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Vídeo da aula: Multiplicando e dividindo frações Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como multiplicar e dividir frações com denominadores semelhantes e diferentes, incluindo frações próprias, impróprias e mistas.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como multiplicar e dividir frações com denominadores semelhantes e diferentes, incluindo frações próprias, impróprias e mistas. É crucial que, antes de acederes a este vídeo, sejas capaz de simplificar frações e converter entre frações impróprias e numerais mistos, pois estas capacidades são cruciais quando se trata de realizar aritmética de frações com segurança. Vamos começar por ver como multiplicamos frações.

O que significa multiplicar duas frações? Vamos considerar um par de frações adequadas. Estas são frações que estão entre zero e um, digamos um terço e dois quintos. Se pensarmos na definição de multiplicação, quando multiplicamos estas frações, estamos a perguntar-nos quanto é um terço lotes de dois quintos ou dois quintos lotes de um terço. Agora, claramente, isto apresenta alguns problemas além da multiplicação de números inteiros ou inteiros, quando podemos utilizar uma reta numérica ou semelhante. Mas podemos representar isto utilizando um modelo em barra. E fazemos isso lendo isto como um terço de dois quintos. Representamos a nossa primeira fração utilizando linhas verticais.

Sombreamos uma das três barras para representar um terço. Em seguida, modelamos a segunda fração utilizando linhas horizontais. Sombreamos duas das cinco linhas para representar dois quintos. Ao fazer isto, estamos a determinar um terço de dois quintos e vice-versa. Agora vemos que temos um, dois quadrados sombreados na nossa sobreposição e um total de três por cinco, que é 15 quadrados no total. Portanto, um terço de dois quintos que dissemos é o mesmo que um terço vezes dois quintos é dois quinze avos.

Mas de onde vêm estes números? Bem, vimos que três vezes cinco deu-nos 15. Este é o produto dos nossos denominadores. É o que obtemos se multiplicarmos os nossos denominadores. Da mesma forma, se multiplicarmos os numeradores, obteremos dois. Na verdade, podemos generalizar isto. E dizemos que, para multiplicar duas frações, multiplicamos simplesmente os seus numeradores e depois multiplicamos separadamente os seus denominadores. Portanto, um terço vezes dois quintos é um vezes dois sobre três vezes cinco, que é dois quinze avos. E vimos isto utilizando o nosso método um pouco prolixo anteriormente. E é isto.

Existem algumas etapas que precisamos de considerar ao trabalhar com numerais mistos, mas veremos isto em breve. Por enquanto, vamos apenas considerar outro exemplo simples.

Determine o resultado de um meio multiplicado por um terço.

Existem duas maneiras de responder a isto. Um método envolve o uso de um modelo em barra e relembrar que metade vezes um terço é o mesmo que determinar metade de um terço. Podemos representar a nossa fração de um terço sombreando uma barra em três barras de igual tamanho. Então, no sentido oposta, neste caso, indo para baixo, representamos metade deste mesmo modelo sombreando uma barra de duas barras de tamanhos iguais. Agora podemos ver que temos um retângulo sombreado de um possível de três vezes dois, que é seis retângulos.

E isto significa que metade de um terço, que é o mesmo que meio vezes um terço, é simplesmente um em seis; isto é um sexto. Claro, há uma maneira um pouco mais rápida de fazer isto. Sabemos que, para multiplicar um par de frações, multiplicamos os seus numeradores e depois multiplicamos separadamente os seus denominadores. Então, meio vezes um terço é um vezes um sobre dois vezes três. Um vezes um é um e dois vezes três é seis. Então, mais uma vez, vemos que meio vezes um terço é igual a um sexto.

Agora vamos deixar de utilizar um modelo em barras e simplesmente lembrar que, quando multiplicamos frações, multiplicamos os seus numeradores e, em seguida, multiplicamos os seus denominadores. E no nosso próximo exemplo, veremos como isto funcionará ao multiplicar um par de numerais mistos.

Calcula um e um quarto multiplicado por um e dois terços.

Aqui, temos um par de numerais mistos. Agora, sabemos que, para multiplicar frações próprias, ou seja, frações entre zero e um, multiplicamos os numeradores e depois multiplicamos separadamente os denominadores. Agora, de facto, isto vale para frações impróprias. E assim, para poder determinar o produto de um numeral misto e qualquer outra fração, primeiro começamos por converter este numeral misto numa fração imprópria. Então, vamos começar por converter um e um quarto numa fração imprópria.

Começamos por multiplicar a parte inteira, que é o número inteiro, pelo denominador da fração. Um vezes quatro é quatro. Em seguida, adicionamos este número ao numerador da nossa fração. Quatro mais um é igual a cinco. Isto forma o numerador da fração; o denominador permanece inalterado. Portanto, um e um quarto é o mesmo que cinco quartos. Vamos fazer isto novamente com um e dois terços. Mais uma vez, multiplicamos a parte inteira pelo denominador da fração; um vezes três é três. E a seguir, pegamos neste número e adicionamo-lo ao numerador da nossa fração; três mais dois é cinco.

Novamente, cinco forma o numerador da nossa fração imprópria e o denominador permanece inalterado. Portanto, um e dois terços é cinco terços. E assim, para multiplicar um e um quarto por um e dois terços, vamos multiplicar cinco quartos por cinco terços. Sabemos, é claro, que para multiplicar frações, simplesmente multiplicamos os seus numeradores e depois multiplicamos os seus denominadores. Então, aqui, é cinco vezes cinco sobre quatro vezes três, o que nos dá 25 sobre 12. Agora, é claro, deram-nos uma pergunta com numerais mistos, então ainda não terminámos.

Vamos precisar de converter vinte e cinco doze avos de novo num numeral misto. E para fazer isto, realizamos essencialmente um processo inverso para transformar um número de um numeral misto numa fração imprópria. Dividimos o nosso numerador pelo nosso denominador. Perguntamo-nos quantos 12 perfazem 25? E esta é uma das poucas vezes em que utilizamos restos. Dizemos que 25 dividido por 12 é dois resto um. Dois forma a parte inteira da nossa resposta; é o número inteiro. E um é o numerador da fração. O denominador permanece inalterado, então é 12. E assim vemos que um e um quarto vezes um e dois terços é dois e um doze avos.

Vamos agora considerar como é que dividimos frações.

Calcula doze quintos dividido por dois quintos.

Vamos começar por pensar sobre o que realmente significa dividir doze quintos por dois quintos. Essencialmente, quando dividimos, estamos a separar. Queremos dividir doze quintos em pedaços de dois quintos. Então, vamos desenhar um diagrama para representar isto. Cada uma destas barras é dividida em cinco quadrados de tamanhos iguais, então cada quadrado deve representar um quinto. Sombreamos 12 deles para representar doze quintos. E vamos dividir isto em pedaços de dois quintos cada. Dois quintos devem ser dois quadrados. Então, podemos pegar dois quadrados aqui. Vamos pegar em mais dois. E continuaremos desta maneira, até que tenhamos utilizado todos os nossos quadrados.

Então, em quantos pedaços de dois quintos dividimos os nossos doze quintos? Vamos contá-los. Temos um, dois, três, quatro, cinco, seis pedaços de dois quintos. E isto diz-nos que doze quintos divididos por dois quintos devem ser simplesmente iguais a seis. Mas este é um longo caminho para realizar a divisão. Então, de que outra forma podemos considerar este problema? Não queremos desenhar estes diagramas sempre. Bem, podemos dizer que, para dividir doze quintos por dois quintos, dividimos simplesmente os seus numeradores. E isto funciona porque os seus pedaços são do mesmo tamanho, e isto porque os seus denominadores são iguais.

Portanto, uma técnica que temos para dividir um par de frações é criar um denominador comum e frações equivalentes e, em seguida, dividir os seus numeradores. Na verdade, existe outro método, mas consideraremos este método primeiro.

Calcula quatro quintos dividido por três quartos.

Um método que temos para dividir frações é criar frações equivalentes com um denominador comum e depois simplesmente dividir os numeradores. Agora, embora não precisemos de determinar o mínimo denominador comum, isto garante que haja uma simplificação mínima na outra extremidade. Então, qual é o denominador comum das nossas duas frações? Bem, o mínimo múltiplo comum de cinco e quatro é 20. Então este é o denominador que vamos utilizar. Então, como convertemos de quintos para vinte avos? Bem, para ir de cinco para 20, multiplicamos por quatro. Para criar uma fração equivalente, devemos fazer o mesmo com o numerador. Portanto, quatro vezes quatro é 16, o que significa que quatro quintos é equivalente a dezasseis vinte avos.

Repetimos este processo com três quartos. Para transformar quartos em vinte avos, multiplicamos por cinco. E assim temos que fazer o mesmo com o nosso numerador. Vamos multiplicar três por cinco, que é 15, o que significa que três quartos é equivalente. É o mesmo que quinze vinte avos. Então, estamos a dividir dezasseis vinte avos por quinze vinte avos. Uma vez que os seus denominadores são iguais, podemos simplesmente dividir os numeradores. Então, vamos dividir 16 por 15. Obviamente, a linha de fração realmente significa dividir. Portanto, 16 dividido por 15 pode ser escrito como 16 sobre 15.

E como esta é uma fração imprópria – por outras palavras, o numerador é maior do que o denominador – vamos convertê-la num numeral misto. Perguntamo-nos quantos 15 perfazem 16? Bem, é um resto um. Isto significa que a parte inteira é um e o numerador da nossa fração também é um. O denominador permanece inalterado, então 16 sobre 15 é equivalente a um e um quinze avos. E assim quatro quintos dividido por três quartos é um e um quinze avos. Mas este não é o único método que temos para dividir frações.

Para dividir por uma fração, podemos multiplicar pelo inverso desta fração. Portanto, a primeira fração permanece inalterada. E, em vez de dividir, estamos a multiplicar. O inverso significa um sobre. Mas se já o temos na forma de fração, simplesmente invertemos. Trocamos os numeradores e denominadores. Portanto, o inverso de três quartos é quatro terços. E a soma torna-se quatro quintos vezes quatro terços.

Mas porque é que isto funciona? Bem, o que estamos a fazer é dividir pelo numerador da nossa segunda fração para obter uma fração unitária e depois multiplicar pelo denominador para obter o todo. E a beleza deste método é que já sabemos como multiplicar frações. Simplesmente multiplicamos seus numeradores e depois multiplicamos separadamente os seus denominadores. Então, isto torna-se quatro vezes quatro sobre cinco vezes três, que é dezesseis quinze avos. Mais uma vez, sabemos que este se torna um e um quinze avos. Portanto, temos o nosso método alternativo para dividir quatro quintos por três quartos. Agora, ambos os métodos são igualmente válidos.

No nosso próximo exemplo, consideraremos como cada método funciona quando dividimos numerais mistos.

Calcula três e um terço dividido por dois e meio.

Temos dois métodos para dividir frações. Mas antes de realizarmos qualquer um deles, precisamos de identificar que temos um problema que envolve numerais mistos. E assim, antes de realizarmos a divisão, precisamos de converter os numerais mistos em frações impróprias. Vamos começar com três e um terço. Multiplicamos a parte inteira pelo denominador da fração. Três vezes três é nove. Em seguida, adicionamos este valor ao numerador da fração. Então, nove mais um é 10. Isto forma a parte do numerador da nossa fração imprópria e o denominador permanece inalterado. Então, três e um terço é igual a dez terços.

Vamos repetir este processo para dois e um meio. Desta vez, a parte inteira multiplicada pelo denominador é dois vezes dois, que é quatro. E adicionar isto ao nosso numerador dá-nos cinco. Então, dois e meio é igual a cinco sobre dois. Vamos agora considerar um método que temos para dividir frações. E isto é determinar um denominador comum. Uma vez que criamos frações equivalentes com este denominador, dividimos simplesmente o numerador. Então, qual é o mínimo denominador comum para as nossas duas frações? Bem, o mínimo múltiplo comum de três e dois é seis. Assim, criamos frações equivalentes formando um denominador de seis.

Com a nossa primeira fração para conseguir isto, multiplicamos por dois. Então, fazemos o mesmo com o nosso numerador. Isto significa que a nossa primeira fração, dez terços, torna-se 20 sobre seis. Com a nossa segunda fração, precisamos de multiplicar o numerador e o denominador por três. E assim, cinco sobre dois é equivalente a 15 sobre seis. Agora que os nossos denominadores são iguais, para dividir, simplesmente dividimos os numeradores. 20 dividido por 15, podemos escrever como 20 sobre 15. Simplificaremos esta fração dividindo por um fator comum de cinco para nos dar quatro terços.

Agora, é claro, como a questão nos foi dada como um par de numerais mistos, devemos convertê-la de novo. Quatro dividido por três é um resto um. O denominador permanece inalterado. Então, vemos que três e um terço dividido por dois e meio é um e um terço. Vamos agora considerar o método alternativo. Para dividir por uma fração, multiplicamos pelo inverso desta fração. Informalmente, este nome tem o nome de manter, alterar, inverter, embora este nome possa ser bastante impopular. Para dividir por cinco sobre dois, multiplicamos pelo inverso de cinco sobre dois. O inverso de uma fração envolve a inversão dos dois números, trocando o numerador pelo denominador.

Então, vamos multiplicar por dois sobre cinco. Mantemos a primeira fração igual, alteramos as divisões para uma multiplicação e invertemos a segunda fração. Esta é uma boa maneira de dizer “determina o inverso”. Então, o que poderíamos fazer é multiplicar os dois numeradores e multiplicar os dois denominadores, 10 vezes dois sobre três vezes cinco. Como alternativa, podemos poupar um pouco de tempo. E observe que temos um fator comum de cinco na diagonal da nossa soma. E a seguir vamos dividir por este fator. E obtemos dois terços multiplicados por dois sobre um. Agora, quando multiplicamos os numeradores e depois os denominadores, obtemos dois vezes dois sobre três vezes um, o que, mais uma vez, nos dá quatro terços. Três e um terço dividido por dois e meio é um e um terço.

Neste vídeo, aprendemos que, para multiplicar frações, multiplicamos os seus numeradores e depois multiplicamos separadamente os seus denominadores. Também vimos que temos dois métodos para dividir frações. Podemos criar um denominador comum e um par de frações equivalentes e depois dividir os numeradores. Em alternativa, dizemos que, para dividir por uma fração, multiplicamos pelo inverso da segunda fração. E isto às vezes é chamado de manter, alterar, inverter informalmente. Também vimos que, se quisermos realizar estes tipos de cálculos com numerais mistos, devemos primeiro convertê-los em frações impróprias. A partir desta fase, as mesmas regras são válidas.

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