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Dado que 𝑦 é igual a menos seis 𝑧 ao quadrado menos 23 e 𝑧 é igual a menos quatro
sobre 𝑥, determine 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥.
Procuramos a derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 e recebemos 𝑦 em termos de outra
variável 𝑧 e 𝑧 em termos de 𝑥. Então, isso parece um trabalho para a regra da cadeia, que diz que a derivada de 𝑦
em relação a 𝑥 é igual à derivada de 𝑦 em relação a alguma outra variável 𝑧 vezes
a derivada de 𝑧 em relação a 𝑥.
Vamos aplicar a regra da cadeia ao nosso problema. Precisamos encontrar 𝑑𝑦 por 𝑑𝑧. Essa é a derivada de 𝑦 em relação a 𝑧. Felizmente, temos 𝑦 escrito em termos de 𝑧. Então isso é simples. 𝑦 é igual a menos seis 𝑧 ao quadrado menos 23. Derivamos ambos os lados em relação a 𝑧. Usando o fato de que a derivada de uma diferença de funções é a diferença de suas
derivadas e usando a fórmula para a derivada de um número vezes uma potência em
relação à base dessa potência e também o fato de que a derivada de uma função
constante é zero, ficamos com menos 12𝑧.
Tendo encontrado 𝑑𝑦 por 𝑑𝑧, agora passamos para encontrar 𝑑𝑧 por 𝑑𝑥. E para encontrar 𝑑𝑧 por 𝑑𝑥, usamos a relação entre 𝑧 e 𝑥. 𝑧 é igual a menos quatro sobre 𝑥 e podemos escrever isso na notação exponencial
como 𝑧 é igual a menos quatro 𝑥 elevado a menos um. Podemos agora aplicar nossa propriedade sobre a derivada de um número vezes a
potência de uma variável em relação a essa variável.
Para tornar as coisas mais claras, vamos mudar o 𝑧 na nossa regra para 𝑥. É importante notar que poderíamos substituir 𝑧 por qualquer letra que gostaríamos e
ainda assim expressaria a mesma regra. Mas optamos por substituir 𝑧 por 𝑥 porque vamos derivar em relação a 𝑥. Aplicando nossa regra, achamos que 𝑑𝑧 por 𝑑𝑥 seja quatro 𝑥 elevado a menos dois
ou se você quiser evitar expoentes negativos quatro sobre 𝑥 ao quadrado.
Usando esta expressão para 𝑑𝑧 por 𝑑𝑥, vemos que 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 é menos 12 vezes 𝑧
vezes quatro sobre 𝑥 ao quadrado. Agora, é apenas um caso de simplificar essa expressão. E como parte da simplificação, percebemos que temos 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 escrito não apenas
em termos de 𝑥, mas também em termos da variável 𝑧. E gostaríamos que fosse apenas em termos de 𝑥 se isso for possível. E é possível porque 𝑧 é menos quatro sobre 𝑥.
Substituindo menos quatro sobre 𝑥 em 𝑧, obtemos uma expressão para 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 em
termos de 𝑥 sozinho. E podemos simplificar essa expressão com menos 12 vezes menos quatro vezes quatro
fazendo 192 no numerador e 𝑥 vezes 𝑥 ao quadrado fazendo 𝑥 ao cubo no
denominador.
𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 é então 192 sobre 𝑥 ao cubo.
