Vídeo: O Teorema do Resto

Um polinómio 𝑓(𝑥) é dividido por (𝑥 − 𝑎). Sabendo que (𝑥 − 𝑎) não é um fator de 𝑓(𝑥), a que é igual o resto?

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Um polinómio 𝑓 de 𝑥 é dividido por 𝑥 menos 𝑎. Sabendo que 𝑥 menos 𝑎 não é um fator de 𝑓 de 𝑥, a que é igual o resto?

Bem, existe um teorema chamado teorema do resto polinomial, ou apenas o teorema do resto, que diz que o resto ao dividir um polinómio 𝑓 de 𝑥 pelo polinómio linear 𝑥 menos 𝑎 é 𝑓 de 𝑎. Então, utilizando o teorema, vemos que a resposta é apenas 𝑓 de 𝑎. Este teorema é muito útil na prática porque nos permite encontrar o resto sem passar por todo o processo de divisão.

Podemos provar este teorema utilizando o que sabemos sobre a divisão de polinómios. Quando utilizamos a divisão de polinómios para dividir um polinómio 𝑓 de 𝑥 por 𝑥 menos 𝑎, essencialmente o que estamos a fazer é reescrevê-lo na forma 𝑥 menos 𝑎 vezes 𝑞 de 𝑥, o quociente mais 𝑟 de 𝑥, o resto.

Em geral, este resto, 𝑟 de 𝑥, é um polinómio em 𝑥. No entanto, sabemos que o grau do polinómio 𝑟 de 𝑥 é sempre menor que o grau do polinómio que estamos a dividir. Neste caso, 𝑥 menos 𝑎. Então, sabemos que 𝑟 de 𝑥 é apenas um polinómio constante, e escrevemo-lo como 𝑟.

OK. Então, sabemos que o resto é uma constante. Acho que isto é uma ajuda. Mas ainda precisamos de saber o que constante é essa. Esta igualdade vale para todos os valores de 𝑥. Assim, podemos substituir qualquer valor de 𝑥 que gostaríamos, e ainda será verdade. Podemos optar por substituir por 𝑎, e vamos ver que 𝑓 de 𝑎 é igual a 𝑎 menos 𝑎 vezes 𝑞 de 𝑎 mais 𝑟. E, claro, 𝑎 menos 𝑎 é apenas zero. Então nós temos zero 𝑞 de 𝑎 mais 𝑟 que é apenas 𝑟.

Então esta é a demonstração do teorema que acabámos de utilizar. E podemos ver que funciona mesmo que 𝑥 menos 𝑎 seja um fator de 𝑓 de 𝑥, neste caso 𝑟 será apenas zero. Então, quando um polinómio 𝑓 de 𝑥 é dividido por 𝑥 menos 𝑎, dado que 𝑥 menos 𝑎 não é um fator de 𝑓 de 𝑥 e mesmo quando é de facto, o resto é igual a 𝑓 de 𝑎.

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