Vídeo: Calculando Combinações Utilizando Suas Propriedades

Calcule ¹⁵⁷𝐶₁₅₇ + ⁵¹𝐶₁.

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Transcrição do vídeo

Calcule 157 combinação 157 mais 51 combinação um.

Agora, para nos ajudar a resolver este problema, nós realmente temos uma forma geral. E isso é 𝑛 combinação 𝑟 é igual a 𝑛 fatorial sobre 𝑟 fatorial 𝑛 menos 𝑟 fatorial. E podemos realmente usar isso para nos ajudar a encontrar o valor de nossos termos. Bem, quando olhamos para calcular 157 combinação 157 mais 51 combinação um, o que precisamos fazer é lidar com cada um desses termos separadamente. Então, vamos começar com 157 combinação 157. E isso está na forma 𝑛 combinação 𝑛 porque na verdade o nosso valor 𝑛 é o mesmo que o nosso valor 𝑟.

E há, na verdade, uma relação especial que nos diz que, se tivermos 𝑛 combinação 𝑛, isso será igual a um. Portanto, podemos dizer que nossos 157 combinação 157 também serão iguais a um. Mas o que vou fazer é provar isso mostrando como isso funcionará se usarmos a fórmula geral. Portanto, 157 combinação 157, então isso será igual a 157 fatorial, porque esse é o nosso 𝑛 sobre 𝑟 fatorial, que é 157 fatorial e, em seguida, multiplicado por 𝑛 menos 𝑟, portanto 157 menos 157, fatorial. E isso será igual a 157 fatorial sobre 157 fatorial multiplicado por zero fatorial. Bem, uma das regras que temos é que zero fatorial é igual a um. Então, portanto, vamos ter tudo isso igual a 157 fatorial sobre 157 fatorial, que é igual a um. E assim, isso prova que o que dissemos no início, que foi 𝑛 combinação 𝑛 - ou, neste caso, 157 combinação 157 - é igual a um.

Ok, brilhante. Agora vamos seguir em frente e calcular nosso próximo termo. Então, se olharmos para o nosso segundo termo, que é 51 combinação um, então, mais uma vez, isso tem uma forma especial, porque se tivermos 𝑛 combinação um, então isso é sempre igual a 𝑛. Mas, vamos usar a fórmula geral apenas para mostrar isso novamente. Assim, temos 51 combinação um é igual a 51 fatorial sobre um fatorial multiplicado por 51 menos um fatorial, que será igual a 51 fatorial sobre um fatorial multiplicado por 50 fatorial. Bem, também sabemos que um fatorial é igual a um. Portanto, vamos ter 51 fatorial sobre 50 fatorial.

Bem, se pensarmos sobre o que isso realmente significa, será 51 vezes 50 vezes 49 vezes 48, tudo dividido por 50 vezes 49 vezes 48, etc. Portanto, se dividirmos tudo por nosso 50 fatorial, ficamos com 51. Assim, podemos dizer que 51 combinação um nos dá uma resposta de 51. E ótimo, isso realmente se encaixa no que pensávamos ter acontecido no começo porque dissemos que 𝑛 combinação um é igual a 𝑛. Bem, 𝑛 é 51 no nosso caso. Então, 51 combinação um é igual a 51. Ok, então agora o que precisamos fazer é calcular 157 combinação 157 mais 51 combinação um. Então, isso será igual a um mais 51. Portanto, podemos dizer que, se calcularmos 157 combinação 157 mais 51 combinação um teremos 52.

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