Pop Video: Fórmula de Euler com Teoria Introdutória de Grupos

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Dois anos atrás, quase no dia de hoje, eu publiquei o primeiro vídeo neste canal sobre a fórmula de Euler, 𝑒 elevado a 𝜋𝑖 que é igual a menos um. Como um tipo de aniversário, quero revisitar a mesma ideia. Por um lado, eu sempre quis melhorar a apresentação. Mas eu não reformularia um tópico antigo se não houvesse algo novo para ensinar. Veja bem, a ideia subjacente a esse vídeo era pegar certos conceitos de um campo da matemática chamado teoria dos grupos e mostrar como eles dão à fórmula de Euler uma interpretação muito mais rica do que uma associação espelhada entre números. E, há dois anos, pensei que poderia ser divertido usar essas ideias sem fazer referência à teoria dos grupos ou a qualquer um dos termos técnicos nela contidos. Mas acabei percebendo que vocês gostam de aprender matemática, mesmo que demore algum tempo.

Então, aqui, dois anos depois, vamos, você e eu, fazer uma introdução aos conceitos básicos da teoria dos grupos, construindo como a fórmula de Euler ganha vida sob essa luz. Se tudo o que você deseja é uma explicação rápida da fórmula de Euler e se você está confortável com o cálculo vetorial. Vou seguir em frente e apresentar uma explicação particularmente curta na tela, na qual você pode pausar e refletir. Se não faz sentido, não se preocupe. Não é necessário para onde estamos indo. A razão pela qual eu quero publicar este vídeo de teoria de grupos não é porque eu acho que é uma explicação melhor. Caramba, nem é uma prova completa. É realmente uma intuição. É porque ele tem a chance de mudar a forma como você pensa sobre números e como você pensa sobre álgebra.

Veja bem, a teoria dos grupos trata de estudar a natureza da simetria. Por exemplo, um quadrado é uma forma muito simétrica. Mas o que realmente queremos dizer com isso? Uma maneira de responder é perguntar: quais são todas as ações que você pode executar no quadrado que o deixam indistinguível de como começou? Por exemplo, você pode girá-lo 90 graus no sentido anti-horário. E parece totalmente o mesmo de como começou. Você também pode girar em torno dessa linha vertical e, novamente, ainda parece idêntico. De fato, a coisa por trás dessa simetria perfeita é que é difícil acompanhar quais ações foram realmente tomadas. Então, para ajudar, vou seguir em frente e colar uma imagem assimétrica aqui. E chamamos cada uma dessas ações de simetria do quadrado. E todas as simetrias juntas formam um grupo de simetrias ou apenas um grupo, para abreviar.

Este grupo em particular consiste em oito simetrias. Há a ação de não fazer nada, que é o que contamos, além de três rotações diferentes. E então, há quatro maneiras de virar o quadrado. E, de fato, esse grupo de oito simetrias tem um nome especial. Chama-se grupo diédrico de ordem oito. E esse é um exemplo de um grupo finito, consistindo em apenas oito ações. Mas muitos outros grupos consistem em infinitas ações. Pense em todas as rotações possíveis, por exemplo, de qualquer ângulo. Talvez você pense nisso como um grupo que atua em um círculo, capturando todas as simetrias desse círculo que não envolvem girá-lo. Aqui, toda ação desse grupo de rotação está em algum lugar no infinito contínuo entre zero e dois 𝜋 radianos.

Um aspecto interessante dessas ações é que podemos associar cada uma delas com um único ponto no próprio círculo, a coisa que está sendo executada. Você começa escolhendo algum ponto arbitrário, talvez o da direita aqui. Então toda simetria do círculo, toda rotação possível, leva esse ponto marcado a algum ponto único do círculo. E a ação em si é completamente determinada por onde ela leva esse ponto. Agora, isso nem sempre acontece com grupos. Mas é bom quando isso acontece, porque nos dá uma maneira de rotular as ações em si que, de outra forma, podem ser bastante difíceis de se pensar. O estudo de grupos não é apenas sobre o que é um conjunto específico de simetrias. Sejam as oito simetrias de um quadrado, o contínuo infinito de simetrias do círculo ou qualquer outra coisa com a qual você sonha. O verdadeiro coração e alma do estudo é saber como essas simetrias se tocam.

No quadrado, se eu girar 90 graus e girar em torno do eixo vertical, o efeito geral é o mesmo que se eu tivesse acabado de pular essa linha diagonal. Então, em certo sentido, essa rotação mais o giro vertical é igual ao giro diagonal. No círculo, se eu girar 270 graus e segui-lo com uma rotação de 120 graus, o efeito geral é o mesmo que se eu tivesse acabado de girar 30 graus para começar. Portanto, neste grupo de círculos, uma rotação de 270 graus mais uma rotação de 120 graus é igual a uma rotação de 30 graus. E, em geral, com qualquer grupo, qualquer coleção desses tipos de ações simétricas, existe um tipo de aritmética em que você sempre pode executar duas ações e adicioná-las para obter uma terceira, aplicando uma após a outra. Ou talvez você pense nisso como ações multiplicadoras. Isso realmente não importa. O ponto é que há uma maneira de combinar as duas ações para obter outra.

Essa coleção de relações subjacentes, todas as associações entre pares de ações e a ação única que equivale a aplicar uma após a outra, é o que realmente faz de um grupo um grupo. É realmente louco o quanto da matemática moderna está enraizada, bem, isso é, para entender como uma coleção de ações é organizada por essa relação. Essa relação entre pares de ações e a ação única que você obtém compondo-as. Grupos são extremamente gerais. Muitas ideias diferentes podem ser enquadradas em termos de simetrias e simetrias de composição. E talvez o exemplo mais familiar seja números, apenas números comuns. E, na verdade, existem duas maneiras distintas de pensar nos números como um grupo. Uma onde as ações de composição parecerão uma adição. E outra onde as ações de composição parecerão multiplicação.

É um pouco estranho, porque geralmente não pensamos em números como ações. Geralmente pensamos neles como contando coisas. Mas deixe-me mostrar o que eu quero dizer. Pense em todas as maneiras pelas quais você pode deslizar uma reta numérica para a esquerda ou direita. Essa coleção de todas as ações deslizantes é um grupo, o que você pode pensar como o grupo de simetrias em uma reta infinita. E da mesma maneira que as ações do grupo do círculo podem ser associadas a pontos individuais nesse círculo. Esse é outro desses grupos especiais em que podemos associar cada ação a um ponto único sobre o que realmente está agindo. Você apenas segue onde termina o ponto que começa em zero.

Por exemplo, o número três está associado à ação de deslizar para a direita em três unidades. O número menos dois está associado à ação de deslizar duas unidades para a esquerda. Desde que essa é a ação única que arrasta o ponto em zero até o ponto em menos dois. E o número zero em si? Bem, isso está associado à ação de não fazer nada. Esse grupo de ações deslizantes, cada uma delas associada a um número real único, possui um nome especial. O grupo aditivo de números reais. A razão pela qual a palavra aditivo está presente é devido à aparência da operação de grupo de aplicar uma ação seguida por outra. Se eu deslizar para a direita em três unidades e, em seguida, deslizar para a direita em duas unidades, o efeito geral será o mesmo que se eu deslizasse para a direita em três mais dois ou cinco unidades. Simples o suficiente, estamos apenas adicionando as distâncias de cada deslize.

Mas o ponto aqui é que isso fornece uma visão alternativa para o que os números são. Eles são um exemplo em uma categoria muito maior de grupos, grupos de simetrias atuando em algum objeto. E a aritmética da adição de números é apenas um exemplo da aritmética que qualquer grupo de simetrias possui. Também poderíamos estender essa ideia, perguntando sobre as ações deslizantes no plano complexo. Os números introduzidos recentemente — 𝑖, dois 𝑖, três 𝑖 e assim por diante — nesta linha vertical seriam todos associados a movimentos de deslizamento verticais. Como essas são as ações que arrastam o ponto em zero até o ponto relevante nessa linha vertical. O ponto aqui em três mais dois 𝑖 estaria associado à ação de deslizar o avião de tal maneira que arraste zero para cima e para a direita até esse ponto.

E deve fazer sentido porque chamamos isso de três mais dois 𝑖. Essa ação de deslizamento diagonal é igual ao primeiro deslizamento de três para a direita e, em seguida, segue-o com um deslize que corresponde a dois 𝑖, que são duas unidades na vertical. Da mesma forma, vamos ter uma ideia de como a composição de duas dessas ações geralmente se decompõe. Considere esta ação deslize-por-três-mais-dois-𝑖, bem como a ação deslize-por-um-menos-três-𝑖 e imagine aplicar uma delas logo após a outra. O efeito geral, a composição dessas duas ações deslizantes, é a mesma que se tivéssemos deslizado três mais um para a direita e dois menos três na vertical. Observe como isso envolve adicionar cada componente. Portanto, compor ações deslizantes é outra maneira de pensar sobre o que realmente significa adicionar números complexos.

Essa coleção de todas as ações deslizantes no plano complexo 2D recebe o nome de grupo aditivo de números complexos. Novamente, o resultado aqui é que números, mesmo números complexos, são apenas um exemplo de um grupo. E a ideia de adição pode ser pensada em termos de aplicação sucessiva de ações. Mas os números, esquizofrênicos como são, também levam uma vida completamente diferente como um tipo de grupo completamente diferente. Considere um novo grupo de ações na reta numérica, todas as maneiras pelas quais você pode esticá-la ou esmagá-la, mantendo tudo uniformemente espaçado e mantendo esse número zero fixo. Mais uma vez, esse grupo de ações possui essa propriedade agradável, na qual podemos associar cada ação no grupo a um ponto específico sobre o que está agindo.

Nesse caso, siga para onde vai o ponto que começa no número um. Há uma e apenas uma ação de alongamento que aproxima esse ponto de um a três, por exemplo; ou seja, esticar por um fator de três. Da mesma forma, há uma e apenas uma ação que leva esse ponto em um ao ponto um meio; ou seja, esmagar por um fator de um meio. Eu gosto de imaginar usando uma mão para fixar o número zero no lugar e usando a outra para arrastar o número um para onde eu quiser. Enquanto o resto da reta numérica apenas faz o que for preciso para ficar espaçada uniformemente. Dessa forma, cada número positivo é associado a uma ação única de alongamento ou esmagamento.

Agora, observe como são as ações de composição neste grupo. Se eu aplicar a ação alongar por três e segui-la com a ação alongar por dois. O efeito geral é o mesmo que se eu tivesse acabado de aplicar a ação alongar por seis, o produto dos dois números originais. E, em geral, aplicar uma dessas ações seguida por outra corresponde à multiplicação dos números aos quais eles estão associados. De fato, o nome desse grupo é o grupo multiplicativo de números reais positivos. Portanto, a multiplicação, a multiplicação familiar comum, é mais um exemplo dessa ideia geral e de longo alcance dos grupos e da aritmética dentro dos grupos. E também podemos estender essa ideia ao plano complexo. Mais uma vez, gosto de fixar o zero no lugar com uma mão e arrastar o ponto em um, mantendo todo o resto uniformemente espaçado enquanto o faço.

Mas desta vez, ao arrastarmos o número um para lugares que estão fora da reta numérica real, vemos que nosso grupo inclui não apenas ações de alongamento e esmagamento. Mas ações que também têm algum componente rotacional. O exemplo por excelência disso é a ação associada a esse ponto em 𝑖, uma unidade acima de zero. O que é necessário para arrastar o ponto de um para aquele ponto de 𝑖 é uma rotação de 90 graus. Portanto, a ação multiplicativa associada a 𝑖 é uma rotação de 90 graus. E observe que, se eu aplicar essa ação duas vezes seguidas, o efeito geral é girar o plano 180 graus. E essa é a ação única que leva o ponto um ao menos um. Portanto, nesse sentido, 𝑖 vezes 𝑖 é igual a menos um. Ou seja, a ação associada a 𝑖 seguida pela mesma ação associada a 𝑖 tem o mesmo efeito geral que a ação associada à menos um.

Como outro exemplo, aqui está a ação associada a dois mais 𝑖, arrastando um até esse ponto. Se você quiser, pode pensar nisso como uma rotação de 30 graus, seguida por um alongamento de um fator de raiz quadrada de cinco. E, em geral, todas essas ações multiplicativas são uma combinação de um alongamento ou um esmagamento, uma ação associada a algum ponto na reta numérica real positiva. Seguido de uma rotação pura, na qual rotações puras estão associadas a pontos desse círculo, aquele com raio um. Isso é muito parecido com o modo como as ações de deslizamento no grupo aditivo podem ser divididas como um deslize horizontal puro, representado com pontos na reta numérica real, além de um deslize puramente vertical, representado com pontos nessa reta vertical.

Essa comparação de como as ações de cada grupo são divididas será importante, então lembre-se disso. Em cada uma, você pode dividir qualquer ação como uma ação numérica puramente real, seguida por algo específico para números complexos. Sejam deslizes verticais para o grupo aditivo ou rotações puras para o grupo multiplicativo. Essa é a nossa rápida introdução aos grupos.

Um grupo é uma coleção de ações simétricas em algum objeto matemático, seja quadrado, um círculo, a reta numérica real ou qualquer outra coisa que você sonhe. E todo grupo tem uma certa aritmética, na qual você pode combinar duas ações aplicando uma após a outra e perguntando que outra ação do grupo produz o mesmo efeito geral. Os números, reais e complexos, podem ser pensados ​​de duas maneiras diferentes como um grupo. Eles podem agir deslizando, nesse caso, a aritmética do grupo parece uma adição comum. Ou eles podem agir com essas ações de alongamento, esmagamento e rotação. Nesse caso, a aritmética do grupo se parece com a multiplicação.

E com isso, vamos falar sobre exponenciação. Nossa primeira introdução aos expoentes é pensar neles em termos de multiplicação repetida, certo? Quero dizer, o significado de algo como dois ao cubo é tomar dois vezes dois vezes dois. E o significado de algo como dois elevado a cinco é dois vezes dois vezes dois vezes dois vezes dois. E uma consequência disso, algo que você pode chamar de propriedade exponencial, é que, se eu adicionar dois números no expoente, digamos dois elevado a três mais cinco, isso pode ser dividido como o produto de dois elevado a três vez dois elevado a cinco. E quando você expande as coisas, isso parece bastante razoável, certo? Mas expressões como dois elevado a um meio ou dois elevado a menos um e, muito menos, dois elevado a 𝑖 realmente não fazem sentido quando você pensa nos expoentes como multiplicação repetida. Quero dizer, o que significa multiplicar dois por ele mesmos um meio da vez ou menos um da vez?

Portanto, fazemos algo muito comum em toda a matemática e vamos além da definição original, que só faz sentido para contar números, para algo que se aplica a todos os tipos de números. Mas não fazemos isso aleatoriamente. Se você pensar em como os expoentes fracionários e negativos são definidos, é sempre motivado tentando garantir que essa propriedade, dois elevado a 𝑥 mais 𝑦 é igual a dois elevado a 𝑥 vezes dois elevado a 𝑦, ainda seja válida. Para ver o que isso pode significar para expoentes complexos, pense no que essa propriedade está dizendo a partir de uma luz da teoria dos grupos. Está dizendo que adicionar as entradas corresponde à multiplicação das saídas. E isso torna muito tentador pensar nas entradas não apenas como números, mas como membros do grupo aditivo de ações deslizantes. E pensar nos resultados não apenas como números, mas como membros desse grupo multiplicativo de ações de alongamento e esmagamento.

Agora, é estranho pensar em funções que executam um tipo de ação e emitem outro tipo de ação. Mas isso é algo que realmente aparece o tempo todo ao longo da teoria dos grupos. E essa propriedade exponencial é muito importante para essa associação entre grupos. Garante que, se eu compor duas ações de deslizamento, talvez um deslize por menos um e depois um deslize por dois, isso corresponderá à composição das duas ações de saída. Nesse caso, esmague de dois para menos um e depois estique por dois ao quadrado. Os matemáticos descreveriam uma propriedade como essa dizendo que a função preserva a estrutura do grupo no sentido de que a aritmética dentro de um grupo é o que lhe dá sua estrutura. E uma função como essa exponencial joga bem com essa aritmética. Funções entre grupos que preservam a aritmética como essa são realmente importantes em toda a teoria dos grupos. O suficiente para ganhar um bom nome, homomorfismos.

Agora pense no que tudo isso significa para associar o grupo aditivo no plano complexo ao grupo multiplicativo no plano complexo. Já sabemos que quando você substitui um número real a dois elevado a 𝑥, obtém um número real, um número real positivo de fato. Portanto, essa função exponencial pega qualquer deslize puramente horizontal e o transforma em pura ação de alongamento ou esmagamento. Então, você não concorda que seria razoável para essa nova dimensão de ações aditivas, deslizar para cima e para baixo, transformar diretamente para essa nova dimensão de ações multiplicativas, rotações puras? Essas ações de deslizamento vertical correspondem a pontos nesse eixo vertical. E aquelas ações multiplicativas rotativas correspondem a pontos no círculo com raio um.

Então, o que significaria para uma função exponencial, como dois elevado a 𝑥, transformar deslizes puramente verticais em rotações puras seria que números complexos nessa linha vertical, múltiplos de 𝑖, sejam transformados para números complexos nesse círculo unitário. De fato, para a função dois elevado a 𝑥, a entrada 𝑖, um deslize vertical de uma unidade, é transformada para uma rotação de cerca de 0.693 radianos. Ou seja, uma volta ao redor do círculo unitário que cobre 0.693 unidades de distância. Com uma função exponencial diferente, digamos cinco elevado a 𝑥, essa entrada 𝑖, um deslize vertical de uma unidade, seria transformada para uma rotação de cerca de 1.609 radianos. Uma volta ao redor do círculo unitário cobrindo exatamente 1,609 unidades de distância. O que torna o número 𝑒 especial é que, quando o exponencial 𝑒 elevado a 𝑥 transforma os deslizes verticais para rotações, um deslize vertical de uma unidade, correspondente a 𝑖, transforma para uma rotação de exatamente um radiano. Uma volta ao redor do círculo unitário cobrindo uma distância de exatamente um.

E assim, um deslize vertical de duas unidades seria transformado para uma rotação de dois radianos. Um deslize de três unidades para cima corresponde a uma rotação de três radianos. E um deslize vertical de exatamente 𝜋 unidades acima correspondente à entrada, 𝜋 vezes 𝑖, transforma para uma rotação de exatamente 𝜋 radianos, na metade do círculo. E essa é a ação multiplicativa associada ao número negativo. Agora você pode perguntar, por quê 𝑒? Por que não outra base? Bem, a resposta completa reside no cálculo. Quero dizer, esse é o local de nascimento do 𝑒 e onde ele é definido. Mais uma vez, deixarei outra explicação na tela se você deseja uma descrição mais completa. E se você estiver confortável com o cálculo. Mas em um nível alto, direi que isso tem a ver com o fato de que todas as funções exponenciais são proporcionais à sua própria derivada. Mas 𝑒 elevado a 𝑥 sozinho é aquele que é realmente igual à sua própria derivada.

O ponto importante que quero destacar aqui é que, se você vê as coisas das lentes da teoria dos grupos, pensar nas entradas para uma função exponencial como ações deslizantes e pensar nas saídas como ações de alongamento e rotação. Ele fornece uma maneira muito vívida de ler o que uma fórmula como esta está dizendo. Ao ler, você pode pensar que as exponenciais, em geral, transformam deslizes puramente verticais, as ações aditivas que são perpendiculares à reta numérica real, em rotações puras. Que são, de certa forma, perpendiculares às ações reais de alongamento de números. Além disso, 𝑒 elevado a 𝑥 faz isso de uma maneira muito especial que garante que um deslize vertical de 𝜋 unidades corresponda a uma rotação de exatamente 𝜋 radianos. A rotação de 180 graus associada ao número menos um.

Para finalizar as coisas aqui, quero mostrar uma maneira de pensar sobre essa função 𝑒 elevado a 𝑥 como uma transformação do plano complexo. Eu gosto de imaginar primeiro enrolando o plano em um cilindro, envolvendo todas essas linhas verticais em círculos. E então pegando aquele cilindro e meio que jogando-o no plano em torno de zero. Onde cada um desses círculos concêntricos, espaçados exponencialmente, corresponde ao que começou como retas verticais.