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Vídeo: O Plano Complexo

Aprenda como representar números complexos no plano complexo utilizando um diagrama de Argand com eixos reais e imaginários. Também descreveremos as coordenadas polares e como calcular o comprimento (módulo) e a direção (argumento) da reta no diagrama.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver como representar números complexos no plano complexo. Agora, isso também é conhecido como “um diagrama de Argand”. E é muito semelhante em estrutura à grade de coordenadas cartesianas com a qual você provavelmente já está familiarizado. Mas os eixos assumem um significado ligeiramente diferente quando estamos procurando representar números complexos.

Então aqui está o plano complexo. E à primeira vista, provavelmente parece exatamente com a grade de coordenadas cartesianas que você já está acostumado, mas a principal diferença é se você olhar para a marcação dos eixos, então você vê que eu rotulei o eixo horizontal como Re , que significa eixo real e vertical como Im, que significa imaginário. E assim, o que esses dois eixos fazem é representar as partes reais e imaginárias de um número complexo. E o que o diagrama de Argand faz é que ele nos permite representar não apenas números reais em uma linha numérica unidimensional, mas também números complexos em uma grade bidimensional, considerando as partes real e imaginária separadamente.

Então, vamos analisar alguns números complexos nessa grade. Portanto, o primeiro deles 𝑧 um é o número complexo três mais quatro 𝑖. Então com uma parte real de três, eu vou mover três no eixo real e na parte imaginária quatro, então eu vou para quatro no eixo imaginário. E, portanto, este número complexo 𝑧 um - está representado por uma cruz ou um ponto nesta posição aqui, correspondendo a uma parte real de três e uma parte imaginária de quatro.

O segundo número complexo 𝑧 dois é o complexo menos dois 𝑖. Então, sua parte real é zero. E se eu for para menos dois 𝑖 no eixo imaginário, eu estaria representando esse número complexo 𝑧 dois aqui embaixo. O terceiro tem uma parte real de menos dois, sendo dois negativos no eixo real e depois cinco positivos 𝑖. Eu estaria representando 𝑧 três aqui. E finalmente, 𝑧 quatro é apenas o número complexo sete, que na verdade é apenas um número real. Então, seria representado no eixo real aqui. Assim, todo número complexo que poderíamos escrever pode ser representado em algum lugar nesse plano complexo, considerando sua posição relativa a esses dois eixos, com a horizontal representando a parte real e a vertical representando a parte imaginária.

Agora, quando usamos o plano complexo para representar números complexos, na verdade, existe uma forma alternativa que muitas vezes consideramos útil. Agora, o número complexo 𝑧 é igual a dois mais quatro 𝑖, isso é o que estamos pensando atualmente como forma retangular, onde estamos considerando a posição relativa aos eixos real e imaginário. Mas existe uma forma alternativa que podemos considerar. Essa forma alternativa é conhecida como a forma polar de um número complexo ou de coordenadas polares quando estamos desenhando no plano complexo. E o que fazemos é considerar o comprimento e a direção do vetor da linha que une esse número complexo de volta à origem - portanto, essa linha que marquei aqui.

Portanto, existem duas informações aqui. Em primeiro lugar, o comprimento desse vetor que é às vezes referido como o módulo ou a magnitude e é representado de várias maneiras diferentes. Às vezes, é representado usando linhas verticais para denotar módulo; às vezes é representado usando a letra 𝑟. Mas em ambos os casos, o que significa é o comprimento dessa linha unindo o número complexo de volta à origem.

A outra informação que nos interessa é o ângulo que este vetor faz com o eixo real positivo; então esse seria o ângulo aqui. E muitas vezes usamos a letra 𝜃 para representar isso ou às vezes pode ser escrita como arg 𝑧 porque o nome que damos a esse ângulo é conhecido como o argumento de um número complexo. Então, duas coisas que podemos calcular, podemos calcular o comprimento da linha e podemos descobrir a direção da linha. E esses são referidos como o módulo e o argumento do número complexo, razão pela qual a forma polar também é às vezes referida como forma de argumento de módulo.

Agora, vamos ver como calcularíamos essas duas coisas para este exemplo. Então, vamos analisar antes de tudo como calcularíamos o módulo. E se você imaginar apenas esboçar um pequeno triângulo aqui, então o que vamos fazer é realmente usar uma aplicação do teorema de Pitágoras para calcular o comprimento dessa linha, que é a hipotenusa deste triângulo retângulo. Portanto, este triângulo retângulo tem lados de dois e quatro, que são as partes reais e imaginárias do número complexo. E, portanto, o comprimento da hipotenusa usando Pitágoras será a raiz quadrada de dois ao quadrado mais quatro ao quadrado. Então, essa será a raiz quadrada de quatro mais dezesseis, que é a raiz quadrada de vinte. E se eu quiser simplificar isso, isso se tornará dois raiz de cinco.

Então calcular o módulo é apenas uma aplicação direta do teorema de Pitágoras. Se eu quiser calcular o argumento, estaremos usando um pouco de trigonometria. Então, neste triângulo retângulo, lembre-se que temos lados de quatro e dois. E se eu quiser calcular esse ângulo aqui, bem usando esses dois lados eu vou usar o lado oposto e vou usar o adjacente. Então, usando a trigonometria, isso me diz que eu vou usar a tangente como a razão trigonométrica na qual estou interessado. Assim, tan desse ângulo, tan de 𝜃 é o oposto sobre o adjacente. Tan será quatro sobre dois, o que me diz que 𝜃 será o inverso de tan de dois.

Agora podemos usar uma calculadora para calcular isso. E trabalhar em graus ou radianos é aceitável, embora radianos sejam mais comum. Isso dará uma resposta de sessenta e três vírgula quatro graus em graus ou um ponto um um radianos, ambos para três números significativos. Então, um lembrete do que fiz, usei Pitágoras para calcular o módulo desse número complexo. E eu usei trigonometria para elaborar o argumento - o ângulo que ele faz com o eixo real.

Então, vamos ver como escrever um número complexo geral em sua forma polar. Então eu tenho o número complexo 𝑧 que é 𝑎 mais 𝑏𝑖. Desenvolvi seu módulo 𝑟 e seu argumento 𝜃 usando os métodos descritos no slide anterior. E eu quero ver qual será a sua forma polar.

Então, o que eu quero fazer é olhar para este triângulo retângulo e olhar um pouco mais detalhadamente as diferentes relações de trigonometria que eu faria aqui. Então, primeiro de tudo, se eu pensar em cosseno, se eu pensar em cos de 𝜃. Cos para lembrar é cateto adjacente dividido por hipotenusa. Então, neste triângulo retângulo, isso será 𝑎 dividido por 𝑟. E se eu fizer um passo de rearranjo lá, eu obtenho que a relação 𝑎 é ​​igual a 𝑟 cos 𝜃, apenas multiplicando por 𝑟. Se pensarmos na relação seno neste triângulo, seno lembre-se de que é o cateto oposto dividido pela hipotenusa. Então, eu vou ter sen 𝜃 é 𝑏 sobre 𝑟. E novamente um passo de rearranjo me dá a relação 𝑏 igual a 𝑟 sen 𝜃.

O passo final então é voltar para este número complexo aqui e substituir 𝑎 e 𝑏 por seus novos valores em termos de 𝑟 e 𝜃. Então eu tenho 𝑧 é igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖, mas eu posso substituir 𝑎 com nosso cos 𝜃 e 𝑏 com nosso sen 𝜃. E foi o que fiz aqui. E então o passo final é apenas pegar um fator comum de 𝑟, que leva a 𝑧 igual a 𝑟 parênteses cos 𝜃 mais 𝑖sen 𝜃. E isso é conhecido como a forma polar de um número complexo, onde você trabalha com o módulo 𝑟 e o argumento 𝜃. E então você pode escrevê-lo nessa forma alternativa 𝑧 igual a 𝑟 parênteses cos 𝜃 mais 𝑖sen 𝜃 ao invés de sua forma 𝑧 igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖 em termos daquelas partes reais e imaginárias puras.

Então, temos nossa forma geral - nossa forma polar geral. Se retornarmos ao exemplo anterior, que era dois mais quatro 𝑖, já calculamos que o módulo era dois raiz de cinco e o argumento em radianos era um ponto um um. Então, se eu agora quiser escrever este número complexo em sua forma polar em vez de sua forma retangular, eu só preciso substituir o nosso próprio 𝜃 pelos valores calculados. Então, eu terei 𝑧 igual a dois raiz de cinco vezes o cos de um ponto um um mais 𝑖sen um ponto um um. E então eu converti esse número complexo de sua forma retangular em sua forma polar.

Vamos ver como generalizar essa forma polar para o número complexo 𝑎 mais 𝑏𝑖. Então, se você se lembra, nós usamos Pitágoras para calcular o módulo. Então, 𝑟 será igual à raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado usando o teorema de Pitágoras. E então usamos trigonometria para elaborar o argumento. Portanto, usamos o fato de que tan 𝜃 é o oposto sobre o adjacente 𝑏 sobre 𝑎, que deu 𝜃 é a tan inversa de 𝑏 sobre 𝑎. E isso nos dá algumas fórmulas gerais que podemos usar para calcular o módulo e o argumento de um número complexo. Agora, este primeiro para 𝑟, isso sempre funcionará, não importa onde o número complexo esteja no plano. Mas aquele para o argumento precisa de um pouco mais de consideração, porque se 𝑏 ou 𝑎 são negativos e, portanto, o número complexo não está no primeiro quadrante do plano, precisamos pensar um pouco mais cuidadosamente sobre como realmente calcular o argumento.

Então, aqui está um exemplo na tela, onde temos um número complexo que estaria em um quadrante diferente. Então temos menos três mais quatro 𝑖 e é representado aqui no segundo quadrante. Agora, se eu for ao processo usando esses resultados gerais, então eu obtenho 𝑟 igual a dois raiz de cinco e não houve problemas lá. Se eu calcular 𝜃 usando o inverso de tan 𝑏 sobre 𝑎, obtenho menos cinquenta e três ponto um ou menos nove ponto dois sete radianos, porque estou fazendo um inverso de tan quatro sobre menos três. Agora lembre-se de que 𝜃 supostamente representa o ângulo que essa linha faz com seu eixo real positivo. Então é esse ângulo que eu marquei em roxo. E isso não pode ser menos cinquenta e três pontos um, ou menos zero ponto nove dois sete radianos; deve ser um ângulo obtuso, entre noventa graus e cento e oitenta graus, ou algo entre 𝜋 sobre dois e 𝜋. Então, apenas usando a fórmula não nos dá o argumento real que estamos procurando.

No entanto, ainda é útil. O que eu preciso fazer é usar o fato de que o ângulo entre o eixo real positivo e o eixo real negativo - aquele ângulo ali - é de 𝜋 radianos ou cento e oitenta graus. E o que eu acho é que se eu adicionar cento e oitenta graus ou adicionar 𝜋 radianos, então recebo um valor que está no intervalo que estamos procurando. Eu recebo cento e vinte e seis vírgula nove graus ou obtenho dois ponto dois um radianos, ambos representam um ângulo obtuso. Portanto, se o número complexo não estiver nesse primeiro quadrante, preciso pensar com mais cuidado sobre como usar essa fórmula. Eu posso usá-lo como ponto de partida, mas eu posso ter que adicionar ou subtrair 𝜋 ou adicionar ou subtrair de 𝜋 para trabalhar o argumento corretamente e eu posso fazer isso usando o diagrama de Argand.

Um último ponto desse argumento é que temos o que é conhecido como o principal argumento para um número complexo. E é sempre entre menos 𝜋 e 𝜋. Assim, para números complexos que estão acima do eixo real nos quadrantes um e dois, estamos medindo no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo, dando uma resposta em qualquer lugar entre zero ou 𝜋 radianos. Para números complexos que estão abaixo do eixo real positivo, estamos medindo no sentido horário, fornecendo argumentos de zero a menos 𝜋 dependendo de onde eles são colocados no plano complexo. Então, o argumento que estamos procurando deve estar sempre nesse intervalo de menos 𝜋 a 𝜋. E dependendo de qual dos quatro quadrantes você está, você obterá valores nessas diferentes faixas, como mostrado na tela neste momento.

Como discutido, podemos usar essa fórmula tan inversa de 𝑏 sobre 𝑎 para calcular um valor inicial para 𝜃. Mas, então, precisamos ajustar adicionando ou subtraindo 𝜋 ou adicionando e subtraindo de 𝜋 para garantir que o argumento obtido esteja nesse intervalo predefinido.

A última coisa a considerar é converter de volta da forma polar para a forma retangular. Então aqui eu tenho o número complexo dez e então cos dois ponto dois um quatro mais 𝑖sen dois pontos dois um quatro. E eu quero convertê-lo de volta para a forma retangular. Então eu posso fazer isso com o auxílio de uma calculadora, apenas calculando cos e sen de dois ponto dois um quatro e multiplicando o resultado por dez. Então, se eu fizer isso, vejo que isso me dá menos cinco ponto nove nove sete seis mais oito ponto zero zero um um sete 𝑖. E é de fato apenas o número complexo menos seis mais oito 𝑖. Então você tem isso, um resumo do que é o plano complexo, como você pode representar números complexos nele, e as duas formas diferentes: forma polar e forma retangular de um número complexo.