Video Transcript
Quando os eventos são mutuamente exclusivos, eles não podem acontecer juntos. Se um acontecer, o outro não acontece. Por exemplo, se eu virar uma moeda, ela não pode cair para cima e para baixo ao mesmo tempo, apenas uma ou outra. Neste vídeo, vamos calcular as probabilidades de uniões de eventos mutuamente exclusivos.
Imaginemos que temos uma bolsa com dez discos numerados de um a dez. Alguns desses discos são azuis, alguns são laranja e outros são verdes. Se eu sacudir a sacola e pegar um disco aleatoriamente, pode ser azul, verde ou laranja. Deve ser apenas uma dessas cores.
Assim, os eventos escolher um disco azul, escolher um disco laranja e escolher um disco verde são mutuamente exclusivos. Se um deles acontecer, nenhum dos outros pode acontecer. Da mesma forma, o número no disco que escolhemos aleatoriamente pode ser ímpar ou pode ser par, mas não os dois. Os eventos escolher um número ímpar e escolher um número par também são mutuamente exclusivos.
Agora vamos pensar em alguns eventos diferentes. E quanto a combinações como escolher azul e escolher par? Eventos como escolher um disco azul e escolher um número par podem acontecer juntos porque há um disco azul que é um número par. Por exemplo, o disco dois é azul e é par, então azul e par são eventos mutuamente exclusivos.
Então, um dos principais objetivos deste vídeo é esta regra de eventos mutuamente exclusivos. Se sabemos que alguns eventos são mutuamente exclusivos, e se quisermos calcular a probabilidade de um ou outro deles ocorrer, apenas teremos que adicionar suas probabilidades. A probabilidade da união de eventos mutuamente exclusivos pode ser calculada pela soma de suas probabilidades individuais. Então, digamos que 𝐴 e 𝐵 sejam eventos mutuamente exclusivos. Então a probabilidade de 𝐴 união 𝐵, isto é, a probabilidade que 𝐴 acontece ou 𝐵 acontece, é simplesmente a probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵.
Outro exemplo de eventos mutuamente exclusivos são eventos complementares. É quando consideramos o caso em que algo acontece ou não acontece.
Então, aqui está uma pergunta. Seja 𝐸 o evento em que recebo um múltiplo de três quando jogo um dado de seis lados. Quando você joga um dado, o número que surge é um múltiplo de três ou não é um múltiplo de três; não pode ser ambos. Então essas duas coisas são eventos mutuamente exclusivos, mas eles são um caso especial, porque os eventos são puramente definidos em termos de ser algo ou não ser. E para não denotar isso não sendo algo, usamos um traço após a letra para representar o evento sendo aquela coisa. Isso às vezes é chamado de primo ou o complemento de, então vamos dar uma olhada nisso.
Podemos escrever então 𝐸 linha ou 𝐸 primo ou 𝐸 complementar, mas você quer dizer que é o evento que eu não recebo um múltiplo de três quando eu jogo um dado de seis lados. Agora é certo que qualquer um dos eventos 𝐸 ou 𝐸 linha ocorrerá; ou eu recebo um múltiplo de três quando eu jogo esse dado ou não recebo um múltiplo de três, isso nós sabemos. Então, se eu adicionar essas duas probabilidades, eu devo ter um como resultado. Portanto, a probabilidade de 𝐸 mais a probabilidade de 𝐸 linha é igual a um.
E reorganizando isso um pouco, se eu souber a probabilidade de 𝐸, posso calcular a probabilidade de 𝐸 linha. Se eu souber a probabilidade de 𝐸 linha, então eu posso calcular a probabilidade de 𝐸. E esse resultado se torna muito útil em vários casos diferentes, então vamos ver um exemplo.
Digamos que jogamos dois dados justos de seis lados e adicionamos suas pontuações. Podemos escrever um espaço amostral em uma tabela que se parece com isso. Então, vamos definir 𝐸 como sendo o evento que o resultado soma dez. E para calcular a probabilidade do evento 𝐸, precisamos apenas descobrir quantos dos trinta e seis resultados igualmente prováveis resultam em uma soma de dez, então temos um dois e três.
Assim, a probabilidade de ocorrer um evento 𝐸 é de três de trinta e seis, de modo que se baseia no fato de que sabíamos que todos eram resultados igualmente prováveis, porque ambos são dados justos de seis lados, então todos esses trinta e seis são resultados igualmente prováveis.
Agora, porque definimos 𝐸 como o evento que o resultado soma dez, 𝐸 linha deve ser o evento em que o resultado não totaliza dez. E se quisermos calcular essa probabilidade, temos dois caminhos. Primeiro, poderíamos contar todos os casos em que o resultado não é dez, o que significa percorrer e circular todos eles.
E havia trinta e três deles, então podemos dizer que a probabilidade de 𝐸 linha é trinta e três sobre trinta e seis. Esse é um método perfeitamente aceitável, mas pausei o vídeo para fazer um círculo em torno de todos e, na verdade, isso levou um bom tempo, mas há outra maneira que podemos fazer isso.
Lembre-se que a probabilidade de 𝐸 linha é igual a um menos a probabilidade de 𝐸. Então é um menos nossa primeira resposta, um menos três sobre trinta e seis, o que nos dá a mesma resposta que acabamos de obter, trinta e três sobre trinta e seis, de duas formas diferentes. Mas o método do complemento é às vezes apenas uma maneira mais fácil de fazer esses cálculos; é mais rápido do que somar todos os casos em que algo não é verdade. Então, vamos ver mais um exemplo disso, o que torna o ponto um pouco mais claro.
Ok, então se nós jogássemos cinco moedas e quiséssemos saber a probabilidade de que pelo menos uma delas caia com a coroa virada para cima, então isso é bem complicado. Existem montes de combinações da primeira, segunda, terceira, quarta e quinta moeda com qualquer um, dois, três ou quatro ou todas as cinco com o lado da coroa para cima, o que é muito difícil de escrever e acompanhar e para configurar um modelo de probabilidade para isso. No entanto, se dissermos que pelo menos uma moeda cai com o lado da coroa ou não, então podemos ver rapidamente que existe apenas uma forma de não haver moedas que caiam com o lado da coroa para cima, e isso quer dizer se todas elas caírem cara para cima e é muito mais fácil trabalhar com essa probabilidade. Então vamos dar uma olhada nisso.
Então, é absolutamente certo, que é uma probabilidade de soma um, que ou teremos uma coroa ou duas, três, quatro ou cinco coroas, então teremos pelo menos uma coroa, ou não teremos nada. Então a soma dessas duas probabilidades é igual a um.
Subtraindo a probabilidade de não haver coroas de ambos os lados, posso ver que a probabilidade de obter pelo menos uma coroa é um menos a probabilidade de não sair coroa. E a probabilidade de não sair coroa é a mesma que a probabilidade de todas as cinco moedas saírem com cara para cima.
Então essa probabilidade é meio vezes meio vezes meio vezes meio vezes meio; vai ser cara e cara e cara e cara e cara e assim por diante, que é um sobre trinta e dois, então a probabilidade de obter pelo menos uma coroa é de um menos um sobre trinta e dois, que é trinta e um sobre trinta e dois. Portanto, esse método de probabilidades complementares, a regra complementar ou a regra do complemento, tornou essa questão muito mais fácil do que tentar calcular todas as diferentes combinações de uma coroa na primeira, uma coroa na segunda, uma coroa na terceira, uma coroa na quarta, duas coroas em qualquer combinação, três coroas em qualquer combinação e assim por diante.
Apenas um breve resumo do que aprendemos, se 𝐴 e 𝐵 são eventos mutuamente exclusivos, então a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é a probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵. Então, se eles são eventos mutuamente exclusivos e queremos saber se um ou outro acontece, só temos que adicionar suas probabilidades.
E se 𝐸 é um evento, então 𝐸 linha ou 𝐸 primo ou 𝐸 complemento é o evento complementar no qual 𝐸 não ocorre. E sabemos que é certo que 𝐸 ou vai acontecer ou não vai acontecer, então a soma dessas duas probabilidades deve ser igual a um. Probabilidade de 𝐸 mais a probabilidade de 𝐸 linha é igual a um. Podemos rearranjar isso de maneiras diferentes para calcular a probabilidade de 𝐸 ser um menos a probabilidade de 𝐸 linha, e a probabilidade de 𝐸 linha é um menos a probabilidade de 𝐸. Então, a probabilidade de que algo aconteça é um menos a probabilidade de que isso não aconteça, ou a probabilidade de que isso não aconteça é um menos a probabilidade de que isso aconteça.
