Vídeo: Determinando o Limite de uma Diferença de Potências que Envolve Raízes

Determine lim_(𝑥 → 4) (√(𝑥 + 12) − 4)/(𝑥 − 4).

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Determine o limite para 𝑥 a tender para quatro da raiz quadrada de 𝑥 mais 12 menos quatro sobre 𝑥 menos quatro.

A primeira coisa que devemos tentar é a substituição direta, apenas substituindo 𝑥 por quatro. Se o fizermos, obteremos a raiz quadrada de quatro mais 12 menos quatro em quatro menos quatro. Quatro mais 12 é 16. A raiz quadrada de 16 é quatro. E quatro menos quatro é zero. Então, obtemos uma indeterminação zero sobre zero. Em suma, a substituição direta não funciona aqui.

O que precisamos de fazer é reescrever esta fração de tal forma a que possamos anular um fator comum no numerador e no denominador. E além disso, onde substituir diretamente o que resta não nos dê zero sobre zero. Então, como reescrevemos a nossa fração? A razão pela qual esta fração é tão difícil é porque o numerador tem este radical nele. É difícil encontrar um fator comum no numerador e no denominador com este radical aqui. Então, o que nós podemos fazer em relação a isto?

A chave para esta questão é multiplicar o numerador e o denominador pela raiz quadrada de 𝑥 mais 12 mais quatro. Por outras palavras, é o numerador, mas com o sinal de menos alterado para um sinal de mais. É claro que multiplicar o numerador e o denominador pela mesma coisa nos dá uma fração equivalente. Podemos a seguir distribuir os termos no numerador. Distribuímos os termos no numerador e vemos que os dois termos do meio se anulam. Isto não é uma coincidência. Optámos por multiplicar o numerador e o denominador pela raiz quadrada de 𝑥 mais 12 mais quatro, para que isso acontecesse. Aqui, estávamos a pensar na diferença dos quadrados, 𝑎 menos 𝑏 vezes 𝑎 mais 𝑏 igual a 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado. Como resultado, o único termo no numerador que envolve a raiz quadrada de 𝑥 mais 12 está ao quadrado. E a raiz quadrada de 𝑥 mais 12 ao quadrado é apenas 𝑥 mais 12.

Portanto, conseguimos livrar-nos do problema do termo raiz quadrada no numerador. No entanto, ganhámos um radical no denominador. Mas logo veremos porque é que isto não é um problema. Simplificamos ainda mais o numerador para obter 𝑥 menos quatro, o que anula com um fator de 𝑥 menos quatro no denominador. Esperamos que este fator comum de 𝑥 menos quatro seja a razão pela qual quando substituímos 𝑥 por quatro na fração, obtivemos a indeterminação zero sobre zero. E, tendo anulado este fator comum ao substituir diretamente o valor quatro, obteremos o valor do limite e não a indeterminação.

Antes de substituirmos, vamos terminar a nossa álgebra. Nós obtivemos que a raiz quadrada de 𝑥 mais 12 menos quatro sobre 𝑥 menos quatro é igual a um sobre a raiz quadrada de 𝑥 mais 12 mais quatro. OK. Vamos arrumar o nosso trabalho e começar a substituir. Veja o que mostrámos com a nossa álgebra. E permanece verdadeiro ao tomar os limites em ambos os membros. Vimos antes que a substituição direta não funcionou na nossa fração original, mas esperamos que funcione nesta.

Substituindo 𝑥 por quatro, obtemos um sobre a raiz quadrada de quatro mais 12 mais quatro. Quatro mais 12 é 16. E a raiz quadrada de 16 é quatro. Então, temos um com mais de oito anos. Então a substituição direta funcionou na fração equivalente que encontrámos. O truque principal nesta questão era multiplicar o numerador e o denominador pela raiz quadrada de 𝑥 mais 12 mais quatro. Ou equivalentemente, para multiplicar pela fração cujo numerador e denominador são ambos a raiz quadrada de 𝑥 mais 12 mais quatro. Feito isto, nós precisamos apenas de fazer algum cálculo algébrico e anular os fatores de 𝑥 menos quatro que apareceram, antes de substituí-lo diretamente para determinar o valor do limite.

Eu chamo a isto um truque porque não é algo que se espera que alguém necessariamente consiga. Este é um truque bastante útil. Assim, convém lembrar que às vezes é útil racionalizar o numerador em vez do denominador.

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