Vídeo: Produtos Externos à Luz de Trnasformações Lineares

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Produtos Externos à Luz de Trnasformações Lineares

13:09

Transcrição do vídeo

Ei pessoal! De onde parámos, eu estava a falar sobre como calcular um produto externo de dois vetores no espaço, 𝐕 externo 𝐖. É esta coisa engraçada em que escreve uma matriz, cuja segunda coluna tem as coordenadas de 𝑣, cuja terceira coluna tem as coordenadas de 𝑤, mas as entradas desta primeira coluna, estranhamente, são os símbolos 𝑖-chapéu, 𝑗-chapéu e 𝑘-chapéu onde se finge que estes sujeitos são números por causa dos cálculos.

Então, com esta matriz engraçada em mãos, calcula o seu determinante. Se se preocupar apenas com estes cálculos, ignorando a esquisitice, obterá uma constante vezes 𝑖-chapéu mais uma constante vezes 𝑗-chapéu mais uma constante vezes 𝑘-chapéu. Como pensa especificamente em calcular este determinante não é relevante. Tudo o que realmente importa aqui é que terminará com três números diferentes que são interpretados como as coordenadas de um vetor resultante. A partir daqui, os alunos são normalmente aconselhados a acreditar apenas que o vetor resultante tem as seguintes propriedades geométricas: a sua norma é igual à área do paralelogramo definido por 𝐕 e 𝐖, aponta numa direção perpendicular 𝐕 e 𝐖, e essa direção obedece à regra da mão direita no sentido em que, se apontar o dedo indicador como 𝐕 e o dedo médio como 𝐖, quando apontar o polegar, este apontará na direção do novo vetor.

Existem alguns cálculos à força bruta que poderia fazer para confirmar estes factos. Mas quero partilhar convosco uma linha de raciocínio realmente elegante. Esta faz uso de conhecimento prévio, no entanto. Para este vídeo, presumo que todos tenham assistido ao capítulo 5 sobre o determinante e ao capítulo 7, onde introduzo a ideia da dualidade. Como uma rápida recordação, a ideia da dualidade é que sempre que tiver uma transformação linear de um espaço para a reta numérica, ela estará associada a um vetor único nesse espaço, no sentido de que realizar a transformação linear é o mesmo que utilizar um produto interno com esse vetor. Numericamente, isso acontece porque uma dessas transformações é descrita por uma matriz com apenas uma linha, em que cada coluna nos indica o número para onde cada vetor da base aterra. E multiplicar esta matriz por algum vetor 𝐕 é computacionalmente idêntico a considerar o produto interno de 𝐕 e o vetor obtido inclinando esta matriz de lado. A conclusão é que sempre que estiver fora do campo da matemática e encontrar uma transformação linear para a reta numérica, poderá associá-la a algum vetor, que é chamado de “vetor dual” dessa transformação, de modo que executar a transformação linear é o mesmo que calcular um produto interno com aquele vetor.

O produto externo dá-nos um exemplo muito engenhoso desse processo em ação. É preciso algum esforço, mas vale definitivamente a pena. O que vou fazer é definir uma certa transformação linear em três dimensões para a reta numérica. E será definida em termos dos dois vetores 𝐕 e 𝐖. Assim, quando associamos essa transformação ao seu vetor dual no espaço 3D, este vetor dual será o produto externo de 𝐕 e 𝐖. A razão para fazer isto é que entender esta transformação vai deixar clara a conexão entre o cálculo e a geometria do produto vetorial.

Então, recuando um pouco, lembre-se em duas dimensões o que significa calcular a versão 2D do produto externo? Quando tem dois vetores 𝐕 e 𝐖, coloca as coordenadas de 𝐕 na primeira coluna da matriz e as coordenadas de 𝐖 na segunda coluna da matriz, então calcula apenas o determinante. Não há com vetores da base sem sentido numa matriz ou algo assim, apenas um determinante comum que devolve um número. Geometricamente, isso dá-nos a área de um paralelogramo estabelecido por esses dois vetores com a possibilidade de ser negativa dependendo da orientação dos vetores. Agora, se ainda não conhecia o produto externo 3D e está a tentar extrapolar, pode imaginar que envolve três vetores 3D separados 𝐔, 𝐕 e 𝐖 e fazer com que as suas coordenadas sejam as colunas de uma matriz três por três, em seguida, calculando o determinante dessa matriz. E, como sabe do capítulo 5, geometricamente, isto daria o volume de um paralelepípedo estabelecido pelos três vetores, com o sinal de mais ou menos dependendo da orientação de regra da mão direita desses três vetores. Claro, todos sabem que este não é o produto externo 3D. O produto externo 3D real recebe dois vetores e devolve um vetor. Não recebe três vetores e devolve um número. Mas esta ideia aproxima-nos do que realmente é o produto externo.

Considere que o primeiro vetor 𝐔 seja uma variável, digamos, com entradas de variáveis ​​𝑥, 𝑦 e 𝑧, enquanto 𝐕 e 𝐖 permanecem fixas. O que temos então é uma função de três dimensões para a reta numérica. Insere um vetor — 𝑥, 𝑦, 𝑧 — e obtém um número calculando o determinante de uma matriz cuja primeira coluna é 𝑥, 𝑦, 𝑧 e cujas outras duas colunas são as coordenadas dos vetores constantes 𝐕 e 𝐖. Geometricamente, o significado desta função é que para qualquer vetor de entrada 𝑥, 𝑦, 𝑧, considera o paralelepípedo definido por este vetor 𝐕 e 𝐖 e devolve o seu volume com o sinal de mais ou menos dependendo da orientação. Agora, isso pode parecer algo aleatório de se fazer. Quero dizer, de onde vem esta função? Por que estamos a defini-la assim? E eu vou admitir que nesta fase pode parecer que vem do nada. Mas se estiver disposto a aceitar isto e brincar com as propriedades que este sujeito tem, é a chave para entender o produto externo. Um facto realmente importante sobre esta função é que é linear. Deixarei que trabalhe os detalhes de porque é que é verdade com base nas propriedades do determinante. Mas uma vez que sabe que é linear, podemos começar a trazer a ideia da dualidade.

Uma vez que sabe que é linear, sabe que há maneira de descrever esta função como uma multiplicação de matrizes. Especificamente, como é uma função que vai de três dimensões a uma dimensão, existirá uma matriz um por três que codifica esta transformação. E a ideia de dualidade é que a coisa especial sobre transformações de várias dimensões para uma dimensão é que pode inclinar essa matriz e, assim, interpretar toda a transformação como o produto interno de um determinado vetor. O que estamos à procura é do vetor 3D especial que eu chamarei de 𝐏 tal que calcular o produto interno de 𝐏 e qualquer outro vetor 𝑥, 𝑦, 𝑧 dá o mesmo resultado de estabelecer 𝑥, 𝑦, 𝑧 como a primeira coluna de uma matriz três por três, cujas outras duas colunas têm as coordenadas de 𝐕 e 𝐖 e, em seguida, calcular o determinante. Eu chegarei à geometria disto em breve. Mas agora, vamos aprofundar e pensar sobre o que isto significa em termos de cálculos. Tomando o produto interno de 𝐏 e 𝑥, 𝑦, 𝑧 dar-nos-á algo vezes 𝑥 mais algo vezes 𝑦 mais algo vezes 𝑧 onde estes algo são as coordenadas de 𝐏. Mas no lado direito aqui, quando calcula o determinante, pode organizá-lo para a forma uma constante vezes 𝑥 mais uma constante vezes 𝑦 mais uma constante vezes 𝑧 onde estas constantes envolvem certas combinações das coordenadas de 𝑣 e 𝑤. Então, estas constantes, estas combinações particulares das coordenadas de 𝑣 e 𝑤 serão as coordenadas do vetor 𝐏 que estamos à procura.

Mas o que está a acontecer aqui deve parecer muito familiar a qualquer pessoa que tenha calculado produtos externos. Juntando os termos constantes que são multiplicados por 𝑥, 𝑦 e 𝑧 assim não é diferente de colocar os símbolos 𝑖-chapéu, 𝑗-chapéu e 𝑘-chapéu àquela primeira coluna e ver quais os coeficientes que se agregam em cada um desses termos. Colocar 𝑖-chapéu, 𝑗-chapéu e 𝑘-chapéu é uma forma de sinalizar que devemos interpretar estes coeficientes como as coordenadas de um vetor. Então, o que tudo isto está a dizer é que este cálculo engraçado pode ser pensado como uma maneira de responder à seguinte pergunta: qual é o vetor 𝐏 tem a propriedade especial de quando considera um produto interno entre 𝑝 e um vetor 𝑥, 𝑦, 𝑧 dá o mesmo resultado que colocar 𝑥, 𝑦, 𝑧 na primeira coluna da matriz cujas outras duas colunas têm as coordenadas de 𝑣 e 𝑤, e depois calcula o determinante? Esta é uma questão longa. Mas é uma questão importante de digerir neste vídeo.

Agora, a parte interessante que une tudo com a compreensão geométrica do produto externo que introduzi no último vídeo. Eu vou fazer a mesma pergunta novamente. Mas desta vez, vamos tentar respondê-la geometricamente em vez de por meio de cálculos. Qual é o vetor 3D 𝐏 que tem a propriedade especial de quando considera um produto interno entre 𝑝 e um outro vetor 𝑥, 𝑦, 𝑧 dá o mesmo resultado que se considerasse o volume de um paralelepípedo definido por este vetor 𝑥, 𝑦, 𝑧 com 𝑣 e 𝑤? Lembre-se, a interpretação geométrica de um produto interno de um vetor 𝐏 e um outro vetor é projetar este outro vetor em 𝐏 para então multiplicar a norma dessa projeção pela norma de 𝐏. Com isto em mente, deixe-me mostrar uma certa maneira de pensar sobre o volume do paralelepípedo que considerámos. Comece por considerar a área do paralelogramo definido por 𝐕 e 𝐖, depois multiplique-a não pela norma de 𝑥, 𝑦, 𝑧, mas pela coordenada de 𝑥, 𝑦, 𝑧 que é perpendicular a esse paralelogramo.

Por outras palavras, a maneira como a nossa função linear funciona num determinado vetor é projetar este vetor numa reta perpendicular a 𝐕 e 𝐖 e, em seguida, multiplicar a norma dessa projeção pela área do paralelogramo formado por 𝐕 e 𝐖. Mas isso é o mesmo que considerar um produto interno de 𝑥, 𝑦, 𝑧 e um vetor que é perpendicular a 𝐕 e 𝐖 com uma norma igual à área desse paralelogramo. Além disso, se escolher a direção apropriada para esse vetor, os casos em que o produto escalar é negativo se alinharão aos casos em que a regra da mão direita para a orientação de 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑣 e 𝑤 é negativa.

Isto significa que acabámos de determinar um vetor 𝐏 de modo que calcular um produto interno de 𝑝 e um vetor 𝑥, 𝑦, 𝑧 é a mesma coisa que calcular este determinante de uma matriz três por três cujas colunas são 𝑥, 𝑦, 𝑧, e as coordenadas de 𝑣 e 𝑤. Assim, a resposta que encontrámos anteriormente, por meio de cálculo, utilizando este truque de notação especial deve corresponder geometricamente a este vetor. Esta é a razão fundamental pela qual o cálculo e a interpretação geométrica do produto externo estão relacionados.

Apenas para resumir o que aconteceu aqui, eu comecei por definir uma transformação linear do espaço 3D para a reta numérica, e foi definido em termos dos vetores 𝐕 e 𝐖, a seguir passei por duas formas separadas de pensar sobre o “vetor dual” dessa transformação, o vetor de tal forma que aplicar a transformação é o mesmo que calcular um produto interno com esse vetor.

Por um lado, uma abordagem de cálculo irá levá-lo ao truque de colocar os símbolos 𝑖-chapéu, 𝑗-chapéu e 𝑘-chapéu na primeira coluna da matriz e calcular o determinante. Mas, pensando geometricamente, podemos deduzir que este vetor dual deve ser perpendicular a 𝐕 e 𝐖 com uma norma igual à área do paralelogramo formado por estes dois vetores. Como estas duas abordagens nos dão um vetor dual para a mesma transformação, estes devem ser o mesmo vetor. Então, isto envolve produtos internos e produtos externos. E o próximo vídeo será um conceito realmente importante para álgebra linear: mudança de base.

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