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Vídeo da aula: Equação de uma Circunferência Matemática • 2º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como determinar a equação de uma circunferência utilizando o seu centro e um determinado ponto ou o raio e vice-versa.

17:36

Transcrição do vídeo

Equação de uma Circunferência

Neste vídeo, discutiremos o que é uma circunferência, como deduzir a equação de uma circunferência e aprenderemos como determinar a equação de uma circunferência dado o seu centro e um ponto na circunferência e como determinar o centro e raio de uma circunferência dada a sua equação. Antes de passarmos a determinar a equação de uma circunferência, vamos relembrar brevemente a definição matemática de uma circunferência. Uma circunferência é o conjunto ou lugar geométrico de todos os pontos a uma determinada distância de um ponto. Por outras palavras, temos um centro da nossa circunferência e todos os pontos da nossa circunferência estão à mesma distância do centro. Chamamos isto de raio da circunferência.

Agora, para nos ajudar a determinar uma equação para a nossa circunferência, precisaremos de representá-la num gráfico cartesiano. Para fazer isto, precisamos de escolher um ponto para o nosso centro; vamos escolher a origem. Este é o ponto com coordenadas zero, zero e representamo-la com um 𝑂. Queremos determinar a equação de uma circunferência geral, então referir-nos-emos ao raio com a letra 𝑟. Então, vamos escolher um ponto na nossa circunferência. Vamos chamá-lo de ponto 𝑥, 𝑦. Precisamos de determinar uma relação entre 𝑥 e 𝑦.

A primeira coisa que podemos notar neste esboço é que 𝑦 não é uma função de 𝑥. A razão para isto é considerar um valor para o objeto 𝑥. Para que 𝑦 seja uma função de 𝑥, precisamos de uma imagem específica para a nossa função. No entanto, podemos ver que haverá duas imagens neste caso. Portanto, isto não pode ser representado como uma função de 𝑥, portanto, não podemos utilizar o nosso método normal. Vamos tentar utilizar um método geométrico. Para começar, unir uma reta vertical do nosso eixo O𝑥 ao ponto 𝑥, 𝑦. E como esta é uma reta vertical, isto significa que teremos um triângulo retângulo. Na verdade, podemos determinar a altura deste triângulo. Como este vai do eixo O𝑥 ao ponto 𝑥, 𝑦, sua altura será 𝑦.

Também vale a pena ressaltar que se o nosso ponto 𝑥, 𝑦 estivesse abaixo do eixo O𝑥, precisaríamos de obter o valor absoluto de 𝑦. Portanto, em ambos os casos, este comprimento será apenas o valor absoluto de 𝑦. É claro que podemos fazer exatamente a mesma coisa para determinar a largura do nosso triângulo. Vai do eixo O𝑦 ao ponto 𝑥, 𝑦. Portanto, a sua largura será o valor absoluto de 𝑥. Agora temos um triângulo retângulo onde conhecemos todos os três comprimentos. E vamos aplicar o teorema de Pitágoras neste triângulo. Lembre-se, isto diz-nos que a largura ao quadrado mais a altura ao quadrado será igual à hipotenusa ao quadrado.

No nosso caso, a largura do nosso triângulo era igual ao valor absoluto de 𝑥. A altura do nosso triângulo era igual ao valor absoluto de 𝑦. E o comprimento da nossa hipotenusa era igual a 𝑟. Portanto, pelo teorema de Pitágoras, devemos ter o valor absoluto de 𝑥 ao quadrado mais o valor absoluto de 𝑦 ao quadrado igual a 𝑟 ao quadrado. Mas lembre-se, não importa se um número é positivo ou negativo quando o colocamos ao quadrado; teremos ainda a mesma resposta. Portanto, na verdade, podemos simplificar o valor absoluto de 𝑥 ao quadrado para 𝑥 ao quadrado e o valor absoluto de 𝑦 ao quadrado para apenas 𝑦 ao quadrado. Portanto, podemos simplificar esta equação para obter 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado igual a 𝑟 ao quadrado. E esta é a equação da nossa circunferência centrada na origem de raio 𝑟.

Também vale a pena ressaltar que, tecnicamente, como as nossas interseções em 𝑥 e 𝑦 não formam um triângulo retângulo desta maneira, precisamos de verificar se estes pontos satisfazem a nossa equação separadamente. No entanto, utilizando o raio da circunferência igual a 𝑟, podemos apenas apontar as coordenadas e ver que todas estas satisfazem a nossa equação. Portanto, todos os pontos da nossa circunferência satisfazem a equação 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado igual a 𝑟 ao quadrado. Portanto, deduzimos que a equação de uma circunferência centrado na origem de um raio 𝑟 é 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado é igual a 𝑟 ao quadrado.

Mas isto levanta a questão: o que teria acontecido se não tivéssemos escolhido a origem como o nosso centro? E se tivéssemos escolhido um ponto diferente? Bem, podemos fazer praticamente a mesma coisa. Vamos considerar este exemplo em que escolhemos o centro para ser o ponto ℎ, 𝑘. Mais uma vez, escolheremos um ponto na nossa circunferência e designá-lo-emos por 𝑥, 𝑦. Lembre-se, estamos com o raio da nossa circunferência igual a 𝑟. E assim como fizemos antes, formaremos o mesmo triângulo retângulo. Desta vez, precisamos de ter um pouco mais de cuidado ao determinar o comprimento e a largura do nosso triângulo retângulo. Por exemplo, para determinar a altura do nosso triângulo retângulo, vamos do ponto com coordenada em 𝑦 𝑘 para o ponto com coordenada em 𝑦 𝑦. Por outras palavras, a altura deste triângulo retângulo será 𝑦 menos 𝑘.

Mas lembre-se, às vezes o nosso valor de 𝑦 será menor do que o nosso valor de 𝑘. Isto dar-nos-ia uma resposta negativa. Então, vamos considerar o valor absoluto de 𝑦 menos 𝑘. E podemos fazer algo muito semelhante para determinar a largura do nosso triângulo retângulo. Desta vez, vamos de ℎ para 𝑥. Isto significa que a largura do nosso triângulo retângulo será o valor absoluto de 𝑥 menos ℎ. E, assim como fizemos antes, agora aplicamos o teorema de Pitágoras a este triângulo retângulo. Isto dá-nos o valor absoluto de 𝑥 menos ℎ ao quadrado mais o valor absoluto de 𝑦 menos 𝑘 ao quadrado igual a 𝑟 ao quadrado.

E lembre-se, se estamos a fazer o quadrado de um sinal de valor absoluto, não precisamos do símbolo de valor absoluto. Então, vamos escrever isto equivalentemente como 𝑥 menos ℎ tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑘 tudo ao quadrado mais 𝑟 ao quadrado. E isso dá-nos uma equação para a nossa circunferência centrado no ponto ℎ, 𝑘 com um raio de 𝑟. Mas lembre-se, tecnicamente, existem quatro pontos na nossa circunferência que não nos dão um triângulo retângulo nesta forma. Mas, assim como fizemos antes, podemos utilizar o facto de que o nosso raio é 𝑟 para determinar as coordenadas de cada um destes pontos. Podemos então ver que estes também satisfazem a nossa equação. Então, mostrámos que todos os pontos da nossa circunferência satisfazem esta equação.

Portanto, provámos que uma circunferência centrada no ponto ℎ, 𝑘 com um raio 𝑟 terá a equação 𝑥 menos ℎ tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑘 tudo ao quadrado igual a 𝑟 ao quadrado. Então, dado o centro da nossa circunferência e o raio da nossa circunferência, podemos determinar a equação da circunferência. Mas o oposto também é verdadeiro. Se nos derem a equação da nossa circunferência, podemos apenas determinar o centro e o raio. Antes de passarmos para alguns exemplos, há mais uma coisa sobre a qual precisamos de falar: a forma geral da equação de uma circunferência. Para fazer isto, precisamos de distribuir os quadrados entre parênteses na nossa equação para formar uma circunferência. Fazendo isto, obtemos 𝑥 ao quadrado menos dois ℎ𝑥 mais ℎ ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado menos dois 𝑘𝑦 mais 𝑘 ao quadrado é igual a 𝑟 ao quadrado.

Mas lembre-se, ℎ, 𝑘 e 𝑟 são apenas constantes, então podemos chamar de menos dois ℎ 𝑎, menos dois 𝑘 𝑏 e ℎ ao quadrado mais 𝑘 ao quadrado menos 𝑟 ao quadrado 𝑐. Então, usando-os e reorganizando-os, obtemos 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado mais 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 igual a zero. Esta é a chamada forma geral da equação de uma circunferência. Vamos agora passar para um exemplo de como determinar o centro e o raio de uma circunferência, dada a sua equação.

Determine o centro e o raio da circunferência 𝑥 mais quatro ao quadrado mais 𝑦 menos dois ao quadrado igual a 225.

Temos a equação de uma circunferência. Precisamos de utilizar isto para determinar o centro da nossa circunferência e o raio da nossa circunferência. Para começar, vamos recordar a equação de uma circunferência. Sabemos que uma circunferência com um centro no ponto ℎ, 𝑘 e um raio de 𝑟 terá a equação 𝑥 menos ℎ ao quadrado mais um menos 𝑘 tudo ao quadrado igual a 𝑟 ao quadrado. E podemos ver que a equação que nos deram está quase nesta forma. Temos que ter cuidado, no entanto. Por exemplo, não estamos a subtrair uma constante de 𝑥; estamos a adicionar a constante quatro. Mas lembre-se, adicionar quatro é o mesmo que subtrair menos quatro. Portanto, podemos escrever isto como 𝑥 menos quatro ao quadrado mais 𝑦 menos dois ao quadrado igual a 225.

Agora, é realmente fácil ver o centro da nossa circunferência. O nosso valor de ℎ é menos quatro e o nosso valor de 𝑘 é dois. Tudo o que precisamos de fazer agora é determinar o raio da nossa circunferência. Neste caso, o raio ao quadrado será igual a 225. Então, queremos que 𝑟 ao quadrado seja igual a 225. Existem algumas maneiras diferentes de fazer isto. Por exemplo, poderemos obter as raízes quadradas de ambos os lados desta equação. Normalmente, obteremos uma raiz quadrada positiva e uma negativa. Mas lembre-se, neste caso, isto representa o raio. Este é um comprimento, então deve ser positivo. Então, obtemos que 𝑟 é igual à raiz quadrada positiva de 225. Podemos calcular isto; é igual a 15. Portanto, podemos escrever 225 como 15 ao quadrado. Isto significa que o raio da nossa circunferência deve ser igual a 15.

Lembre-se, o centro da nossa circunferência será o ponto ℎ, 𝑘. Mostrámos que ℎ é igual a menos quatro e 𝑘 é igual a dois. E, claro, já mostrámos que o raio era 15. Portanto, dada a equação da circunferência 𝑥 mais quatro ao quadrado mais 𝑦 menos dois ao quadrado igual a 225, fomos capazes de mostrar que o centro desta circunferência era o ponto menos quatro, dois e o raio desta circunferência era 15.

Vamos agora passar para um exemplo em que temos o gráfico de uma circunferência e precisamos de determinar a equação desta circunferência.

Na figura abaixo, determine a equação da circunferência.

Temos o gráfico de uma circunferência. Precisamos de determinar a equação desta circunferência. Vamos começar por recordar o que sabemos sobre a equação de uma circunferência. Sabemos que uma circunferência centrada no ponto ℎ, 𝑘 e que tem um raio de 𝑟 terá a equação 𝑥 menos ℎ tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑘 tudo ao quadrado igual a 𝑟 ao quadrado. Portanto, para determinar a equação de uma circunferência, precisamos apenas de determinar o seu centro e o seu raio. Lembre-se, todos os pontos da nossa circunferência serão equidistantes do centro da nossa circunferência. No nosso caso, o centro da nossa circunferência está identificado. Precisamos apenas de determinar as coordenadas desta circunferência.

Ao movermo-nos verticalmente para o nosso eixo O𝑥, podemos ver que a coordenada em 𝑥 deste centro é menos cinco. E fazendo o mesmo na direção horizontal, podemos ver que a coordenada em 𝑦 deste centro é menos quatro. Portanto, o centro da nossa circunferência é menos cinco, menos quatro. Mas como vamos determinar o raio da nossa circunferência? Lembre-se, este será o comprimento de qualquer linha do centro da nossa circunferência à nossa circunferência. Existem muitas opções diferentes para os raios que podemos escolher. Um exemplo é escolher a seguinte linha. Podemos ver que esta é uma linha horizontal que vai do centro da nossa circunferência ao ponto com coordenada em 𝑥 zero. Por outras palavras, o nosso raio será o comprimento da reta horizontal de 𝑥 igual a menos cinco a 𝑥 igual a zero.

Obviamente, o comprimento desta linha é igual a cinco. Portanto, o nosso valor de 𝑟 é cinco. Agora precisamos de substituir os nossos valores de ℎ, 𝑘 e 𝑟 em nossa equação por uma circunferência. Substituindo em ℎ igual a menos cinco, 𝑘 igual a menos quatro e 𝑟 igual a cinco, obtemos 𝑥 menos cinco ao quadrado mais 𝑦 menos quatro ao quadrado igual a cinco. E poderemos deixar a nossa resposta assim. No entanto, também podemos simplificar 𝑥 menos cinco para 𝑥 mais cinco e 𝑦 menos quatro para 𝑦 mais quatro. E, claro, também podemos calcular cinco ao quadrado para nos dar 25. Portanto, fomos capazes de mostrar que a equação da circunferência que nos foi dada na figura é 𝑥 mais cinco ao quadrado mais 𝑦 mais quatro ao quadrado igual a 25.

Vamos agora ver um exemplo de como determinar a equação de uma circunferência na forma geral.

Escreva, na forma 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑦 ao quadrado mais 𝑐𝑥 mais 𝑑𝑦 mais 𝑒 igual a zero, a equação da circunferência de raio 10 e centro quatro, menos sete.

A questão quer que encontremos a equação de uma circunferência de raio 10 e centro quatro, menos sete. Em particular, podemos ver que nos pedem para dar isto na forma geral de uma circunferência. Para fazer isto, começaremos com a equação de uma circunferência. Sabemos que uma circunferência de raio 𝑟 centrado no ponto ℎ, 𝑘 terá a equação 𝑥 menos ℎ tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑘 tudo ao quadrado igual a 𝑟 ao quadrado. E, neste caso, já nos disseram o centro da nossa circunferência, e já nos disseram o raio da nossa circunferência. A nossa circunferência está centrada no ponto quatro, menos sete. Portanto, o valor de ℎ é quatro e o valor de 𝑘 é menos sete. E a nossa circunferência tem um raio de 10, então o nosso valor de 𝑟 é igual a 10.

Então, precisamos apenas de substituir estes valores na nossa equação por uma circunferência. Substituindo o centro da nossa circunferência e o raio da nossa circunferência, obtemos a equação 𝑥 menos quatro ao quadrado mais 𝑦 l menos sete ao quadrado igual a 10 ao quadrado. Claro, isto não está na forma geral da equação de uma circunferência. Para fazer isto, precisamos de distribuir os nossos quadrados entre parênteses. Existem algumas maneiras diferentes de fazer isso. Por exemplo, poderemos utilizar a expansão binomial ou o método FOIL. De qualquer forma, distribuindo o quadrado sobre o nosso primeiro conjunto de parênteses, obtemos 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥 mais 16.

Para distribuir o quadrado pelo nosso segundo conjunto de parênteses, pode ser mais fácil reescrever isto como 𝑦 mais sete ao quadrado. Então, se distribuirmos isto, obtemos 𝑦 ao quadrado mais 14𝑦 mais 49. A última coisa que faremos é calcular 10 ao quadrado para nos dar 100. Finalmente, tudo o que precisamos de fazer é reescrever isto na forma dada na questão. Para começar, reorganizamos estes quatro termos para nos dar 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado menos oito 𝑥 mais 14𝑦. Em seguida, queremos subtrair 100 de ambos os membros da equação. Fazendo isto, podemos ver que obtemos um termo constante de 16 mais 49 menos 100. E podemos calcular isto; é igual a menos 35.

Portanto, obtemos a equação 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado menos oito 𝑥 mais 14𝑦 menos 35 igual a zero. E agora podemos ver que isto está na forma geral que nos foi dada na questão. Portanto, fomos capazes de mostrar a forma geral da equação de uma circunferência de raio 10 centrado no ponto quatro, menos sete é dado pela equação 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado menos oito 𝑥 mais 14𝑦 menos 35 é igual a zero.

Vamos agora ver um exemplo sobre como determinar a equação de uma circunferência, dado o seu centro e um ponto que se encontra na circunferência.

Determine a equação de uma circunferência que passa pelo ponto 𝐴: zero, oito se o seu centro for 𝑀: menos dois, menos seis.

A questão quer que determinemos a equação de uma circunferência. Disseram-nos que esta circunferência passa pelo ponto 𝐴 que tem coordenadas zero, oito. E o centro desta circunferência é o ponto 𝑀 que tem coordenadas menos dois, menos seis. Vamos começar por esboçar o que sabemos sobre esta circunferência. Para começar, vamos representar o centro da nossa circunferência no nosso gráfico. Este é o ponto 𝑀. Tem coordenadas menos dois e menos seis. A seguir, também traçaremos o ponto 𝐴 no nosso gráfico. Lembre-se, a circunferência passa por este ponto e tem coordenadas zero, oito. Na verdade, não precisamos esboçar a nossa circunferência para responder a esta questão; no entanto, esboçaremos um segmento desta circunferência para facilitar a visualização.

Vamos agora lembrar o que sabemos sobre as equações das circunferência. Sabemos que uma circunferência centrada no ponto ℎ, rad com um raio de 𝑟 terá a equação 𝑥 menos ℎ tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑘 tudo ao quadrado igual a 𝑟 ao quadrado. Por outras palavras, para determinar a equação de uma circunferência, precisamos apenas de saber as coordenadas do seu centro e do seu raio. Claro, neste caso, já nos disseram as coordenadas do centro da circunferência. Disseram-nos que o seu centro é menos dois, menos seis. Portanto, podemos definir o nosso valor de ℎ igual a menos dois e o nosso valor de 𝑘 igual a menos seis. Isto significa que para determinar a equação desta circunferência, tudo o que precisamos de fazer é determinar o seu raio.

Lembre-se, 𝑟 será o comprimento do centro da nossa circunferência a qualquer ponto da nossa circunferência. Sabemos apenas as coordenadas de um ponto da nossa circunferência. Este é o ponto 𝐴. Portanto, no nosso caso, para determinar o valor de 𝑟, precisamos de determinar o comprimento da reta entre menos dois, menos seis e zero, oito. E existem algumas maneiras diferentes de abordar este problema. Vamos resolver isto desenhando o seguinte triângulo retângulo. Vamos unir o ponto 𝑀 ao eixo O𝑦 utilizando uma reta horizontal. A largura deste triângulo será o valor absoluto da coordenada em 𝑥 de 𝑀, que é dois. A altura desta secção será o valor absoluto da coordenada em 𝑦 de 𝑀, que é seis. E a altura desta seção do triângulo será a coordenada em 𝑦 de 𝐴, que é oito.

Então, podemos combinar estes dois comprimentos para descobrir que a altura do nosso triângulo será oito mais seis, que é 14. Agora, temos um triângulo retângulo onde sabemos a sua largura e a sua altura. Portanto, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para determinar o comprimento da sua hipotenusa. Isto diz-nos que 𝑟 ao quadrado é igual a dois ao quadrado mais 14 ao quadrado. Se calcularmos dois ao quadrado mais 14 ao quadrado, obteremos 200. E neste ponto, podemos calcular o raio. Será a raiz quadrada positiva de 200 porque, lembre-se, o raio é um comprimento, então deve ser positivo. No entanto, na nossa fórmula, precisamos apenas do valor de 𝑟 ao quadrado, que sabemos ser 200.

Portanto, podemos substituir 𝑟 ao quadrado igual a 200, ℎ igual a menos dois e 𝑘 igual a menos seis na nossa equação de uma circunferência. Isto dá-nos 𝑥 menos dois ao quadrado mais 𝑦 menos seis ao quadrado igual a 200. Finalmente, podemos simplificar 𝑥 menos dois para nos dar 𝑥 mais dois e menos seis para nos dar 𝑦 mais seis. E isto dá-nos nossa resposta final. Portanto, fomos capazes de mostrar que dado que uma circunferência tem o seu centro no ponto 𝑀, que é menos dois, menos seis, e a circunferência também passa pelo ponto 𝐴, que tem coordenadas zero, oito, fomos capazes de mostrar o A equação desta circunferência deve ser 𝑥 mais dois ao quadrado mais 𝑦 mais seis ao quadrado igual a 200.

Vamos agora repassar pelos pontos principais deste vídeo. Primeiro, utilizando a definição de uma circunferência e o teorema de Pitágoras, fomos capazes de deduzir que uma circunferência de raio 𝑟 com o seu centro no ponto ℎ, 𝑘 terá a equação 𝑥 menos ℎ tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑘 tudo ao quadrado é igual a 𝑟 ao quadrado. Também vimos que podemos determinar o centro e o raio de uma circunferência apenas a partir da sua equação. Se uma circunferência tem a equação 𝑥 menos ℎ tudo ao quadrado mais 𝑦 menos 𝑘 tudo ao quadrado mais 𝑟 ao quadrado, então o seu centro será o ponto ℎ, e o seu raio será 𝑟, é claro, onde 𝑟 é um número positivo porque representa um comprimento.

Também mostrámos que podemos determinar a equação de uma circunferência dadas apenas as coordenadas do seu centro e um ponto na circunferência. E isto acontece porque podemos determinar o raio neste caso, porque é apenas a distância entre o centro e o ponto que nos é dado. E poderíamos determinar esta distância utilizando o teorema de Pitágoras. Finalmente, ao distribuir os quadrados sobre os parênteses na nossa equação de uma circunferência, fomos capazes de mostrar que a equação de uma circunferência na sua forma geral é dada pela equação 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado mais 𝑎𝑥 mais 𝑏𝑦 mais 𝑐 é igual a zero para algumas constantes 𝑎, 𝑏 e 𝑐.

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