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Neste vídeo, aprenderemos como formar uma função composta, compondo duas ou mais funções lineares, quadráticas, exponenciais ou radicais. Começaremos discutindo o que realmente é uma função composta e o que ela representa. E, em seguida, trabalharemos com uma série de exemplos para encontrar expressões gerais para funções compostas e calculá-las para valores específicos. Também veremos como encontrar o domínio de uma função composta. Antes de começarmos, você já deve estar familiarizado e confortável com a notação de função e a definição do domínio e da imagem de uma função.
Então, o que realmente é uma função composta? Bem, vamos discutir isso no contexto de um cenário prático. Suponha que você visite uma loja que esteja tendo uma liquidação de 20%. Você também tem um voucher de 10 libras de desconto, que lhe foi dado no seu aniversário. Você dá uma olhada na loja e decide comprar um item que custa 150 libras. Vamos dar uma olhada em como seus descontos serão aplicados. Agora, a maneira como a maioria das lojas funciona é que o assistente da loja aplica o desconto de 20% primeiro. Então, seu item, que originalmente custava 150 libras, agora custará 80% disso. Podemos encontrar 80% de um valor multiplicando pelo decimal 0,8. Então, após o desconto de 20%, seu item agora custará 120 libras.
Em seguida, você entregará o seu voucher de oferta e o assistente da loja terá um desconto de 10 libras no preço. Portanto, o preço final que você paga será de 110 libras. Agora, cada um desses descontos pode ser representado usando funções. Suponha que 𝑥 represente o preço de um item. Então, a função 𝑓 de 𝑥 igual a 0,8𝑥 pode ser usada para representar um desconto de 20 por cento, pois essa função calcula 80 por cento de um valor original. A função 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥 menos 10 pode ser usada para representar um desconto de 10 libras. Quando aplicamos o desconto de 20%, estamos aplicando a função 𝑓 de 𝑥. E quando subtraímos as 10 libras, isso aplicando a função 𝑔 de 𝑥 ao resultado.
O que realmente fizemos foi aplicar uma função composta, e é a função conhecida como 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. Pegamos um valor 𝑥, aplicamos a função 𝑓 e, em seguida, aplicamos a função 𝑔 ao resultado. A notação para isso é como a escrita na tela. Às vezes temos um pequeno círculo entre as duas letras usadas para representar as funções, embora às vezes você a veja sem esse círculo. Então, essa é a lógica por trás das funções compostas. Estamos aplicando uma função e depois aplicando outra função ao resultado. Vamos ver como fazer isso formalmente em um exemplo.
Se 𝑓 de 𝑥 é igual a três menos 𝑥 ao quadrado e 𝑔 de 𝑥 é igual a dois 𝑥 mais quatro, encontre 𝑓 de 𝑔 de um.
Agora, vamos esclarecer a notação usada na pergunta. 𝑓 de 𝑔 de um significa que a função composta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 calculada em 𝑥 é igual a um. Também podemos ver isso escrito com um pequeno círculo entre as duas letras. Agora, o que precisamos lembrar é que a função composta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 significa a função que obtemos quando aplicamos 𝑔 primeiro e depois aplicamos 𝑓 ao resultado. Isso não significa o produto das funções 𝑓 e 𝑔. Vamos ver duas maneiras de responder a essa pergunta. No primeiro método, vamos substituir 𝑥 igual a um logo no início. Então, vamos encontrar 𝑔 de um e depois calcular 𝑓 para esse valor. 𝑔 de 𝑥 é a função dois 𝑥 mais quatro, então 𝑔 de um será dois multiplicado por um mais quatro, que é igual a seis.
Agora vamos pegar esse valor e calcular a função 𝑓. Então, 𝑓 de 𝑔 de um se tornará simplesmente 𝑓 de seis. 𝑓 de 𝑥 é a função três menos 𝑥 ao quadrado, então 𝑓 de seis será três menos seis ao quadrado. São três menos 36, o que equivale a menos 33. Então, nesse método, calculamos 𝑔 de um, primeiro de tudo, e depois tomamos isso como nossa entrada para a segunda função. No geral, descobrimos que 𝑓 de 𝑔 de um é igual a menos 33. A segunda abordagem que poderíamos adotar é encontrar uma expressão algébrica geral para a função composta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 e depois calculá-la quando 𝑥 for igual a um. Isso é provavelmente mais complicado neste caso, mas esse método seria útil se nos pedissem para encontrar 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 para vários valores de 𝑥 diferentes.
Então, vamos ver como é. Estamos procurando a função composta geral 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. Lembre -se, 𝑔 de 𝑥 é a função dois 𝑥 mais quatro. Então, substituindo 𝑔 de 𝑥 por dois 𝑥 mais quatro, estamos agora procurando encontrar a função 𝑓 de dois 𝑥 mais quatro. O que fazemos então é pegar a expressão dois 𝑥 mais quatro como nossa entrada para a função 𝑓. 𝑓 de 𝑥 é a função três menos 𝑥 ao quadrado. Então, 𝑓 de dois 𝑥 mais quatro é a função três menos dois 𝑥 mais quatro tudo ao quadrado. Podemos manter nossa função composta nesta forma ou podemos distribuir os parênteses e simplificar, se quisermos. E isso dará 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 é igual a menos quatro 𝑥 ao quadrado menos 16𝑥 menos 13.
Agora temos uma expressão geral para 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. Mas lembre -se, nos pediram para calcular isso quando 𝑥 é igual a um. Então, o passo final é substituir 𝑥 igual a um. Isso dá menos quatro menos 13, o que equivale a menos 33, a mesma resposta que encontramos usando nosso método anterior. Então, em ambos os casos, descobrimos que 𝑓 de 𝑔 de um é igual a menos 33. O primeiro método é provavelmente mais direto para essa pergunta em particular. Mas se precisássemos calcular 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 para vários valores de 𝑥, então o segundo método pode ser mais eficiente.
Agora que vimos como compor funções formalmente, você pode estar se perguntando se faz diferença a ordem que usamos. Então, a função 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 é a mesma que a função 𝑔 de 𝑓 de 𝑥? Bem, vamos ver um cenário prático para investigar isso. Vamos voltar ao cenário com o qual começamos, em que você tem um voucher de 10 libras para uma loja que está tendo uma promoção de 20%. Vimos anteriormente que poderíamos representar esses dois descontos como funções. 𝑓 de 𝑥 é igual a 0,8𝑥 e 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝑥 menos 10. Também vimos que, se estivéssemos comprando um item que custasse 150 libras, se o desconto de 20 por cento fosse aplicado antes do voucher de 10 libras, esse item custaria 110 libras.
Agora, isso poderia ser representado pela função composta 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. 𝑓 de 𝑥 é a função 0,8𝑥, então isso seria 𝑔 de 0,8𝑥. Em seguida, tomamos 0,8𝑥 como nossa entrada para a função 𝑔 de 𝑥. Então, subtraindo 10 disso, temos que 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 é igual a 0,8𝑥 menos 10. Suponha, em vez disso, que o vendedor retirasse seu voucher de 10 libras do preço antes de aplicar o desconto de 20%. Bem, 10 libras de 150 libras são 140 libras e 80 por cento de 140 ou 0,8 vezes 140 são 112. Portanto, neste cenário, o item custaria 112 libras.
Observe que isso não é o mesmo que se os descontos tivessem sido aplicados na outra ordem. Desta vez, o processo geral pode ser representado pela função composta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. Primeiro aplicamos 𝑔 de 𝑥, subtraindo 10 do preço. E então vamos aplicar 𝑓 a isso. 𝑓 de 𝑥 é a função 0,8𝑥, então 𝑓 de 𝑥 menos 10 é 0,8 multiplicado por 𝑥 menos 10 ou 0,8𝑥 menos oito. Vemos então que as duas funções compostas 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 e 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 não dão o mesmo resultado. 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 é 0,8𝑥 menos 10 e 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 é 0,8𝑥 menos oito. Então, vemos que faz diferença a maneira como os descontos foram aplicados. E, portanto, a ordem importa quando estamos falando sobre composição de funções.
Agora, existem certas circunstâncias especiais sob as quais 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 pode ser igual a 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, como se as funções fossem inversas uma da outra. E pode ser verdade, em casos particulares, que 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 para valores particulares de 𝑥, mas certamente não para todos os valores de 𝑥. Assim, podemos dizer que, em geral, 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 não é igual a 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. E devemos, portanto, ter muito cuidado com a ordem em que compomos as funções. Vamos continuar e ver alguns outros exemplos.
Na figura dada, o gráfico em vermelho representa 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, enquanto o azul representa 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥. Quanto é 𝑓 de 𝑔 de dois?
Lembramos, em primeiro lugar, que a notação 𝑓 de 𝑔 de dois significa que pegamos o valor 𝑥 igual a dois, aplicamos a função 𝑔, primeiro de tudo, e depois aplicamos a função 𝑓 ao resultado. Vamos começar então encontrando o valor de 𝑔 de dois. Lembre-se, 𝑔 é representado pelo gráfico azul. Então, encontramos dois no eixo 𝑥, movemos até o gráfico azul — esse é este ponto aqui — e vemos que o valor 𝑦, que será 𝑔 de dois, é um. Então, aplicando 𝑔 de 𝑥 ao valor dois, obtemos o valor um. Agora vamos aplicar a função 𝑓 ao resultado. 𝑓 de 𝑔 de dois se torna 𝑓 de um. Nós substituímos 𝑔 de dois pelo valor que encontramos de um.
Em seguida, voltamos à figura e, desta vez, estamos olhando para o gráfico em vermelho. Encontramos um no eixo 𝑥, movemos até o gráfico vermelho - esse é este ponto aqui - e vemos que o valor 𝑦, representando 𝑓 de um, será três. Então, descobrimos que 𝑔 de dois é um, e então 𝑓 de 𝑔 de dois, que é 𝑓 de um, é três. Então, nós completamos o problema. Agora, apenas para demonstrar um ponto importante, suponha que tenhamos feito isso na ordem oposta. Suponha que pensamos que 𝑓 de 𝑔 de dois significa que aplicamos a função 𝑓 primeiro.
Bem, olhando para dois no eixo 𝑥 e subindo para o gráfico em vermelho para 𝑓, vemos que 𝑓 de dois é igual a quatro. Se aplicássemos a função 𝑔 ao resultado, que, na notação correta, seria 𝑔 de 𝑓 de dois, então isso é 𝑔 de quatro. Encontramos quatro no eixo 𝑥, subimos para o gráfico azul e vemos que o valor de 𝑦 aqui é quatro. 𝑔 de 𝑓 de dois é quatro, enquanto 𝑓 de 𝑔 de dois é três. E assim, vemos que a ordem é extremamente importante quando estamos compondo funções. A resposta correta, 𝑓 de 𝑔 de dois, é três.
Em nosso próximo exemplo, veremos como determinar o domínio de uma função composta.
Se a função 𝑓 de 𝑥 é igual a 17 sobre 𝑥, onde 𝑥 não é igual a zero, e a função 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado menos 361, determine o domínio de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥.
Lembramos, em primeiro lugar, que essa notação, 𝑓 e depois um pequeno círculo e depois 𝑔 de 𝑥, significa a função composta encontrada quando aplicamos a função 𝑔 primeiro e depois aplicamos a função 𝑓 ao resultado. Somos solicitados a determinar o domínio dessa função composta. E lembramos então que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores sobre os quais a função atua. Observe que, na definição da função 𝑓 de 𝑥, somos informados de que isso é válido para 𝑥 diferente de zero. E isso porque se tentássemos calcular 𝑓 de zero, teríamos 17 sobre zero, o que é indefinido. Portanto, o domínio da função 𝑓 de 𝑥 são todos os números reais, exceto zero.
Para a função 𝑔 de 𝑥, nenhuma restrição foi dada porque não há valores que causem problemas. Podemos elevar ao quadrado qualquer valor e depois subtrair 361 sem ter problemas com valores indefinidos. Vamos considerar duas abordagens para essa questão. A primeira é encontrar uma expressão algébrica para a função composta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. Então, começamos com um valor 𝑥, aplicamos a função 𝑔 de 𝑥, que dará 𝑥 ao quadrado menos 361, e então tomamos isso como nossa entrada para a função 𝑓. 𝑓 de 𝑥 é a função onde dividimos 17 pela nossa entrada. Então, 𝑓 de 𝑥 ao quadrado menos 361 é 17 sobre 𝑥 ao quadrado menos 361. E assim, temos uma expressão geral para a função composta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥.
Agora, observe que isso será indefinido quando o denominador da fração for igual a zero. É quando 𝑥 ao quadrado menos 361 é igual a zero. Podemos resolver essa equação adicionando 361 a cada lado e calculando a raiz quadrada. A raiz quadrada de 361 é 19, então descobrimos que 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 será indefinido quando 𝑥 for igual a mais ou menos 19. Isso significa que nossa função 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 pode atuar em todos os valores, exceto 19 positivo ou negativo, portanto, podemos expressar seu domínio de duas maneiras. Podemos escrever 𝑥 não é igual a 19 positivo ou negativo. Ou podemos escrever o domínio como o conjunto de todos os números reais menos o conjunto que contém os dois elementos menos 19 e mais 19. Qualquer um desses dois estilos de notação seria absolutamente bom.
Agora, outra maneira de abordar esse problema seria usar o fato de que nossa segunda função 𝑓 de 𝑥 não pode atuar no valor zero. Se 𝑓 de zero for indefinido, isso significa que a função composta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 será indefinida quando 𝑔 de 𝑥 for igual a zero. Ou seja, quando a primeira função fornece o valor zero, que tentamos inserir em nossa segunda função. 𝑔 de 𝑥 é a função 𝑥 ao quadrado menos 361. Então, para descobrir onde 𝑔 de 𝑥 é igual a zero, estaríamos resolvendo essa equação quadrática. Mas isso apenas nos leva ao mesmo estágio de trabalho que tivemos aqui em nosso método anterior. Então, qualquer uma dessas abordagens seria absolutamente boa. E em ambos os casos, concluímos que o domínio da função composta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 são todos os números reais exceto 19 negativo e 19 positivo.
Vamos revisar alguns dos pontos principais que vimos neste vídeo. Composição de funções significa que aplicamos uma função e depois aplicamos outra função ao resultado. Podemos representar isso em diagrama. Se aplicarmos a função 𝑓 de 𝑥 seguida pela função 𝑔 de 𝑥, isso pode ser escrito como a função composta 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. Também notamos que para poder compor funções, o intervalo da primeira função, ou seja, seus valores de saída, deve ser um domínio adequado para a segunda.
Também vimos que a ordem em que compomos as funções é incrivelmente importante. Em geral, a função composta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 não é igual à função composta 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. Ou seja, se aplicarmos 𝑔 primeiro e depois aplicarmos 𝑓 ao resultado, não obteremos a mesma resposta que se aplicássemos 𝑓 primeiro e depois aplicássemos 𝑔 ao resultado. Para nos ajudar a lembrar qual função aplicar primeiro ao trabalhar com funções compostas, sempre trabalhamos a partir do centro dos parênteses. No caso de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥, começamos com um valor 𝑥, aplicamos a função 𝑔 e, em seguida, aplicamos a função 𝑓 ao resultado. Enquanto na função 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, começamos com um valor 𝑥, aplicamos a função 𝑓 e depois aplicamos a função 𝑔 ao resultado.
