Vídeo: Encontrando o Limite de uma Combinação de Funções Raiz e Polinomial em um Ponto Utilizando a Racionalização

Encontre lim_(𝑥 → ∞) (2𝑥³ − 4𝑥² − 2𝑥 − 7).

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Transcrição do vídeo

Encontre o limite quando 𝑥 tende ao infinito de dois 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 menos sete.

O limite de qualquer função polinomial quando 𝑥 tende ao infinito é igual ao limite do seu termo de maior grau, e assim o limite quando 𝑥 tende a infinito de dois 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 menos sete é apenas o limite quando 𝑥 tende ao infinito de dois 𝑥 ao cubo. Esse é um fato que você deve conhecer, e tentarei explicar por que isso é verdade, pelo menos nesse caso, no final do vídeo.

Podemos agora aplicar a propriedade da constante múltipla ou escalar de limites, que é que o limite de uma constante da função é igual a essa constante vezes o limite da função. Assim, o limite quando 𝑥 tende a infinito de dois 𝑥 ao cubo é duas vezes o limite de 𝑥 que tende a infinito de 𝑥 ao cubo.

Então, agora só precisamos encontrar o limite quando 𝑥 tende ao infinito de 𝑥 elevado a três para um inteiro positivo, e o limite quando 𝑥 tende a infinito de 𝑥 elevado a 𝑛 é igual a infinito, e certamente o limite quando 𝑥 tende ao infinito de 𝑥 elevado a três é infinito.

Ficamos então com a questão do que fazer com duas vezes o infinito. Duas vezes o infinito é apenas infinito; você não pode aumentar o infinito multiplicando-o por um número. A única coisa que pode acontecer é, se você multiplicar o infinito por um número negativo, então você obtém o infinito negativo, mas como estávamos multiplicando por dois e dois é definitivamente positivo, nós temos infinito.

Nós recebemos a resposta infinito aplicando uma série de regras que tivemos que lembrar, e você pode não ter achado isso particularmente satisfatório, mas todas essas regras podem ser justificadas. Por exemplo, afirmamos que o limite quando 𝑥 tende a infinito de dois 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 menos sete era exatamente o mesmo que o limite quando 𝑥 tende ao infinito de dois 𝑥 ao cubo e, em geral, que o limite de uma função polinomial quando 𝑥 tende ao infinito depende apenas do seu termo de maior ordem.

Embora certamente usando a propriedade multiplicativa de limites no lado direito, podemos ver que o produto dos dois limites no lado direito nos dará o limite no lado esquerdo. Então, aqui estamos tomando 𝑓 de 𝑥 igual a dois 𝑥 ao cubo e 𝑔 de 𝑥 igual a dois 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 menos sete sobre dois 𝑥 ao cubo, e então 𝑓 de 𝑥, 𝑔 de 𝑥, o produto das funções torna-se dois 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 menos sete.

E estamos assumindo que isso ainda vale quando 𝑐 é infinito, e podemos dividir a fração nesse limite, e assim obtemos o limite quando 𝑥 tende ao infinito de dois 𝑥 ao cubo sobre dois 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥 ao quadrado sobre dois 𝑥 ao cubo menos dois 𝑥 sobre dois 𝑥 ao cubo menos sete sobre dois 𝑥 ao cubo.

E, claro, dois 𝑥 ao cubo sobre dois 𝑥 ao cubo é apenas um, e podemos simplificar os outros termos da mesma forma, então o menos quatro 𝑥 ao quadrado sobre dois 𝑥 ao cubo torna-se menos dois sobre 𝑥. E simplificando os próximos dois termos, a expressão do limite torna-se um menos dois sobre 𝑥 menos um sobre 𝑥 ao quadrado menos sete sobre dois 𝑥 ao cubo.

Podemos encontrar o limite de cada termo individualmente, e se não for imediatamente óbvio que todos esses limites sublinhados são zero, você pode provar isso usando a propriedade da constante e a propriedade da potência para relacionar todos esses limites ao limite quando 𝑥 tende a infinito de um sobre 𝑥, a função inversa.

Em qualquer caso, estes três limites são todos zero, e então ficamos com o limite quando 𝑥 tende ao infinito de um, que é claro apenas um, e assim vemos que esse é o limite quando 𝑥 tende ao infinito de dois 𝑥 ao cubo vezes um, que é o limite quando 𝑥 tende ao infinito de dois 𝑥 ao cubo.

E isso é o que nós tivemos que mostrar que o limite quando 𝑥 tende ao infinito de dois 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 menos sete é igual ao limite quando 𝑥 tende ao infinito de dois 𝑥 ao cubo.

O mesmo argumento funciona para um polinômio geral, e assim obtemos a propriedade polinomial de limites que o limite quando 𝑥 tende a infinito de um polinômio depende apenas do termo de maior grau daquele polinômio, e as outras propriedades que usamos ao provar que o limite quando 𝑥 tende ao infinito de dois 𝑥 ao cubo menos quatro 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 menos sete é igual a infinito podem ser provadas de um modo muito semelhante.

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