Vídeo: Encontrando o Inverso de uma Função Contendo uma Função Exponencial

A função 𝑓(𝑥) = 2𝑒^(𝑥) + 3 tem um inverso da forma 𝑔(𝑥) = ln(𝑎𝑥 + 𝑏). Quais são os valores de 𝑎 e 𝑏?

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A função 𝑓 𝑥 é igual a dois 𝑒 à potência de 𝑥 mais três tem um inverso da forma 𝑔 𝑥 igual a ln de 𝑎𝑥 mais 𝑏. Quais são os valores de 𝑎 e 𝑏?

Bem, em primeiro lugar, vou escrever nossa função 𝑓 𝑥 igual a dois 𝑒 elevado a 𝑥 mais três como 𝑦 igual a dois 𝑒 elevado a 𝑥 mais três. Agora, o que queremos fazer é encontrar o inverso dessa função.

Bem, a primeira coisa que fazemos é trocar as variáveis. Então, como você pode ver, eu realmente troquei 𝑥 e 𝑦. Então agora temos 𝑥 igual a dois 𝑒 elevado a 𝑦 mais três.

E agora o que queremos fazer se quisermos encontrar o inverso é, na verdade, reorganizar para expressar em termos de 𝑦. Então, primeiro de tudo, vou subtrair três de cada lado. Então eu obtenho 𝑥 menos três é igual a dois 𝑒 elevado a 𝑦. E depois eu divido cada lado por dois. Então eu tenho 𝑥 menos três sobre dois é igual a 𝑒 elevado a 𝑦. E então eu vou pegar o log natural de cada lado, o que vai nos dar ln de 𝑥 menos três sobre dois é igual a 𝑦.

Ok, agora queremos realmente ter certeza de que está no formato 𝑔 𝑥 igual a ln 𝑎𝑥 mais 𝑏. Assim, obtemos 𝑦 é igual a ln e depois a metade de 𝑥 menos três sobre dois, com 𝑦 sendo 𝑔 𝑥.

Então agora encontramos o inverso da função dois 𝑒 elevado a 𝑥 mais três. Portanto, podemos dizer que quando encontramos o inverso da função dois 𝑒 para a potência de 𝑥 mais três e temos isso na forma 𝑔 𝑥 é igual a ln de 𝑎 𝑥 mais 𝑏, então 𝑎 será igual um meio e 𝑏 será igual a menos três sobre dois.

Ok, agora temos uma solução. Mas o que queremos fazer é recapitular o que fizemos para resolver o problema. Então, primeiro de tudo, nós trocamos as variáveis, então, neste caso, trocamos 𝑥 por 𝑦. E a razão pela qual fizemos isso é porque o inverso de uma função é, na verdade, uma reflexão sobre a reta 𝑦 igual a 𝑥.

Portanto, as coordenadas 𝑦 e 𝑥 serão trocadas. E é por isso que trocamos as variáveis. E então nós rearranjamos para expressar em termos de 𝑦. Então, uma vez que fizemos isso, nosso 𝑦 era na verdade nossa função inversa. E então usamos isso para colocar na forma 𝑔 𝑥 é igual a ln 𝑎 𝑥 mais 𝑏 e encontramos 𝑎 e 𝑏.

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