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Determine o valor do cosseno de 180 graus menos 𝜃 sabendo que seno de 𝜃 é menos de
três quintos para 𝜃 entre 270 graus e 360 graus.
Então, essencialmente, estamos à procura de um cosseno e deram-nos um seno. Então, podemos utilizar algumas identidades trigonométricas para nos ajudar. Cosseno ao quadrado de 𝜃 mais seno ao quadrado 𝜃 é igual a um e sabemos que o seno
de 𝜃 é menos três quintos. Então, podemos determinar o cosseno. Então, avancemos e façamos o quadrado de menos três quintos. Menos três ao quadrado é nove e cinco ao quadrado é 25.
Então, agora, precisamos de subtrair nove 25 avos a ambos os membros da equação. Agora, quando temos um menos nove 25 avos, podemos fazer o 25 25 avos. Podemos subtrair o numerador 25 menos nove e mantemos o denominador. Assim, cosseno ao quadrado de 𝜃 é igual a 16 25avos. E agora aplicamos a raiz quadrada aos dois membros. A raiz quadrada de 16 é quatro e a raiz quadrada de 25 é cinco. Então cosseno de 𝜃 é quatro quintos.
Agora, estão a pedir-nos o cosseno de 180 graus menos 𝜃. Nós poderíamos reescrever isto. Podemos separar os 180 graus para serem 90 graus mais 90 graus. Agora, utilizando redução ao primeiro quadrante, temos que isto é igual a menos seno
de 90 graus menos 𝜃. E a maneira como o obtivemos isto foi deixar os 90 graus menos 𝜃 apenas representar
um 𝜃 genérico. E temos o cosseno de 90 graus mais 𝜃 igual a menos seno de 𝜃.
Agora, menos seno de 90 graus menos 𝜃 é igual a menos cosseno 𝜃. Porque o sabemos por redução ao primeiro quadrante, o seno de 90 graus menos 𝜃 é
igual ao cosseno de 𝜃. Então, a única diferença é que temos um menos seno à esquerda, o que significa que
também precisamos de um menos seno à direita. Então, se estes são iguais entre si e descobrimos que o cosseno de 𝜃 era quatro
quintos, então podemos pegar nisso e substituir o cosseno de 𝜃. Então menos cosseno de 𝜃 é igual a menos quatro quintos.
E percebemos que a nossa resposta é menos quatro quintos. Agora também temos outra informação. Também nos é dito que 𝜃 está entre 270 graus e 360 graus. Então, isto significa que estamos no quarto quadrante, entre 270 e 360. E também sabemos que o cosseno de 𝜃 representa os nossos valores em 𝑥 e o seno de
𝜃 representa os nossos valores em 𝑦. Então, se sabemos que o cosseno de 𝜃 é quatro quintos, estaremos a olhar para o
valor em 𝑥 no quarto quadrante, que é positivo.
No entanto, o que nos pediram foi para determinar este cosseno de 180 graus menos 𝜃,
que achamos ser igual a menos o nosso cosseno de 𝜃. E sabemos que, como está no quarto quadrante, o cosseno de 𝜃 é positivo. Mas agora temos que acrescentar este menos seno à frente. Então, isto significa que a nossa resposta final é menos quatro quintos.
