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Vídeo da aula: Calculando Valores de Funções Trigonométricas com Ângulos 30, 45 e 60 Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar os valores de funções trigonométricas para ângulos de 30, 45 e 60 graus.

20:18

Transcrição do vídeo

Calculando valores de funções trigonométricas com ângulos 30, 45 e 60

Neste vídeo, aprenderemos como calcular as funções trigonométricas em ângulos de 30, 45 e 60 graus. Encontraremos esses resultados geometricamente construindo triângulos retângulos. E também veremos como podemos reverter esse processo, considerando a pergunta “E se tivéssemos dois lados de um triângulo retângulo? Podemos determinar os ângulos do triângulo retângulo? ”

Para fazer isso, vamos começar lembrando como definimos as funções trigonométricas para um ângulo 𝜃. Podemos lembrar que as funções trigonométricas são definidas com base nas razões dos comprimentos laterais de um triângulo retângulo. Para encontrar as funções trigonométricas calculadas em um ângulo de 𝜃, começamos esboçando um triângulo retângulo com ângulo 𝜃. Em seguida, rotulamos os lados desse triângulo retângulo com base em sua posição em relação ao ângulo 𝜃. Nós temos a hipotenusa do triângulo retângulo que é o lado mais longo do triângulo retângulo. Esse é o oposto do ângulo reto. Então, o lado oposto ao ângulo 𝜃 é chamado de lado oposto. Finalmente, o lado restante adjacente ao ângulo 𝜃 é chamado de lado adjacente.

Isso nos permite definir as funções trigonométricas no ângulo 𝜃. Primeiro, o sen de 𝜃 será o comprimento do lado oposto ao ângulo 𝜃 dividido pelo comprimento da hipotenusa. Em seguida, o cos do ângulo 𝜃 será o comprimento do lado adjacente ao ângulo 𝜃 dividido pelo comprimento da hipotenusa. Finalmente, a tg do ângulo 𝜃 é o comprimento do lado oposto ao ângulo 𝜃 dividido pelo comprimento do lado adjacente ao ângulo 𝜃.

Portanto, se pudermos construir um triângulo retângulo onde sabemos os comprimentos do triângulo retângulo e os ângulos internos do triângulo retângulo, podemos calcular as funções trigonométricas neste ângulo usando o triângulo retângulo. E há muitas maneiras diferentes de construir triângulos retângulos, onde sabemos os ângulos internos e os comprimentos laterais. Vamos ver dois deles.

Primeiro, considere um quadrado de comprimento unitário. Podemos então construir dois triângulos retângulos cortando o quadrado ao longo de sua diagonal. De fato, esses dois triângulos retângulos serão congruentes, por exemplo, usando o critério de lado-ângulo-lado. Para usar um desses triângulos retângulos para calcular as funções trigonométricas, precisaremos conhecer todos os três comprimentos laterais e seus ângulos internos.

Vamos começar encontrando os ângulos internos. Para fazer isso, podemos começar observando que os triângulos retângulos são isósceles. E, em particular, isso nos diz que dois ângulos não retos desse triângulo retângulo terão a mesma medida. Se chamarmos isso de 𝜃, então sabemos que a soma dos ângulos internos em um triângulo são 180 graus e o ângulo reto tem 90 graus, sabemos que 𝜃 mais 𝜃 mais 90 graus é 180 graus. Podemos então resolver essa equação para 𝜃. Subtraindo 90 graus de ambos os lados da equação, obtemos que dois 𝜃 são iguais a 90 graus. E então nós dividimos por dois para obter que 𝜃 seja de 45 graus. E é claro que isso faz sentido. Estamos cortando o quadrado ao meio, então podemos pensar nisso como cortar o ângulo ao meio.

Vamos agora encontrar o comprimento que falta neste triângulo retângulo. Precisamos encontrar o comprimento da hipotenusa, dado o comprimento dos outros dois lados. Podemos fazer isso usando o teorema de Pitágoras. O teorema de Pitágoras nos diz que, em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos dois lados mais curtos do triângulo retângulo. Então, se chamarmos o comprimento da hipotenusa de ℎ, temos ℎ ao quadrado é igual a um ao quadrado mais um ao quadrado. Podemos então resolver essa equação para ℎ. Um ao quadrado mais um ao quadrado é igual a dois. Então temos ℎ ao quadrado que é igual a dois. E então pegamos a raiz quadrada de ambos os lados da equação. Lembre-se, ℎ é um comprimento, então deve ser positivo. Percebemos que ℎ é igual à raiz quadrada de dois.

Podemos então adicionar isso ao nosso diagrama. E agora podemos ver que temos um triângulo retângulo onde sabemos todos os comprimentos e ângulos internos. Então, estamos quase prontos para usar esse triângulo retângulo para calcular nossas funções trigonométricas. No entanto, lembre-se, ainda precisamos rotular os lados desse triângulo retângulo com base em sua posição em relação ao nosso ângulo. Primeiro, como já dissemos, o lado com comprimento de raiz dois será a hipotenusa neste triângulo retângulo, pois é o lado mais longo oposto ao ângulo reto. Em seguida, o lado oposto ao ângulo de 45 graus é o lado oposto. Finalmente, o lado restante adjacente ao nosso ângulo marcado de 45 graus é o lado adjacente.

Agora podemos usar este triângulo retângulo para calcular as funções trigonométricas nesses valores. Precisamos apenas substituir 𝜃 é de 45 graus, o comprimento do lado adjacente é um, o comprimento do lado oposto é um e o comprimento da hipotenusa é a raiz de dois. Vamos começar com a função seno. Nós temos que o sen de 45 graus é igual a um dividido pela raiz quadrada de dois. Poderíamos deixar nossa resposta assim. No entanto, podemos simplificar isso racionalizando o denominador. Nós multiplicamos o numerador e o denominador pela raiz de dois para obter a raiz de dois dividido por dois. Portanto, mostramos que o sen de 45 graus é raiz de dois sobre dois.

Podemos seguir o mesmo processo para a função cosseno. Nós obtemos que o cos de 45 graus é um sobre a raiz de dois, que é exatamente o mesmo valor que tivemos acima. Portanto, podemos racionalizar o denominador exatamente da mesma maneira para mostrar que o cos de 45 graus também é raiz de dois sobre dois. Finalmente, usando os valores desse triângulo retângulo, podemos mostrar que o tg de 45 graus é igual a um dividido por um, o que obviamente simplifica para dar um. Portanto, usando um quadrado unitário, o teorema de Pitágoras e a definição das funções trigonométricas, fomos capazes de calcular o sen de 45 graus, o cos de 45 graus e a tg de 45 graus.

E agora, antes de usá-los para responder a perguntas envolvendo o cálculo de expressões trigonométricas, há mais um triângulo que podemos usar para calcular as funções trigonométricas em dois ângulos diferentes. Desta vez, em vez de começar com um quadrado unitário, vamos começar com um triângulo equilátero. Lembre-se, os ângulos internos em um triângulo equilátero são todos de 60 graus. E vale a pena notar que aqui podemos escolher qualquer comprimento de lado que quisermos para o nosso triângulo equilátero. Por exemplo, poderíamos usar o comprimento do lado um. No entanto, neste caso, a aritmética sai mais fácil se usarmos o comprimento do lado dois. Então, vamos escolher usar o comprimento do lado dois. No entanto, podemos usar qualquer comprimento lateral que quisermos.

Podemos então construir dois triângulos retângulos a partir do nosso triângulo equilátero, dividindo o nosso triângulo retângulo em dois na reta mediana. Como essa é uma reta mediana, podemos encontrar a base do nosso triângulo retângulo. Terá comprimento um, pois divide o comprimento de dois pela metade. Também podemos encontrar o ângulo interno ausente neste triângulo retângulo, pois a soma dos ângulos internos em um triângulo retângulo soma 180 graus. E podemos ver que 60 graus mais 30 graus mais 90 graus são 180 graus. Portanto, o ângulo que falta mede 30 graus.

E, finalmente, podemos encontrar o comprimento do lado ausente deste triângulo retângulo 𝑙 usando o teorema de Pitágoras. O quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos dois lados mais curtos. Então, dois ao quadrado é igual a 𝑙 ao quadrado mais um ao quadrado. Podemos então resolver essa equação para 𝑙. Primeiro, temos dois ao quadrado é quatro e um ao quadrado é um. Então, podemos subtrair um de ambos os lados da equação para obter que três é igual a 𝑙 ao quadrado. Finalmente, pegamos a raiz quadrada de ambos os lados da equação. Bem, sabemos que 𝑙 é um comprimento, então é positivo. Isso dá que 𝑙 é igual à raiz quadrada de três. Podemos então adicionar isso ao nosso diagrama.

E agora vemos que temos um triângulo retângulo onde conhecemos todos os comprimentos laterais desse triângulo retângulo e todos os seus ângulos internos. Então, mais uma vez, podemos usar esse triângulo retângulo para calcular nossas funções trigonométricas. Para fazer isso, precisamos rotular os lados desse triângulo retângulo com base em sua posição em relação ao ângulo. No entanto, desta vez, temos duas opções. Podemos rotular os lados com base em sua posição em relação a 60 graus ou com base em sua posição em relação a 30 graus. Isso nos permitirá calcular as funções trigonométricas em 60 graus e 30 graus.

Vamos começar rotulando os lados desse triângulo com base em sua posição em relação ao ângulo de 60 graus. Faremos isso redefinindo o triângulo retângulo. Primeiro, como já discutimos, a hipotenusa desse triângulo retângulo é dois, pois é o lado mais longo oposto ao ângulo reto. Em seguida, o lado oposto ao ângulo de 60 graus é o lado oposto. Esse é o lado da raiz de comprimento três. Finalmente, o lado restante adjacente ao nosso ângulo de 60 graus é o lado adjacente. Esse é o lado do comprimento um.

Agora podemos usar isso para calcular o sen, cos e tg de 60 graus. Vamos começar com o sen de 60 graus. É o comprimento do lado oposto a 60 graus dividido pela hipotenusa. Isso é raiz de três dividido por dois. Em seguida, o cos de 60 graus é o comprimento do lado adjacente dividido pelo comprimento da hipotenusa. Este é um dividido por dois, ou um meio. Finalmente, a tg de 60 graus é o comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento do lado adjacente. Podemos ver que isso é a raiz de três dividida por um, o que simplifica para nos dar a raiz de três.

Então, isso nos permitiu calcular as funções trigonométricas a 60 graus. Vamos agora renomear nosso triângulo retângulo com base em sua posição em relação a 30 graus para calcular as funções trigonométricas em 30 graus. Mais uma vez, faremos isso redefinindo o triângulo retângulo. A hipotenusa permanece a mesma; ainda é o lado oposto ao ângulo reto. No entanto, os lados rotulados como o lado oposto e o lado adjacente mudam, pois agora o lado de comprimento um é oposto ao ângulo de 30 graus e o lado de raiz de comprimento três é adjacente ao ângulo de 30 graus.

Agora podemos usar este triângulo retângulo para calcular o sen, cos e tg de 30 graus. O sen de 30 graus é o cateto oposto dividido pela hipotenusa. Isso é um meio. O cos de 30 graus é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Isso é raiz de três sobre dois. E a tg de 30 graus é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente. Isso é um dividido pela raiz de três. E podemos simplificar isso racionalizando o denominador. Nós multiplicamos o numerador e o denominador pela raiz de três para obter a raiz de três sobre três. E isso significa que mostramos como calcular as três funções trigonométricas em 30 graus, 45 graus e 60 graus.

Podemos então limpar algum espaço e construir uma tabela, dando os resultados que acabamos de mostrar. Nas colunas desta tabela, temos os ângulos em graus. E nas linhas da tabela, temos as funções trigonométricas. Então, a entrada nesta linha e coluna nos diz a função trigonométrica calculada neste ângulo. Podemos então usar essa tabela para calcular as funções trigonométricas nesses três ângulos. Por exemplo, se quisermos determinar o cosseno de 60 graus, encontramos a linha da tabela com a função cosseno e a coluna com 60 graus. Então, a entrada nesta tabela nesta linha e coluna nos diz esse valor. O cos de 60 graus é um meio.

E uma tabela como essa é muito útil para guardar na memória, então não precisamos usar a construção geométrica todas as vezes. No entanto, ainda pode ser útil lembrar a construção geométrica para poder provar esses resultados. Vamos agora ver um exemplo em que somos solicitados a calcular uma função trigonométrica.

Encontre o valor exato do seno de 30 graus.

Nesta pergunta, somos solicitados a determinar o valor exato de uma função trigonométrica. Podemos ver que o argumento dessa função trigonométrica é de 30 graus. E, na verdade, existem várias maneiras diferentes de responder a essa pergunta. Por exemplo, poderíamos digitar o seno de 30 graus em nossa calculadora e obteríamos uma resposta exata. No entanto, é possível responder a essa pergunta sem usar uma calculadora, então vamos fazer isso.

E existem duas maneiras de calcular essa expressão sem usar uma calculadora. Primeiro, podemos lembrar que 30 graus é um dos nossos ângulos especiais. Devemos comprometer todas as funções trigonométricas em ângulos de 30 graus, 45 graus e 60 graus na memória. Uma maneira de fazer isso é usar a tabela a seguir. Nas colunas de nossa tabela, temos os ângulos de 30 graus, 45 graus e 60 graus. E nas linhas da nossa tabela, temos as três funções trigonométricas.

Podemos então lembrar a linha envolvendo a função seno, lembrando que o sen de 30 graus é a raiz de um sobre dois, o sen de 45 graus é a raiz de dois sobre dois e o sen de 60 graus é a raiz de três sobre dois. O numerador é a raiz quadrada de um, depois a raiz quadrada de dois e a raiz quadrada de três. A linha para a função cosseno é então invertida. A última entrada é a raiz de um sobre dois. Então, a segunda entrada é a raiz de dois sobre dois. E então a primeira entrada é a raiz de três sobre dois.

E sabemos que a tg de 𝜃 é igual ao sen de 𝜃 dividido pelo cos de 𝜃. Assim, podemos encontrar a linha da tangente em nossa tabela, dividindo a linha do seno na tabela pela linha do cosseno. Em qualquer caso, podemos usar esta tabela para calcular o sen de 30 graus. Precisamos encontrar a entrada na coluna da tabela para 30 graus e a linha da tabela para o sen de 𝜃. E podemos ver que essa entrada é um meio. Isso nos permite concluir que o seno de 30 graus é a um meio.

E poderíamos parar por aqui. No entanto, pode ser difícil memorizar essa tabela. Portanto, também podemos abordar brevemente uma maneira geométrica de calcular o sen de 30 graus. Primeiro, lembramos que as funções trigonométricas são as razões dos comprimentos laterais em um triângulo retângulo. Portanto, podemos usar um triângulo retângulo conhecido para determinar essas funções trigonométricas. Nesse caso, construiremos um triângulo retângulo usando um triângulo equilátero de comprimento lateral dois.

Lembre-se, em um triângulo equilátero, os ângulos internos são de 60 graus. Podemos dividir esse triângulo equilátero em dois usando sua bissetriz perpendicular. Isso corta a base do triângulo pela metade, de modo que o comprimento da base desse triângulo retângulo é um. A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo retângulo é de 180 graus. Portanto, o ângulo que falta neste triângulo retângulo é de 30 graus.

Finalmente, podemos determinar o comprimento do lado ausente usando o teorema de Pitágoras. O teorema de Pitágoras nos diz, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos dois lados mais curtos. Então, se dissermos que o lado que falta tem um comprimento 𝑙, temos 𝑙 ao quadrado mais um ao quadrado é igual a dois ao quadrado. Podemos resolver isso para 𝑙. Reorganizando nossa equação, temos 𝑙 ao quadrado é igual a três. Em seguida, pegamos a raiz quadrada de ambos os lados da equação, onde lembramos que 𝑙 é um comprimento, então é positivo. 𝑙 é a raiz quadrada de três.

Agora, seja lembrando a definição da função senoidal ou usando a sigla SOHCAHTOA, sabemos que o sen de 𝜃 é igual ao comprimento do lado oposto ao ângulo 𝜃 dividido pelo comprimento da hipotenusa. Queremos fazer isso para o ângulo 𝜃 é igual a 30 graus. Primeiro, podemos ver que a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. Esse é o lado do comprimento dois. Em segundo lugar, podemos ver que o lado oposto ao ângulo de 30 graus é o lado de comprimento um. Substituindo esses valores em nossa definição da função seno, obtemos que o sen de 30 graus é um dividido por dois.

Portanto, fomos capazes de encontrar o valor exato do seno de 30 graus de duas maneiras diferentes. Em ambas as maneiras, mostramos que o sen de 30 graus é um meio.

Em nosso próximo exemplo, encontraremos o valor exato de uma expressão trigonométrica envolvendo funções trigonométricas calculadas em 30 graus e 45 graus.

Encontre o valor de dois cos 45 graus vezes o sen de 30 graus.

Nesta pergunta, somos solicitados a calcular uma expressão trigonométrica. E podemos ver que os argumentos de todas as nossas funções trigonométricas são 45 graus e 30 graus. E esses são dois dos nossos ângulos especiais. Devemos comprometer todas as funções trigonométricas calculadas em ângulos de 30 graus, 45 graus e 60 graus na memória. Uma maneira de fazer isso é usar uma tabela de valores conforme mostrado. Nas colunas, temos os ângulos de 30 graus, 45 graus e 60 graus. E em nossas linhas, temos as funções trigonométricas. Em particular, a primeira linha desta tabela será um sobre a raiz de dois, a raiz de dois sobre dois e a raiz de três sobre dois. E a segunda linha desta tabela é a mesma que a primeira linha da tabela ao contrário: raiz de três sobre dois, raiz de dois sobre dois, raiz de um sobre dois.

Podemos então usar esta tabela para calcular o cos de 45 graus. Podemos ver que a entrada na mesma linha é cos 𝜃 e a mesma coluna de 45 graus é a raiz de dois sobre dois. Então, isso nos diz que o cos de 45 graus é a raiz de dois sobre dois. Podemos fazer o mesmo para o seno de 30 graus. Vemos que é igual a um meio. Agora apenas substituímos esses valores em nossa expressão. Isso dá dois cos 45 graus sen 30 graus é igual a duas vezes a raiz de dois sobre dois multiplicado por um meio. Podemos então cancelar o fator compartilhado de dois para obter nossa resposta final de raiz de dois dividido por dois.

Até agora, usamos triângulos retângulos para nos ajudar a calcular as funções trigonométricas. No entanto, também é possível fazer esse processo ao contrário. Se soubermos a razão dos comprimentos laterais de um triângulo retângulo, podemos usar essa informação para determinar o ângulo do triângulo retângulo. Por exemplo, suponha que nos foi dito que o comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento do lado adjacente era um. Então, há muitas maneiras diferentes de encontrar o ângulo 𝜃.

Uma maneira é notar que o comprimento do lado oposto é igual ao lado adjacente, então temos um triângulo retângulo isósceles. Isso significa que o outro ângulo desconhecido também é igual a 𝜃. Portanto, a medida do ângulo 𝜃 é de 45 graus. Adicionando isso ao nosso diagrama, podemos notar algo interessante sobre este triângulo retângulo. Este triângulo retângulo é semelhante ao nosso triângulo retângulo com comprimentos um, um e raiz de dois pelo critério ângulo-ângulo-ângulo. Este é o triângulo retângulo que nos permitiu determinar que a tg de 45 graus era igual a um. Então, uma segunda maneira de responder a essa pergunta é observar que esses dois triângulos retângulos são semelhantes e, em seguida, dimensionar esse triângulo retângulo até o triângulo retângulo dado. Então, podemos usar apenas tg de 45 graus é igual a um para concluir que o ângulo tem medida de 45 graus.

Para nos ajudar a entender melhor essa relação, vamos apresentar a função trigonométrica inversa e algumas de suas propriedades. Primeiro, se 𝑎 é maior que zero e menor que um, então 𝜃 é igual ao inverso do sen de 𝑎 é a única solução do ângulo agudo para a equação sen 𝜃 é igual a 𝑎 e 𝜃 é igual ao inverso do cos de 𝑎 é a única solução de ângulo agudo para a equação cos de 𝜃 é igual a 𝑎.

Em seguida, se 𝑎 é positivo, então 𝜃 é igual ao inverso tg de 𝑎 é a única solução do ângulo agudo para a equação tg até 𝜃 é igual a 𝑎. As funções trigonométricas inversas tomam como entrada o valor da razão de 𝑎 e produzem 𝜃, que é o ângulo no triângulo retângulo para essa razão. E, em particular, essas propriedades nos dizem que o ângulo é único. Portanto, precisamos apenas da razão dos comprimentos laterais no triângulo retângulo para determinar o ângulo.

Vamos ver um exemplo de aplicação das funções trigonométricas inversas para nos ajudar a resolver uma equação.

Se cos de 𝑥 é igual a um meio, encontre o valor de 𝑥, onde zero grau é menor que 𝑥 é menor que 90 graus.

Nesta pergunta, recebemos uma equação trigonométrica envolvendo 𝑥. Somos solicitados a encontrar o valor de 𝑥 e nos é dito que 𝑥 é um ângulo agudo. E como 𝑥 é um ângulo agudo, podemos dizer que 𝑥 é um ângulo possível em um triângulo retângulo. E então, usando a sigla SOHCAHTOA, podemos lembrar que o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o comprimento do lado adjacente e o ângulo dividido pelo comprimento da hipotenusa no triângulo retângulo. Portanto, a equação cos de 𝑥 é igual a um meio está nos dizendo a razão de dois comprimentos laterais em um triângulo retângulo. E então podemos lembrar que podemos resolver isso usando as funções trigonométricas inversas. Em particular, 𝜃 é igual ao cos inverso de 𝑎 é a única solução do ângulo agudo para a equação cos 𝜃 é igual a 𝑎, onde nosso valor de 𝑎 deve estar entre zero e um.

Nesta equação, podemos ver que o valor de 𝑎, a razão, é um meio. Portanto, essa propriedade nos diz que 𝑥 é igual ao inverso do cos de um meio. E podemos calcular o inverso do cos de um meio, lembrando que o cos de 60 graus é igual a um meio. E lembre-se, nossa propriedade nos diz que a solução do ângulo agudo para essa equação é única. Então, como o cos de 60 graus é igual a um meio, podemos ver que 𝑥 é igual a 60 graus é uma solução para nossa equação. Portanto, o inverso do cos de um meio é igual a 60 graus e 𝑥 é igual a 60 graus é a solução para nossa equação.

Vamos agora rever alguns dos principais pontos deste vídeo. Primeiro, mostramos que podemos calcular funções trigonométricas construindo triângulos retângulos de comprimentos laterais e ângulos conhecidos. Em particular, podemos usar resultados geométricos para construir os dois triângulos retângulos a seguir. Construímos o primeiro triângulo retângulo dividindo um quadrado de comprimento unitário ao longo de sua diagonal. E construímos o segundo triângulo retângulo dividindo um triângulo equilátero de comprimento lateral dois ao longo de uma de suas retas medianas. Em seguida, podemos aplicar a trigonometria do triângulo retângulo a esses dois triângulos retângulos para calcular as funções seno, cosseno e tangente nos ângulos de 30 graus, 45 graus e 60 graus. Podemos então construir uma tabela de valores para nos ajudar a lembrar de todos esses cálculos.

Finalmente, vimos que podemos usar as funções trigonométricas inversas para resolver equações e encontrar ângulos ausentes. Em particular, essas funções trigonométricas inversas nos fornecem soluções de ângulo agudo exclusivas. Então, como sabemos os valores das funções seno, cosseno e tangente de 30 graus, 45 graus e 60 graus, podemos usar esses valores juntamente com o fato de que nossas soluções são exclusivas até ângulos agudos para resolver todas essas equações.

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