jogamos uma moeda duas vezes. Começamos a desenhar um diagrama em árvore para representar o primeiro lançamento da moeda. Sabemos que existem dois resultados possíveis no lançamento da moeda: cara ou coroa. A probabilidade de obter cara será de um sobre dois — isto é, um meio — pois há uma cara em dois resultados. É a mesma probabilidade de obter coroa. Para o segundo acontecimento do lançamento da moeda pela segunda vez, depois de termos cara, ainda há duas opções, cara ou coroa, no segundo lançamento. As probabilidades aqui ainda serão as mesmas, pois o que aconteceu no primeiro lançamento não afeta a probabilidade do que acontece no segundo lançamento.

Os ramos em baixo representam o que acontece no segundo lançamento se tivermos coroa no primeiro lançamento. Ainda temos dois resultados possíveis. E estas duas probabilidades são um meio. Então, seguindo adiante, o ramo de cima dá-nos o resultado de sair cara e cara. O segundo resultado é cara seguida por coroa. O terceiro resultado é coroa seguida por cara. E o quarto resultado é coroa, coroa. Podemos ver que há quatro resultados possíveis ao lançar uma moeda duas vezes.

Vamos agora ver um exemplo de elaboração de um diagrama em árvore para o espaço amostral de um problema mais complexo.

Suponha que 60% de uma colher de gelado de uma carrinha de gelados local seja vendido em caixa e os outros 40% em cone. Suponha também que a carrinha de gelados vende três sabores diferentes de gelados — chocolate, baunilha e morango — e que 25% das vendas de uma colher são de chocolate, 45% de baunilha e 30% de morango. Desenhe um diagrama em árvore para representar as vendas de uma colher gelado da carrinha de gelados.

Aqui, precisamos de desenhar um diagrama em árvore para representar os possíveis resultados ao comprar gelado na carrinha de gelados. As primeiras possibilidades que temos aqui são comprar gelados em caixa ou gelados em cone. Em seguida, temos opções diferentes nos nossos três sabores diferentes de gelado. Portanto, analisando o primeiro item de escolha de uma caixa ou um cone, informaram-nos que 60% são vendidos em caixa. Então, escrevemos isso no ramo da caixa. Podemos escrever na forma de percentagem, mas geralmente é mais fácil escrevê-la na forma decimal ou uma fração. E aqui, 60% é equivalente a 0.6. Disseram-nos que 40% são vendidos em cone. 40 por cento é equivalente a 0.4. Então, podemos escrever isto no ramo do cone.

Agora podemos ver as diferentes opções para os sabores de gelado. Não importa se o cliente escolhe uma caixa ou um cone. Ainda terão que escolher de entre três sabores diferentes de gelado. Poderiam escolher uma caixa e, em seguida, escolher gelado de chocolate, baunilha ou morango. Ou poderiam escolher um cone com gelado de chocolate, baunilha ou morango. Disseram-nos que 25% das vendas são de chocolate, 45% são de baunilha e 30% são de morango. Como um à parte, podemos ver que estas três probabilidades somam 100%, pois são as únicas opções para os sabores que temos. Na forma decimal, 25 por cento é 0.25. E esta será a mesma para o chocolate nos ramos superiores e o chocolate nos ramos inferiores. A probabilidade de um cliente selecionar a baunilha será de 0.45 na forma decimal e o morango será 0.3.

E concluímos um diagrama em árvore para mostrar as vendas de gelado. Podemos ver aqui que existem seis resultados possíveis: escolher uma caixa com gelado de chocolate, uma caixa com gelado de baunilha, uma caixa com gelado de morango ou um cone com chocolate, um cone com baunilha ou um cone com gelado de morango. Para um diagrama em árvore completo, particularmente numa questão no exame, tudo o que precisamos de fazer é apresentar os diferentes resultados, juntamente com as suas probabilidades.

Agora, veremos como utilizamos os diagramas em árvore para calcular algumas probabilidades. Vamos voltar ao nosso exemplo de lançar a moeda duas vezes.

No diagrama em árvore que desenhámos para isto no início do vídeo, vimos que havia quatro resultados. Vamos pensar em como calculamos as probabilidades destes quatro resultados. Começando com a probabilidade de obter cara e depois cara, à medida que avançamos pelos ramos, multiplicamos as probabilidades. Então, temos um meio multiplicado por um meio. E ao multiplicar frações, multiplicamos os numeradores e multiplicamos os denominadores. Então, temos um quarto. Para determinar a probabilidade de obter cara e coroa, multiplicamos um meio por um meio, que é um quarto. A probabilidade de obter coroa e cara também é um meio vezes um meio, ou seja, um quarto. E a probabilidade de conseguir duas coroas é um quarto.

Uma das principais coisas a destacar sobre isto é que a soma de todas as probabilidades destes resultados finais é um. Vamos imaginar que nos perguntavam qual é a probabilidade de obter duas moedas iguais. Isso significa que precisamos de pensar sobre a probabilidade de sair cara e cara ou a probabilidade de sair cara e coroa. Para calcular esta probabilidade, precisamos de adicionar a probabilidade de obter cara, cara e a probabilidade de obter coroa, coroa, o que significaria adicionar um quarto e um quarto, dando-nos uma resposta de um meio.

Agora, veremos o exemplo de uma questão, onde precisamos de adicionar as probabilidades finais no final dos ramos.

Se duas roletas forem giradas, onde a primeiro está numerada de um a dois e a segunda de um a nove, determine a probabilidade de ambas girarem parando em números pares utilizando um diagrama em árvore.

Existem várias maneiras diferentes de representar o espaço amostral ou os resultados diferentes destas duas roletas. Mas aqui, pedem-nos para utilizar um diagrama em árvore. No nosso diagrama em árvore, precisamos de representar os resultados da primeira roleta e, em seguida, os resultados da segunda roleta. Na nossa primeira roleta, existem apenas dois resultados possíveis, o valor um ou o valor dois. Podemos assumir para as probabilidades de que estas roletas sejam equilibradas. E, portanto, a probabilidade de obter um será um meio, pois esse é um dos nossos dois resultados possíveis. E a probabilidade de obter número dois também é um meio.

Vamos agora analisar os possíveis resultados na segunda roleta. Ao desenhar diagramas em árvores, vale sempre a pena pensar como serão os resultados. Por exemplo, se desenharmos os valores da nossa primeira roleta muito pequenos e próximos, teríamos dificuldade em desenhar nove ramos diferentes após o um e o dois. Portanto, tenha sempre espaço suficiente para um diagrama em árvore. Como a segunda roleta está numerada de um a nove, temos os nossos nove ramos diferentes. E temos estes nove resultados, independentemente de termos um ou dois na primeira roleta. Assumindo novamente que esta é uma roleta equilibrada, a probabilidade de cada um dos números de um a nove será um nono.

Pedem-nos que calculemos a probabilidade de as duas roletas pararem em números pares. Podemos ver os resultados no conjunto dos ramos de cima. Um, um, por exemplo, indica obter um na primeira roleta e um na segunda roleta. Um, dois indicará um na primeira roleta e dois na segunda roleta. Como estamos a considerar a probabilidade de obter dois números pares, podemos de facto descontar todos os ramos de cima, porque todos terão o número um e este é um número ímpar.

Portanto, para determinar a probabilidade de dois números pares, isso significa que estamos interessados ​​na probabilidade de obter um dois e depois um dois ou a probabilidade de obter um dois na primeira roleta e um quatro na segunda roleta ou a probabilidade de obtendo um dois e depois um seis ou a probabilidade de obter um dois e um oito. Para descobrir estas probabilidades, multiplicamos pelos ramos. Portanto, a probabilidade de obter dois e dois será um meio vezes um nono. E para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores e os denominadores. Então, teremos um dezoito avos. Os valores são os mesmos para calcular a probabilidade de obter um dois e um quatro. Temos um meio multiplicado por um nono, dando-nos um dezoito avos. E o mesmo vale para as duas probabilidades restantes. E, portanto, para calcular a probabilidade de obter dois números pares, somamos cada uma das nossas quatro probabilidades, dando-nos uma resposta final de quatro sobre 18 ou quatro dezoito avos.

Quando o Daniel acorda numa dada manhã, há 30% de probabilidade de ele tomar chá, 50% de probabilidade de escolher café e 20% de probabilidade de optar por sumo. Ao pequeno almoço, o Daniel come torradas 40% das vezes, panquecas 15% das vezes, cereais 30% das vezes, e nada se acordar demasiado tarde e precisar de se apressar. Desenhe um diagrama em árvore para representar as opções alimentares do pequeno almoço do Daniel e as bebidas. Determine a probabilidade do Daniel tomar café com torradas pela manhã. Determine a probabilidade de que o Daniel tome uma bebida quente com torradas. Calcule o número de opções de pequenos almoços que o Daniel tem todas as manhãs.

Para começar a desenhar o diagrama em árvore, precisamos de considerar as diferentes opções. Primeiro, temos todas as opções de bebidas para o Daniel e, segundo, temos todas as opções das coisas que come. Vamos começar os nossos ramos representando as bebidas que tem. Estes serão chá, café ou sumo. Então, isso significa que precisaremos de três ramos. Então, desenhamos os três ramos com as opções escritas no final.

Disseram-nos que há 30% de probabilidade do Daniel beber chá. Isso será equivalente ao valor decimal 0.3, que escrevemos no ramo. Há 50% de probabilidade do Daniel escolher café. E na forma decimal, é 0.5. E disseram-nos que há 20% de probabilidade do Daniel beber sumo. E na forma decimal, é 0.2.

Agora consideraremos as opções de alimento para o pequeno almoço que o Daniel tem. Disseram-nos que ele poderia comer torradas, panquecas, cereais. Mas também precisamos incluir o facto de que ele muitas vezes pode não comer nada. Portanto, se o Daniel escolhe chá para beber, ele tem quatro opções para o seu alimento: torradas, panquecas, cereais ou não comer nada. Disseram-nos que come torradas 40% das vezes. Portanto, será 0.4 na forma decimal. Ele escolhe panquecas 15% das vezes. Isso é 0.15. Os cereais são escolhidos 30% das vezes. Isso é 0.3. E não nos deram uma percentagem por não comer nada se o Daniel acordar tarde demais. Podemos, no entanto, resolver isso lembrando que todos estes quatro ramos somam um. Portanto, se adicionarmos 0.4, 0.15 e 0.3 e subtraí-lo de um, obteremos 0.15.

Em seguida, quando o Daniel escolhe café para beber, ele ainda tem as mesmas quatro opções para o que comer. As probabilidades disto serão as mesmas dos ramos em cima, porque o que ele tem para beber não afeta o que ele tem para comer. O mesmo acontece quando o Daniel bebe um sumo. Ele tem quatro opções diferentes de alimento. Desenhámos, portanto, um diagrama em árvore para a primeira questão. Podemos utilizar o nosso diagrama em árvore para descobrir a probabilidade de o Daniel tomar café com torradas.

Podemos determinar essa probabilidade indo ao longo do ramo para tomar café e depois ao longo do ramo para torradas. E à medida que percorremos os ramos, multiplicamos as probabilidades. Então, teremos 0.5 multiplicado por 0.4, o que é igual a 0.2. E assim, a nossa resposta à segunda questão, a probabilidade de o Daniel tomar café com torradas, é 0.2.

Agora, examinaremos a terceira questão para descobrir a probabilidade de o Daniel tomar uma bebida quente com torradas. Como o sumo geralmente não é uma bebida quente, isso significa que estamos a analisar a probabilidade de café e torradas e a probabilidade de chá e torradas. Concluímos na questão anterior que a probabilidade de tomar café e torradas é igual a 0.2. E para determinar a probabilidade de chá e torradas, multiplicamos novamente pelos ramos, dando-nos 0.3 multiplicado por 0.4, que é 0.12. Para descobrir a probabilidade de o Daniel beber uma bebida quente e torrada, somamos a probabilidade de chá e torradas e a probabilidade de café e torradas. Isto é igual a 0.12 mais 0.2. Portanto, a nossa resposta para a terceira questão é 0.32.

Vejamos agora a parte final desta questão para descobrir o número de opções de pequeno almoço que o Daniel tem. Vimos nas duas últimas partes desta questão que o Daniel tem a opção de chá e torradas ou a opção de café e torradas. De facto, ele tem todas estas outras opções apresentadas também. Se adicionarmos todas estas opções, veremos que existem 12, que responderão à nossa questão final de que ele tem 12 opções diferentes de pequeno almoço. Poderíamos verificar isto ao perceber que ele tem três opções diferentes de bebida e quatro opções diferentes de comida. Multiplicar três por quatro também nos dará 12.

Agora podemos resumir o que aprendemos neste vídeo. Aprendemos que um diagrama em árvore é uma maneira útil de ilustrar o espaço amostral de uma experiência, onde o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis. Aprendemos que cada etapa de uma experiência é representada por um conjunto ou conjuntos de ramos num diagrama em árvore. Cada resultado é representado por um ramo com a probabilidade anexada. Cada etapa subsequente no diagrama em árvore é representada por um ramo partindo de todos os resultados da etapa anterior. A probabilidade de um resultado final é determinada multiplicando-se pelos ramos que conduzem a esse resultado. A probabilidade dos resultados finais combinados é determinada adicionando a probabilidade dos resultados finais individuais. E uma observação final sobre os diagramas em árvore, pode ser útil planeá-los para garantir que tenhamos espaço suficiente na nossa página, principalmente quando o diagrama em árvore for muito grande.