Vídeo: Introduzindo a Prova Algébrica

Uma primeira olhada na construção e rearranjo de expressões algébricas para demonstrar ou provar a validade de determinadas afirmações matemáticas.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver como escrever uma série de expressões e declarações algébricas para provar se uma afirmação é verdadeira ou não. Ao definir provas algébricas, você deve sempre explicar todas as suposições que você está fazendo, definir quais variáveis ​​você usa e escrever claramente uma série de declarações que contam uma história lógica que comprova ou nega a afirmação inicial. Vamos ver um exemplo.

Prove que a soma de - portanto, a soma é uma palavra-chave - a soma de qualquer número ímpar e qualquer número par é ímpar. Então, há várias coisas que temos que fazer aqui. Temos que pensar em uma expressão algébrica que representa a ideia de um número ímpar ou um número par. E então chegamos à conclusão - temos que adicionar algumas expressões e rearranjar essa expressão de tal forma que isso prove que deve ser um número ímpar.

Bem pensando nisso, um número par é um inteiro que é divisível por dois. E um número ímpar é um inteiro que não é divisível por dois. Se pegarmos um inteiro e dobrá-lo, o resultado deve ser um número par. Pegamos um inteiro e multiplicamos por dois, então o resultado deve ser divisível por dois. Se pegarmos um número inteiro e dobrá-lo e, em seguida, adicionarmos um a isso, o resultado deverá ser um número ímpar, porque não será divisível por dois.

Nossa pergunta pede por qualquer número ímpar e qualquer número par, então essas duas coisas não são relacionadas. Então, vamos começar com dois números inteiros completamente diferentes e vamos chamá-los de 𝑚 e 𝑛. Então vamos escrever isso. Seja 𝑚 e 𝑛 inteiros. Então nós vamos chegar a algumas expressões algébricas que explicam a ideia relativa de par, e então dois 𝑚 devem ser um número par. Lembre-se, dobremos um número inteiro, portanto, ele deve ser um número par. E dois 𝑛 mais um deve ser um número ímpar. Então, isso definiu nossas expressões para um número ímpar e um número par. E agora temos que passar por essa ideia de somá-los. Bem, somá-los é apenas adicioná-los.

Portanto, precisamos afirmar isso em nossa prova. Somando estes números pares e ímpares dá dois 𝑚 mais dois 𝑛 mais um. E podemos reorganizar isso. Nós temos dois 𝑚 e temos dois 𝑛. Então, se eu juntar esses dois termos e colocar os dois em evidência, tenho dois vezes 𝑚 mais 𝑛. E então nós adicionamos um a isso. Ainda temos o mais um no final. E logicamente se 𝑚 é um inteiro e 𝑛 é um inteiro e você os adicionar, você deve obter o resultado de um inteiro.

Portanto, essa primeira parte da nossa expressão aqui, dois parênteses 𝑚 mais 𝑛 fecha parênteses ou dois parênteses 𝑚 mais 𝑛 fecha parênteses é duas vezes um número inteiro e esse é um número par. E nossa expressão era dois 𝑚 mais 𝑛 mais um, então isso significa que temos um número par mais um que deve ser um número ímpar.

Assim, podemos ver que as provas algébricas exigem que você faça muitas definições e muitas explicações. Elas não são como muitas outras matemáticas porque podem ser bem trabalhosas. Elas exigem que você defina suas variáveis, no nosso caso 𝑚 e 𝑛 sendo inteiros. Elas exigem que você defina sua lógica. Nós explicamos como chegar a números pares e ímpares. E então elas exigem que você crie algumas expressões, neste caso a soma de um número ímpar e um número par. E então faça um pouco de rearranjo dessas expressões para finalizar a prova.

Agora há muita escrita e você provavelmente poderia resolver sem colocar todas essas palavras lá. E para coisas assim, nós podemos - há outra palavra para isso, portanto - então, portanto, isso é verdade. E poderíamos escrever isso como três pontos assim. Então, existem alguns símbolos que podemos usar para salvar algumas palavras na página, mas basicamente você precisa estar preparado para contar a história. Isso é sobre o que provas são.

Ok, próximo exemplo. Prove que a soma de três inteiros consecutivos é um múltiplo de três. Agora, neste exemplo, não estamos procurando números ímpares e pares, mas estamos procurando números inteiros consecutivos, números consecutivos. E nós não estamos procurando por algo ímpar ou par. Como dizemos, procuramos múltiplos de três.

Precisamos pensar em como podemos expressar esse conceito, múltiplo de três, como uma expressão algébrica. E precisamos explicar cada passo lógico em nossa prova. Então poderíamos começar definindo 𝑛 para ser um inteiro. Então, se adicionarmos um a isso e adicionarmos um a ele novamente, teremos três inteiros consecutivos 𝑛, 𝑛 mais um e 𝑛 mais dois. Então, podemos estabelecer nossa expressão algébrica geral representando três inteiros consecutivos: 𝑛, 𝑛 mais um, 𝑛 mais dois. E nós os estamos somando, então podemos adicioná-los: 𝑛 mais 𝑛 mais um mais 𝑛 mais dois.

Agora podemos tirar essa expressão e podemos simplificá-la ou reorganizá-la. E 𝑛 mais 𝑛 mais 𝑛 é três 𝑛 e um mais dois são três. Agora, se olharmos para a pergunta, procuramos uma expressão para representar um múltiplo de três. Bem, isso vai ser três vezes um número inteiro, então olhando para uma pequena expressão aqui: três 𝑛 mais três. Se colocarmos o três em evidência, se o que está dentro dos parênteses for um inteiro, então temos um múltiplo de três. Então, colocando esse fator comum de três fora dos parênteses, ficamos com 𝑛 mais um dentro.

Agora, vamos estabelecer o próximo item e definir o que é um múltiplo de três. Bem, é apenas um número inteiro multiplicado por três depois de tudo. Lembre-se, nós definimos 𝑛 como sendo um inteiro no início de nossa prova, então 𝑛 mais um é um inteiro mais um é outro inteiro. Portanto, nossa expressão é três vezes um inteiro, portanto, temos um múltiplo de três. Agora esta não é apenas a nossa resposta final. Nessas provas, todo o argumento, tudo o que você escreve, compõe a resposta final. Você não pode simplesmente escrever a resposta final. Você tem que ter todos os passos ao longo do caminho. Em algum formato ou outro, o texto exato pode ser um pouco diferente, mas você precisa incluir todas essas etapas.

No nosso último exemplo, estamos de volta a números ímpares, mas também estamos olhando para múltiplos de quatro. Então temos que desfazer o texto para ver como podemos representar o processo com a álgebra, mas ainda é importante explicar cada passo lógico da prova. Prove que a diferença entre os quadrados de quaisquer dois números ímpares consecutivos - por isso, temos números ímpares consecutivos. Estávamos procurando a diferença entre esses quadrados - é sempre um múltiplo de quatro.

Então, vamos definir um número ímpar, o que significará definir uma variável que seja um inteiro e, em seguida, duplicá-la e adicionar um ou subtrair um. Vamos ver um inteiro vezes quatro, um múltiplo de quatro, e a diferença entre os quadrados, então vamos elevar esses números ímpares ao quadrado e depois subtrair um do outro. Então, vamos começar de novo, seja 𝑛 um inteiro. Ao dobrar um número inteiro, definitivamente temos um número par. E se tirássemos um disso, definitivamente teríamos um número ímpar. Então, temos o nosso primeiro número ímpar que estamos vendo aqui.

E então o próximo número ímpar consecutivo é para os dois 𝑛 mais um seria apenas dois maior que isso, então dois 𝑛 mais um mais dois, que é dois 𝑛 mais três, obviamente. Agora, poderíamos igualmente encontrar dois números ímpares consecutivos como sendo dois 𝑛 menos um e dois 𝑛 mais um. E isso tornaria a álgebra um pouco diferente, embora os passos sejam basicamente os mesmos. Eu vou ficar com dois 𝑛 mais um e dois 𝑛 mais três por agora, mas lembre-se que você poderia fazer isso de uma forma alternativa.

E então a diferença entre os quadrados desses números ímpares consecutivos é simplesmente o maior dos dois quadrados menos o menor dos dois quadrados. Quer dizer, eu poderia colocar os outros ao contrário, mas isso vai torná-los um pouco mais fáceis. Só vai nos deixar com um resultado positivo. E agora eu vou apenas expandir e simplificar essas expressões. Então dois 𝑛 mais três todos ao quadrado são dois 𝑛 mais três vezes dois 𝑛 mais três. E dois 𝑛 mais um todos ao quadrado é dois 𝑛 mais um vezes dois 𝑛 mais um.

Então multiplicar cada termo nos primeiros parênteses por cada termo no segundo parênteses nos dá quatro 𝑛 ao quadrado mais seis 𝑛 mais seis 𝑛 mais nove. E a segunda parte, o segundo termo nessa expressão, nos dá quatro 𝑛 ao quadrado mais dois 𝑛 mais dois 𝑛 mais um. Agora eu incluí parênteses aqui e aqui porque estamos subtraindo toda essa expressão. Então, precisamos ter muito cuidado com esses sinais, então é melhor incluir parênteses nesses lugares para tentar nos impedir de cometer erros mais tarde no cálculo.

Então, apenas arrumando o que está dentro dos parênteses um pouco, eu tenho quatro 𝑛 ao quadrado mais doze 𝑛. São seis 𝑛 mais seis 𝑛 mais nove menos quatro 𝑛 ao quadrado mais quatro 𝑛 que era dois 𝑛 mais dois 𝑛 mais um. Agora lembre-se, estávamos subtraindo o segundo termo inteiro. Então, estamos tirando 4 𝑛 ao quadrado, estamos tirando 4 𝑛, e estamos tirando um. Então, simplificando esse grande termo, eu tenho quatro 𝑛 ao quadrado menos quatro 𝑛 ao quadrado, bem, isso é zero. Então esses dois se cancelam. Eu tenho doze 𝑛 menos quatro 𝑛, que é oito 𝑛. E eu tenho nove menos um, que é oito. Assim, toda essa expressão pode ser simplificada e resultar oito 𝑛 mais oito.

Agora eu escondi tudo isso. Não estou sugerindo que você não mostre isso no seu trabalho. É que fiquei sem espaço na página aqui, por isso é importante incluir todos os seus passos na solução. Então, para a última etapa, procuramos mostrar algebricamente que essa expressão pode ser um múltiplo de quatro. Então, queremos quatro vezes um inteiro, então vou colocar o quatro em evidência. E temos que tentar provar que o que está dentro desses parênteses aqui é um inteiro. E se isso é um número inteiro, então temos quatro vezes um inteiro. Essa é a definição de um múltiplo de quatro. E como 𝑛 é um inteiro, se dobrarmos um inteiro, ainda teremos um número inteiro. E se adicionarmos outro inteiro a ele, também temos um inteiro. Portanto, podemos dizer que quatro parênteses dois 𝑛 mais dois fecha parênteses são quatro vezes um inteiro, ou seja, um múltiplo de quatro e isso é comprovado.

Assim, em nossas provas algébricas, precisamos ter certeza de que definimos quaisquer variáveis ​​que usaremos, por exemplo, seja 𝑛 um inteiro. Você também precisa afirmar algebricamente como expressar o que está tentando provar. Então, por exemplo, se 𝑛 é um inteiro, então dois 𝑛 deve ser par. Ou se 𝑛 é um inteiro, dois 𝑛 mais um ou dois 𝑛 menos um deve ser um número ímpar ou quatro vezes um inteiro é um múltiplo de quatro e assim por diante.

E, finalmente, você precisa expressar a declaração que está tentando provar algebricamente e reorganizá-la para dar suporte à declaração. Então, por exemplo, nós tivemos três 𝑛 mais três. Bem, se nós colocássemos o três em evidência, sabíamos que 𝑛 era um inteiro. Então, 𝑛 mais um era um inteiro, então tivemos três vezes um inteiro, o que prova que esse deve ser um múltiplo de três.

Então, no geral, as provas algébricas podem ser um pouco trabalhosas, mas elas são ferramentas tão poderosas na matemática que você realmente precisa dominá-las e usá-las e se orgulhar de contar uma história lógica matemática fantástica.

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