Lesson Video: Distâncias e Pontos Médios no Plano Complexo

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Neste vídeo, aprenderemos sobre distâncias e pontos médios no plano complexo. E, ao fazer isso, veremos alguns exemplos básicos de como números complexos podem ajudar a resolver problemas geométricos. Vamos pular direto a um exemplo.

Qual é a distância entre os números menos dois e seis no plano complexo?

Vemos que já temos um plano complexo ou diagrama de Argand desenhado para nós, com os números menos dois e seis marcados. Nossa pergunta é qual é a distância entre esses dois números no plano complexo. Bem, menos dois e seis não são apenas números complexos. Eles também são números reais. E assim eles se encontram no eixo real do plano complexo, que podemos considerar apenas como a reta numérica real normal.

A distância é medida ao longo desta reta numérica real. E vemos que para passar de menos dois para seis, temos que mover duas unidades para chegar ao zero e depois outras seis unidades para chegar a seis, perfazendo um total de oito unidades. Esta é a distância entre menos dois e seis no plano complexo. E é exatamente o mesmo que a distância entre os números reais menos dois e seis na reta numérica real.

Vamos agora ver um exemplo envolvendo números imaginários.

Qual é a distância entre os números menos três 𝑖 e sete 𝑖 no plano complexo?

Vamos desenhar um diagrama de Argand para nos ajudar e marcar menos três 𝑖 e sete 𝑖. Ambos os números são puramente imaginários e, portanto, estão no eixo imaginário do plano complexo. E assim a distância entre eles é medida ao longo deste eixo. Para passar de menos três 𝑖 a zero, é necessário mover três unidades para cima. E continuando de zero a sete 𝑖, você precisa mover mais sete unidades. Portanto, a distância total é de três mais sete, que é 10.

Vamos agora ver um exemplo em que os dois números não estão no mesmo eixo.

Encontre a distância entre os números complexos 𝑧 um e 𝑧 dois mostrados no plano complexo. Dê sua resposta de uma forma simplificada exata.

Primeiro, vamos identificar 𝑧 um e 𝑧 dois. A parte real de 𝑧 um é menos dois. E sua parte imaginária é sete. Portanto, este é o número complexo menos dois mais sete 𝑖, pois é representado pelo ponto menos dois, sete. Fazemos a mesma coisa para 𝑧 dois. Acontece que são seis menos três 𝑖, que é representado pelo ponto seis, menos três. E estamos procurando a distância entre esses dois números no plano complexo. Lembre-se de que a distância entre os pontos 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois em um plano de coordenadas é a raiz quadrada de 𝑥 um menos 𝑥 dois ao quadrado mais 𝑦 um menos 𝑦 dois ao quadrado. Podemos substituir a coordenada pelos pontos que correspondem aos nossos números complexos nessa fórmula para encontrar nossa distância.

Estamos procurando a distância entre menos dois, sete e seis, menos três. Então, 𝑥 um é menos dois. E 𝑦 um é sete. 𝑥 dois é seis. E 𝑦 dois é menos três. Substituindo, obtemos a raiz quadrada de menos dois menos seis ao quadrado mais sete menos menos três ao quadrado. Menos dois menos seis são menos oito. E sete menos menos três é 10. E menos oito ao quadrado são apenas oito ao quadrado. Portanto, a distância é a raiz quadrada de oito ao quadrado mais 10 ao quadrado, que é a raiz quadrada de 64 mais 100, em outras palavras, a raiz quadrada de 164. E 164 são dois ao quadrado vezes 41. Portanto, na forma simplificada de raiz, isso é dois raiz de 41.

Não precisamos usar a fórmula da distância. Também poderíamos usar o teorema de Pitágoras, desenhando um triângulo retângulo em nosso diagrama, contando quadrados para ver que temos comprimentos laterais de oito e 10. Essas são as diferenças das partes real e imaginária de nossos números complexos, respectivamente. O teorema de Pitágoras nos diria então que o comprimento da hipotenusa, que é a distância entre os dois números complexos, é a raiz quadrada de oito ao quadrado mais 10 ao quadrado, que é exatamente o que obtivemos nessa linha de trabalho aqui. O teorema de Pitágoras é, obviamente, como a fórmula da distância para pontos em um eixo de coordenadas é comprovada.

No contexto do plano complexo, esses pontos representam números complexos. E assim podemos reescrever nossa fórmula com isso em mente. A distância entre os números complexos, 𝑧 um é igual a 𝑥 um mais 𝑦 um 𝑖 e 𝑧 dois é igual a 𝑥 dois mais 𝑦 dois 𝑖, é a raiz quadrada de 𝑥 um menos 𝑥 dois ao quadrado mais 𝑦 um menos 𝑦 dois ao quadrado. A única diferença aqui é que estamos falando dos números complexos 𝑥 um mais 𝑦 um 𝑖 e 𝑥 dois mais 𝑦 dois 𝑖, em vez dos pontos 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois. É isso que você obtém quando pensa em números complexos como pontos no plano complexo. Mas também podemos pensar em números complexos como vetores. Vamos ver o que essa abordagem leva.

Agora, estamos pensando nos números complexos 𝑧 um, que é menos dois mais sete 𝑖, e 𝑧 dois, que é seis menos três 𝑖, como vetores. E, em vez de apenas pensar na distância entre 𝑧 um e 𝑧 dois, consideramos esse vetor aqui, que chamarei de 𝑉. Para ir da cauda ou ponto inicial de 𝑉 até a ponta ou ponto terminal, você pode percorrer com menos 𝑧 dois até a origem. E então, 𝑧 um leva você aonde deseja ir. 𝑉 é, portanto, menos 𝑧 dois mais 𝑧 um ou 𝑧 um menos 𝑧 dois.

E, é claro, como um vetor no plano complexo, também representa um número complexo, que é o número complexo 𝑧 um menos 𝑧 dois. A distância entre os dois números complexos é a magnitude do vetor 𝑉, que é o módulo do número complexo 𝑉. E, é claro, 𝑉 como um número complexo é apenas 𝑧 um menos 𝑧 dois. Temos outra maneira de pensar sobre a distância entre os números complexos 𝑧 um e 𝑧 dois então. Essa distância é o módulo da diferença.

Vamos terminar o problema usando esse método então. Sabemos que 𝑧 um é menos dois mais sete 𝑖. E 𝑧 dois é seis menos três 𝑖. Subtraindo suas partes reais e imaginárias, obtemos o módulo de menos oito mais 10𝑖. E, usando a fórmula do módulo, obtemos a raiz quadrada de menos oito ao quadrado mais 10 ao quadrado, que após a simplificação se torna dois raiz de 41.

Vale a pena anotar nossas conclusões novamente. Faça uma pausa e dê uma olhada, se quiser. E podemos ver aqui como o módulo realmente funciona para números complexos, o que a função de valor absoluto faz para números reais. A distância entre dois números reais é o valor absoluto da diferença. A distância entre dois números complexos é o módulo de sua diferença.

Vamos resolver um problema final.

Um número complexo 𝑤 fica a uma distância de cinco raiz de dois de 𝑧 um é igual a três mais cinco 𝑖 e a uma distância de quatro raiz de cinco de 𝑧 dois é igual a menos seis menos dois 𝑖. O triângulo formado pelos pontos 𝑤, 𝑧 um e 𝑧 dois é um triângulo retângulo?

Portanto, temos 𝑧 um igual a três mais cinco 𝑖. E 𝑧 dois é igual a menos seis menos dois 𝑖, que podemos marcar com precisão em nosso diagrama de Argand ou plano complexo. No entanto, é difícil adivinhar onde o número complexo 𝑤 deve ir. Tudo o que sabemos é que ele fica à distância de cinco raiz de dois de 𝑧 um e quatro raiz de cinco de 𝑧 dois. A questão é se o triângulo com esses vértices é um triângulo retângulo. E, como sabemos, dois dos comprimentos são sugeridos usando o teorema de Pitágoras.

Se o quadrado do comprimento do lado mais longo for igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, então este é um triângulo retângulo. Mas primeiro, precisamos encontrar esse comprimento lateral mais longo, que chamaremos de 𝑑. 𝑑 é a distância entre os números complexos 𝑧 um e 𝑧 dois. E assim é o módulo de 𝑧 um menos 𝑧 dois. Substituímos os valores conhecidos de 𝑧 um e 𝑧 dois e subtraímos os números complexos para obter nove mais sete 𝑖. Seu módulo é a raiz quadrada de nove ao quadrado mais sete ao quadrado, que é a raiz quadrada de 130.

Agora, podemos aplicar o inverso do teorema de Pitágoras. Precisamos identificar o lado mais longo então. Lembre-se, nosso diagrama pode não ser tão preciso. Podemos simplificar os outros dois comprimentos laterais para obter a raiz de 50 e a raiz de 80, respectivamente. E então o comprimento do lado mais longo é realmente 𝑑. Só precisamos verificar se 𝑑 ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos outros dois comprimentos laterais. Como 𝑑 é a raiz de 130, 𝑑 ao quadrado é 130. Cinco raiz de dois ao quadrado são cinco ao quadrado, que é 25 vezes dois. E da mesma forma, quatro raiz de cinco ao quadrado é quatro ao quadrado, que é 16 vezes cinco. E são 130 igual a 50 mais 80. Sim, é. E então nosso triângulo é um triângulo retângulo, com o ângulo reto em 𝑤.

Encontre o ponto médio de três mais cinco 𝑖 e sete menos 13𝑖.

Estamos pensando nesses números complexos no diagrama de Argand ou no plano complexo. Podemos marcar esses números no diagrama Argand e conectá-los a um segmento de reta. Estamos procurando o ponto médio desse segmento de reta. Esse é o ponto no segmento de reta que divide o segmento de reta em duas metades iguais. Agora, posso usar o fato de que números complexos em um diagrama de Argand se comportam como pontos. E podemos lembrar, a partir da geometria das coordenadas, que o ponto médio dos pontos 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois é o ponto 𝑥 um mais 𝑥 dois sobre dois, 𝑦 um mais 𝑦 um [𝑦 dois] sobre dois para ver que o ponto médio deve ter coordenadas três mais sete sobre dois, cinco menos 13 sobre dois. E isso corresponde ao número complexo três mais sete sobre dois mais cinco menos 13 sobre dois 𝑖. Só precisamos simplificar esse número então. Três mais sete são 10. E cinco menos 13 são menos oito. Então, vemos que o ponto médio representa o número complexo cinco menos quatro 𝑖.

Podemos extrair nosso fato da geometria de coordenadas e escrevê-lo na notação de números complexos. Portanto, o ponto 𝑥 um 𝑦 um se torna um número complexo 𝑧 um é igual a 𝑥 um mais 𝑦 um 𝑖. E o ponto 𝑥 dois, 𝑦 dois se torna o número complexo 𝑧 dois igual a 𝑥 dois mais 𝑦 dois 𝑖. E o ponto médio se torna 𝑥 um mais 𝑥 dois sobre dois mais 𝑦 um mais 𝑦 dois sobre dois 𝑖. Por que isso é interessante? Acontece que podemos reorganizar isso um pouco. Combinando as frações e reorganizando dois dos termos no numerador, vemos que obtemos 𝑧 um mais 𝑧 dois sobre dois. O ponto médio de dois números complexos em um diagrama de Argand é simplesmente sua média aritmética. Isso generaliza o fato de que o ponto médio de dois números reais na reta de número real é representado por sua média aritmética.

Mudando para notações numéricas complexas torna mais clara a afirmação sobre os pontos médios. Não precisamos dizer que o ponto médio é um ponto cujas coordenadas são as médias aritméticas das coordenadas dos dois pontos. Nós apenas temos que dizer que o ponto médio é a média aritmética dos dois pontos.

Vamos ver uma aplicação rápida

Seja 𝑧 um, 𝑚 e 𝑧 dois números complexos, de modo que 𝑚 esteja no ponto médio do segmento de reta conectando 𝑧 um a 𝑧 dois. Dado que 𝑧 dois é igual a quatro mais cinco 𝑖 e 𝑚 é menos 12 mais 20𝑖, encontre 𝑧 um.

Bem, poderíamos desenhar um diagrama de Argand e raciocinar geometricamente. Mas há outro caminho. Sabemos que o ponto médio 𝑚 é a média aritmética dos números complexos 𝑧 um e 𝑧 dois. E podemos reorganizar essa equação para encontrar 𝑧 um em termos de 𝑚 e 𝑧 dois. Multiplicamos os dois lados por dois, subtraímos 𝑧 dois de ambos os lados e trocamos os lados para descobrir que 𝑧 um é dois 𝑚 menos 𝑧 dois. Conhecemos os valores de 𝑚 e 𝑧 dois. E assim nós os substituímos. Distribuímos os dois e o sinal de menos e simplificamos para descobrir que 𝑧 um é menos 28 mais 35𝑖.

Antes de vermos o nosso exemplo final, vamos considerar uma generalização do ponto médio.

O ponto médio de dois números complexos 𝑧 um e 𝑧 dois divide o segmento de reta conectando-os em duas partes iguais. Mas e se nós não queremos que essas partes sejam iguais. E se, em vez disso, desejássemos dividir o segmento de reta na razão de um para dois. Como encontraríamos o número complexo 𝑤 que correspondia ao ponto, que divide o segmento de reta nessa razão. O truque é usar vetores. Pensamos nos vetores de posição de 𝑧 um e 𝑧 dois. E também pensamos no segmento de reta conectando 𝑧 um e 𝑧 dois como um vetor. Qual é esse vetor? Bem, podemos ir da cauda até a ponta indo oposto a 𝑧 um e depois ao longo do vetor 𝑧 dois. Portanto, este é o vetor menos 𝑧 um mais 𝑧 dois ou, equivalentemente, 𝑧 dois menos 𝑧 um.

Queremos encontrar o vetor de posição de 𝑤. E vemos que podemos alcançar 𝑤 indo ao longo do vetor 𝑧 um e depois parte do caminho ao longo do vetor 𝑧 dois menos 𝑧 um. Esse vetor que adicionamos a 𝑧 um é um múltiplo do longo vetor verde 𝑧 dois menos 𝑧 um. Mas qual múltiplo? Bem, podemos reescrever a razão entre um terço e dois terços. E então, no total, temos um. Agora não é difícil ver que precisamos adicionar um terço de 𝑧 dois menos 𝑧 um a 𝑧 um. E podemos distribuir um terço para obter dois terços de 𝑧 um mais um terço de 𝑧 dois.

Podemos dividir o segmento de reta em qualquer outra razão que desejarmos, a razão arbitrária 𝑎 sobre 𝑏, por exemplo. Essa razão pode ser reescrita para que a soma dos números seja um. Portanto, se 𝑎 sobre 𝑎 mais 𝑏 é 𝑘, então 𝑏 sobre 𝑎 mais 𝑏 é um menos 𝑘. Escrevendo dessa maneira, descobrimos que 𝑤 é 𝑧 um mais 𝑘 vezes 𝑧 dois menos 𝑧 um ou um menos 𝑘 vezes 𝑧 um mais 𝑘 vezes 𝑧 dois. Definindo 𝑘 igual a um meio, obtemos o ponto médio. E assim vemos que temos uma generalização do ponto médio. Você também pode reconhecer a equação da equação vetorial de uma linha reta, se já a estudou. Nesse contexto, 𝑘 não é restrito a estar entre zero e um, mas pode assumir qualquer valor real. Vamos agora usar essa generalização dos pontos médios para resolver um problema em geometria.

Um triângulo tem vértices nos pontos 𝑎, 𝑏 e 𝑐 no plano complexo. Encontre uma expressão para o baricentro do triângulo em termos de 𝑎, 𝑏 e 𝑐. Você pode usar o fato de que o baricentro divide a mediana na razão de dois para um.

Vamos desenhar um triângulo arbitrário no plano complexo com vértices 𝑎, 𝑏 e 𝑐. Estamos procurando o baricentro desse triângulo. E usamos o fato de que ele divide qualquer mediana do triângulo na razão de dois para um. Então, o que é uma mediana do triângulo? É o segmento de reta entre um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto a esse vértice. Portanto, se pegarmos o vértice 𝑎, precisamos encontrar o ponto médio do lado oposto. Então eu acho que é esse aqui. E conectando os dois pontos, obtemos uma mediana. Para encontrar o baricentro, usamos o fato de que ele divide qualquer mediana na razão de dois para um. Então o baricentro está por aqui. Está duas vezes mais longe do vértice do que do ponto médio do lado oposto.

Agora, queremos encontrar uma expressão para esse baricentro em termos de 𝑎, 𝑏 e 𝑐. Como vamos fazer isso? Bem, sabemos que o ponto médio dos números complexos 𝑏 e 𝑐 é apenas sua média aritmética, 𝑏 mais 𝑐 sobre dois. Vamos chamar isso de 𝑚 para simplificar. E o baricentro divide o segmento de reta de 𝑎 a 𝑚 na razão de dois terços para um terço. Então, podemos chegar lá indo até 𝑚 e depois um terço do caminho de 𝑚 para 𝑎. Usando o que sabemos sobre 𝑚, podemos escrever o baricentro em termos de 𝑎, 𝑏 e 𝑐. Agora, apenas precisamos simplificar.

Multiplicamos o numerador e o denominador da segunda fração por dois para obter a fração com denominador seis. E assim escrevemos a primeira fração sobre seis também. Podemos então agrupar as frações. E, ao fazer isso, agrupamos alguns termos semelhantes no numerador. Finalmente, cancelamos o fator comum de dois no numerador e no denominador e reorganizamos alguns dos termos do numerador para obter que o baricentro seja 𝑎 mais 𝑏 mais 𝑐 sobre três. Usando números complexos e métodos simples, obtemos esse resultado elegante.

Para resumir, a distância 𝑑 entre dois números complexos 𝑧 um é igual a 𝑥 um mais 𝑦 um 𝑖 e 𝑧 dois é igual a 𝑥 dois mais 𝑦 dois 𝑖 pode ser expressa em termos do módulo de um número complexo como 𝑑 é igual ao módulo de 𝑧 um menos 𝑧 dois, que é equivalente à raiz quadrada de 𝑥 um menos 𝑥 dois ao quadrado mais 𝑦 um menos 𝑦 dois ao quadrado. O ponto médio 𝑚 de dois números complexos 𝑧 um e 𝑧 dois está na sua média aritmética, isto é, 𝑚 é igual a 𝑧 um mais 𝑧 dois sobre dois. E podemos generalizar isso para encontrar o ponto 𝑤 que é uma fração entre zero e um ao longo do segmento de reta de 𝑧 um a 𝑧 dois. É dado por 𝑤 é igual a um menos 𝑘 vezes 𝑧 um mais 𝑘 vezes 𝑧 dois. E se 𝑘 for maior que um, então 𝑤 estará na reta estendida além de 𝑧 dois. E se 𝑘 for menor que zero, 𝑤 fica na reta estendida além de 𝑧 um. Esses foram os pontos principais que usamos neste vídeo para resolver problemas geométricos usando números complexos de maneira simples e elegante.