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Vídeo da aula: Multiplicação de Matriz Matemática • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como identificar as condições para multiplicação de matrizes e calcular o produto de duas matrizes, se possível.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como identificar as condições para multiplicação de matrizes e calcular o produto de duas matrizes, se possível. Lembre-se de que uma matriz é uma matriz, geralmente composta de números que chamamos de elementos, mas também uma matriz pode consistir em símbolos ou expressões. Costumamos usar letras maiúsculas para representar matrizes. Podemos descrever o tamanho de uma matriz com suas dimensões. Se uma matriz tem 𝑚 linhas e 𝑛 colunas, dizemos que esta é uma matriz 𝑚 por 𝑛. Por exemplo, esta é uma matriz de dois por dois e esta é uma matriz de três por quatro.

Existem dois tipos de multiplicação que podemos fazer com matrizes, multiplicação escalar e multiplicação de matrizes. A multiplicação escalar envolve a multiplicação de uma matriz por um escalar. Isso significa apenas multiplicar uma matriz por um número. Por exemplo, com a matriz 𝐵, poderíamos encontrar três 𝐵 multiplicando cada componente da matriz 𝐵 por três. Então isso é multiplicação escalar. A multiplicação de matrizes é um pouco mais difícil do que isso, pois envolve a multiplicação de matrizes. Para fazer a multiplicação de matrizes, temos que prestar atenção ao tamanho das matrizes que queremos multiplicar. Não podemos simplesmente multiplicar duas matrizes.

Para duas matrizes 𝐴 e 𝐵, para encontrar o produto 𝐴𝐵, se 𝐴 tiver dimensões 𝑚 por 𝑛, então a matriz 𝐵 deve ter dimensões 𝑛 por 𝑝 para que a multiplicação funcione. Em outras palavras, a matriz 𝐴 deve ter o mesmo número de colunas que as linhas da matriz 𝐵. Também podemos determinar o tamanho da matriz resultante 𝐴𝐵. A matriz resultante terá dimensões 𝑚 por 𝑝. Vamos demonstrar isso em um exemplo.

Considere a matriz um por dois 𝐴 e a matriz dois por um 𝐵. Seu produto 𝐴𝐵 deve existir porque 𝐴 tem o mesmo número de colunas que o número de linhas na matriz 𝐵. Também podemos dizer que 𝐴𝐵 tem dimensões uma a uma. A multiplicação dessas duas matrizes é muito semelhante à maneira como encontramos o produto escalar. Começamos fazendo dois multiplicado por sete e depois adicionamos três multiplicado por um. Isso dá 14, mais três, que é 17.

Vamos agora dar uma olhada em um exemplo mais difícil.

Considere as matrizes 𝐴 e 𝐵. Encontre 𝐴𝐵, se possível.

Vamos primeiro estabelecer se a multiplicação dessas duas matrizes é possível. A matriz 𝐴 tem três linhas e duas colunas e a matriz 𝐵 tem duas linhas e três colunas. Visto que o número de colunas na matriz 𝐴 é o mesmo que o número de linhas na matriz 𝐵, sabemos que a matriz resultante existe. Além disso, podemos dizer as dimensões da matriz resultante, vendo que a matriz 𝐴 tem três linhas e a matriz 𝐵 tem três colunas. Portanto, a matriz resultante será uma matriz três por três. Encontramos o primeiro elemento de 𝐴𝐵 multiplicando a linha superior da matriz 𝐴 pela coluna da esquerda da matriz 𝐵. Lembre-se de que isso é o mesmo que encontrar o produto escalar dessa primeira linha da matriz 𝐴 com a coluna da esquerda da matriz 𝐵.

Isso é 11 multiplicado por menos oito, adicione menos dois multiplicado por menos quatro. Para obter o elemento superior do meio, multiplicamos a linha superior da matriz 𝐴 pela coluna do meio da matriz 𝐵. Isso é 11 multiplicado por menos nove, adicione menos dois multiplicado por oito. Para obter o elemento superior direito, multiplicamos a linha superior da matriz 𝐴 pela coluna da direita da matriz 𝐵. Isso é 11 multiplicado por seis, adicione menos dois multiplicado por nove. Podemos então encontrar a componente esquerda do meio multiplicando a linha do meio da matriz 𝐴 pela coluna da esquerda da matriz 𝐵.

Encontramos a componente do meio multiplicando a linha do meio da matriz 𝐴 pela coluna do meio da matriz 𝐵. E encontramos a componente direita do meio multiplicando a linha do meio da matriz 𝐴 com a coluna da direita da matriz 𝐵. E seguimos o mesmo padrão para o componente inferior esquerdo, o componente inferior central e o componente inferior direito. Podemos então simplificar cada componente. E isso dá nossa resposta final, que é exatamente como elaboramos uma matriz três por três.

Uma coisa realmente importante a se notar é que a multiplicação de matrizes não é comutativa. Isso significa que 𝐴𝐵 não é igual a 𝐵𝐴. Podemos ver como esse é o caso considerando as dimensões das matrizes no exemplo anterior. Se tivéssemos que calcular as dimensões da matriz resultante, veríamos que acabaríamos com uma matriz dois por dois, enquanto 𝐴𝐵 nos deu uma matriz três por três. Podemos usar a multiplicação de matrizes para encontrar potências de matrizes.

Vamos dar uma olhada em um exemplo.

Dado que 𝐴 é igual a menos seis, um, menos cinco, cinco, encontre 𝐴 ao quadrado.

Lembre-se de que 𝐴 ao quadrado significa simplesmente 𝐴 multiplicado por 𝐴. Então, isso significa simplesmente a matriz 𝐴 multiplicada pela matriz 𝐴. Então, como 𝐴 é uma matriz dois por dois, estamos fazendo uma matriz dois por dois multiplicada por uma matriz dois por dois. Sabemos que isso é possível porque o número de colunas na matriz 𝐴 é, obviamente, o mesmo que o número de linhas na matriz 𝐴. E a matriz resultante será uma matriz dois por dois. Encontramos o componente superior esquerdo da matriz resultante multiplicando a linha superior da primeira matriz pela coluna esquerda da segunda matriz. Isso é menos seis vezes menos seis, mais um vezes menos cinco.

Em seguida, encontramos a componente superior direita multiplicando a linha superior da primeira matriz pela coluna da direita da segunda matriz, ou seja, menos seis vezes um somado a cinco. Podemos então encontrar o componente inferior esquerdo multiplicando a linha inferior da primeira matriz pela coluna esquerda da segunda matriz. Isso é menos cinco vezes menos seis e mais cinco vezes menos cinco. E encontramos o elemento inferior direito multiplicando a linha inferior da primeira matriz pela coluna da direita da segunda matriz. Isso é menos cinco vezes um, mais cinco vezes cinco.

A primeira coisa que vou fazer é calcular cada uma dessas multiplicações. E temos que ter muito cuidado aqui, pois temos muitos negativos. E, finalmente, podemos simplificar para obter nossa resposta final. 𝐴 ao quadrado é igual a 31, menos um, cinco, 20. Uma coisa a notar é que podemos usar esse processo para encontrar potências mais altas de 𝐴. Por exemplo, poderíamos encontrar 𝐴 ao cubo multiplicando 𝐴 ao quadrado por 𝐴 à direita. Seria assim.

Vamos ver mais um exemplo na multiplicação de matrizes.

Dado que 𝐴 é igual a menos três, menos sete, menos um, três, quatro, um; 𝐵 é igual a seis, menos quatro, três, encontre 𝐴𝐵 se possível.

Lembre-se de que para a multiplicação de matrizes 𝐴 e 𝐵, se 𝐴 tiver dimensões 𝑚 por 𝑛, onde 𝑚 é o número de linhas e 𝑛 é o número de colunas, então 𝐵 deve ter dimensões 𝑛 por 𝑝 para que a multiplicação de matrizes funcione. Em outras palavras, a matriz 𝐴 deve ter o mesmo número de colunas que o número de linhas na matriz 𝐵. A matriz 𝐴 tem duas linhas e três colunas, portanto, tem dimensões dois por três. A matriz 𝐵 tem três linhas e uma coluna, portanto, tem dimensões três por um. Então, como o número de colunas da matriz 𝐴 é o mesmo que o número de linhas da matriz 𝐵, o produto existe.

Também podemos dizer as dimensões da matriz resultante. Para 𝐴 com dimensões 𝑚 por 𝑛 e 𝐵 com dimensões 𝑛 por 𝑝, 𝐴𝐵 tem dimensões 𝑚 por 𝑝. Então, para essa pergunta, podemos dizer que a matriz resultante terá dimensões dois por um. Sempre vale a pena verificar isso antes de começar uma questão de multiplicação de matrizes para evitar cometer erros.

Vamos agora multiplicar essas matrizes. Encontramos a componente superior em 𝐴𝐵 tomando a linha superior da matriz 𝐴 e multiplicando-a pela coluna da matriz 𝐵. Isso é menos três vezes seis, adicionar menos sete vezes menos quatro e adicionar menos um vezes três. E obtemos a linha inferior da matriz 𝐴𝐵 pegando a linha inferior da matriz 𝐴 e multiplicando-a pela coluna da matriz 𝐵. Ou seja, três vezes seis somados quatro vezes menos quatro somados um vezes três. Podemos então multiplicar os termos e simplificar para obter a resposta final. Assim como esperávamos, a matriz resultante 𝐴𝐵 tem dimensões dois por um.

Podemos usar a multiplicação de matrizes para encontrar entradas desconhecidas em matrizes que fazem parte de um produto. Como exemplo, digamos que sabemos que o produto das matrizes três, dois, cinco, 𝑥 e um, três é igual a nove, menos um. Sabemos que o nove vem da multiplicação da linha superior da primeira matriz com a coluna da segunda matriz. Mas o negativo vem da multiplicação da linha inferior da primeira matriz com a coluna da segunda matriz. Isso é cinco vezes um adicionado 𝑥 vezes três. Em outras palavras, sabemos que cinco mais três 𝑥 devem dar menos um. Então, três 𝑥 devem ser menos seis. Portanto, 𝑥 é igual a menos dois.

Vamos ver um exemplo mais difícil disso.

Encontre os valores de 𝑥 e 𝑦 dados o seguinte: a matriz um, três, menos dois, um multiplicado pela matriz dois, zero, 𝑥, 𝑦 é igual à matriz oito, menos nove, menos dois, menos três.

Para resolver isso para 𝑥 e 𝑦, podemos considerar como obtemos algumas das componentes e a matriz resultante. Vamos começar com o componente superior esquerdo, que é oito. Sabemos que o oito deve ter sido obtido pela multiplicação da linha superior da primeira matriz com a coluna da esquerda da segunda matriz. Ou seja, um vezes dois somado a três vezes 𝑥 é igual a oito ou dois somado a três 𝑥 é igual a oito. Obtemos então que três 𝑥 é igual a seis subtraindo dois de ambos os lados. E descobrimos que 𝑥 deve ser igual a dois.

Agora, se pensarmos em como o menos nove foi obtido, como este é o elemento superior direito, esta é a multiplicação da linha superior da primeira matriz com a coluna da direita da segunda matriz. Ou seja, um vezes zero somado a três vezes 𝑦 deve ser igual a menos nove. Isso simplifica para três 𝑦 é igual a menos nove. Portanto, 𝑦 deve ser igual a menos três. Podemos então verificar nossa resposta verificando se esses valores de 𝑥 e 𝑦 funcionam para os dois valores inferiores da matriz resultante.

Para obter o valor inferior esquerdo da matriz resultante menos dois, devemos fazer a linha inferior da primeira matriz multiplicada pela coluna esquerda da segunda matriz. Isso é menos duas vezes dois, mais um vezes 𝑥, que é dois, é igual a menos dois. Isso dá menos quatro somados a menos dois, o que é verdade. Portanto, nosso valor de 𝑥 está correto. E podemos verificar o componente inferior direito da matriz resultante multiplicando a linha inferior da primeira matriz pela coluna direita da segunda matriz. Isso é menos duas vezes zero somado a um vezes menos três é igual a menos três. Isso é zero mais menos três é igual a menos três, o que é verdade. Portanto, sabemos que nosso valor para 𝑦 também está correto. É sempre bom quando possível confirmar os valores que você encontrou para 𝑥 e 𝑦.

Vamos agora resumir os principais pontos deste vídeo. Existem dois tipos de multiplicação de matrizes: multiplicação escalar e multiplicação de matrizes. A multiplicação de matrizes não é comutativa. Para duas matrizes 𝐴 e 𝐵, 𝐴 multiplicado por 𝐵 não é igual a 𝐵 multiplicado por 𝐴. A multiplicação de matrizes só é possível quando a primeira matriz tem o mesmo número de colunas que o número de linhas da segunda matriz. E podemos usar as dimensões das duas matrizes que estamos multiplicando para encontrar as dimensões da matriz resultante. Podemos usar a multiplicação de matrizes para encontrar potências de matrizes. E podemos usar a multiplicação de matrizes para encontrar incógnitas nas equações matriciais, considerando como certos componentes na matriz resultante são obtidos.

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