Lesson Video: Números Imaginários Puros

Video Transcript

Neste vídeo, aprenderemos a trabalhar com números puramente imaginários. Saber como trabalhar com esses números é uma base importante para trabalhar de forma eficaz e confiante com números complexos. Começaremos aprendendo como calcular e simplificar os números imaginários, inclusive ao encontrar o produto desses números. Então, descobriremos como resolver equações que tenham soluções imaginárias.

Rafael Bombelli foi o matemático considerado o inventor de números complexos. Enquanto outros matemáticos estavam resolvendo equações reconhecendo soluções puramente reais, Bombelli viu a utilidade de trabalhar com a raiz quadrada de números negativos e introduziu as propriedades aritméticas para números imaginários que ainda usamos hoje. Curiosamente, Bombelli evitou dar um nome especial à raiz quadrada dos números negativos, preferindo lidar com eles como faria com qualquer outro radical. Ele chamou o que agora conhecemos como 𝑖 “mais de menos”. E ele usou o termo “menos de menos” para descrever menos 𝑖.

Mas qual é a definição desse número imaginário que agora chamamos de 𝑖? Em sua forma mais básica, 𝑖 é definido como a solução para a equação 𝑥 ao quadrado é igual a menos um. Isso significa que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. E podemos, por sua vez, dizer que 𝑖 é igual à raiz quadrada de menos um. 𝑖 é chamado de número imaginário, essencialmente porque não faz parte do conjunto de números reais. O que isto significa é qualquer múltiplo real de 𝑖 — em outras palavras, 𝑏𝑖, onde 𝑏 é um número real — também é um número puramente imaginário.

Então, por que nós os usamos? Por que não nos limitamos a um conjunto de números reais que já conhecemos tão bem? Bem, como já vimos na definição de 𝑖, existem algumas equações que não têm soluções reais. Números imaginários nos permitem realmente resolver essas equações. Vamos ver um exemplo disso. Começaremos considerando uma equação com muito pouco em termos de reorganização necessária.

Resolva a equação 𝑥 ao quadrado igual a menos 16.

Para resolver uma equação como essa, começamos resolvendo como faríamos qualquer equação com soluções reais executando uma série de operações inversas. Nesse caso, vamos encontrar a raiz quadrada de ambos os lados da equação. Antes de fazermos isso, optamos por reescrever o menos 16. Vamos escrevê-lo como 16𝑖 ao quadrado. E vamos ver por que fazemos isso em um momento. Mas por enquanto, funciona porque 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. E isso significa que 16𝑖 ao quadrado é 16 vezes menos um o que é menos 16.

E agora que temos a equação 𝑥 ao quadrado igual a 16𝑖 ao quadrado, podemos agora encontrar a raiz quadrada de ambos os lados da equação, lembrando que podemos pegar tanto a raiz positiva quanto a negativa de 16𝑖 ao quadrado. A raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado é 𝑥. Então, 𝑥 é igual à raiz quadrada positiva e negativa de 16𝑖 ao quadrado. E durante este próximo passo, ficará evidente porque optamos por escrever menos 16 como 16𝑖 ao quadrado. Podemos dividir a raiz quadrada de 16𝑖 ao quadrado na raiz quadrada de 16 vezes a raiz quadrada de 𝑖 ao quadrado.

A raiz quadrada de 16 é quatro e a raiz quadrada de 𝑖 ao quadrado é simplesmente 𝑖 então, por sua vez, podemos ver que 𝑥 é igual a mais ou menos quatro 𝑖. As soluções para a equação 𝑥 ao quadrado é igual a menos 16 são quatro 𝑖 e menos quatro 𝑖. E agora devemos ser capazes de ver por que escrevemos menos 16 como 16𝑖 ao quadrado. Isso tornou esses passos finais um pouco mais fáceis de lidar.

E, claro, podemos verificar essas soluções substituindo-as de volta à equação original. Vamos tentar isso por 𝑥 é igual a quatro 𝑖 primeiro. 𝑥 ao quadrado é quatro 𝑖 ao quadrado. E, claro, isso é quatro 𝑖 vezes quatro 𝑖. A multiplicação é comutativa. Pode ser executada em qualquer ordem. Então podemos reescrever isso quatro vezes quatro vezes 𝑖 vezes 𝑖. Quatro multiplicado por quatro é 16 e 𝑖 vezes 𝑖 é 𝑖 ao quadrado. E como 𝑖 ao quadrado é menos um, 𝑥 ao quadrado é menos 16 como necessário.

Podemos repetir este processo para 𝑥 é igual a menos quatro 𝑖. 𝑥 ao quadrado é menos quatro 𝑖 vezes menos quatro 𝑖, que por sua vez pode ser escrito como menos quatro vezes menos quatro vezes 𝑖 vezes 𝑖. Mais uma vez, como menos quatro vezes menos quatro é 16, obtemos 16𝑖 ao quadrado, que é menos 16, conforme necessário.

Em seguida, veremos uma equação que requer um pouco mais de trabalho para solucioná-la.

Resolva a equação dois 𝑥 ao quadrado é igual a menos 50.

Para começar a resolver essa equação, vamos dividir os dois lados por dois. Menos 50 dividido por dois é menos 25. Assim, 𝑥 ao quadrado é igual a menos 25. Agora, reescrevemos menos 25 como 25𝑖 ao quadrado. E lembre-se que podemos fazer isso porque 𝑖 ao quadrado é menos um. E então, encontramos a raiz quadrada de ambos os lados dessa equação.

É claro que podemos encontrar a raiz quadrada positiva e a negativa de 25𝑖 ao quadrado. Então, 𝑥 é igual a mais ou menos raiz de 25𝑖 ao quadrado. Podemos, então, escrever a raiz quadrada de 25𝑖 ao quadrado como a raiz quadrada de 25 multiplicada pela raiz quadrada de 𝑖 ao quadrado, que é simplesmente cinco 𝑖. Então, 𝑥 é igual a mais ou menos cinco 𝑖. As soluções para a equação dois 𝑥 ao quadrado é igual a menos 50 são cinco 𝑖 e menos cinco 𝑖.

Nos próximos exemplos, veremos como estender as propriedades aritméticas e algébricas para números reais para nos ajudar a resolver problemas envolvendo números puramente imaginários.

Simplifique dois 𝑖 ao quadrado multiplicado por menos dois 𝑖 ao cubo.

Quando nós elevamos um número ao quadrado, nós multiplicamos ele por ele mesmo. Então, dois 𝑖 ao quadrado é o mesmo que dois 𝑖 multiplicado por dois 𝑖. E como a multiplicação é comutativa, podemos escrever isso como duas vezes dois vezes 𝑖 vezes 𝑖. E, de fato, isso é um pouco como calcular uma expressão algébrica. Nós multiplicamos dois por dois para obter quatro e multiplicamos 𝑖 por 𝑖 para obter 𝑖 ao quadrado. Mas lembre-se 𝑖 não é uma variável. É a solução para a equação 𝑥 ao quadrado é igual a menos um tal que 𝑖 ao quadrado é menos um. Então, quatro 𝑖 ao quadrado é quatro multiplicado por menos um, que é menos quatro.

Em seguida, vamos calcular menos dois 𝑖 ao cubo. Mas não vamos escrevê-lo como menos dois 𝑖 vezes menos dois 𝑖 vezes menos dois 𝑖. Em vez disso, usaremos as propriedades de potências aos quais estamos acostumados. E vamos escrevê-lo como menos dois ao cubo vezes 𝑖 ao cubo. Menos dois ao cubo é menos oito. Mas o que dizer de 𝑖 ao cubo? Agora pode parecer um pouco assustador. Mas é o mesmo que escrever 𝑖 ao quadrado vezes 𝑖. E 𝑖 ao quadrado é menos um. Então, nossa expressão se torna menos oito multiplicada por menos um vezes 𝑖 que é simplesmente oito 𝑖.

Nossa etapa final é substituir dois 𝑖 ao quadrado e menos dois 𝑖 ao cubo com menos quatro e oito 𝑖, respectivamente. E então, calcularemos isso da mesma forma que qualquer expressão algébrica. Torna-se menos quatro vezes oito 𝑖 que é menos 32𝑖.

Acabamos de ver que podemos aplicar algumas das propriedades para manipular expressões algébricas para nos ajudar a calcular as que envolvem números imaginários. E acabamos de ver o resultado que 𝑖 ao cubo é igual a menos 𝑖.

Neste estágio, pode ser útil considerar o que acontece com outras potências de 𝑖, 𝑖 elevado a quatro ou cinco por exemplo. Podemos calcular 𝑖 elevado a quatro pensando-o como 𝑖 ao quadrado vezes 𝑖 ao quadrado. E então, como 𝑖 ao quadrado é menos um, dizemos que 𝑖 elevado a quatro é menos um multiplicado por menos um que é simplesmente um. E neste momento, podemos começar a generalizar.

Vamos elevar toda essa equação para a 𝑛-ésima potência. E isso funciona para valores inteiros de 𝑛. Quando o fazemos, vemos que 𝑖 à potência de quatro 𝑛 é igual a um elevado a 𝑛. Mas, na verdade, um elevado a qualquer coisa é apenas um. Assim, podemos ver que 𝑖 elevado a quatro 𝑛 é igual a um. Poderíamos então escolher multiplicar ambos os lados dessa equação por 𝑖 ou 𝑖 elevado a um.

Lembre-se de que quando multiplicamos dois números com a mesma base, aqui temos o 𝑖, adicionamos os expoentes. Então, 𝑖 vezes 𝑖 à potência de quatro 𝑛 é 𝑖 à potência de quatro 𝑛 mais um e 𝑖 à potência de quatro 𝑛 mais um é igual a 𝑖. Vamos fazer isso de novo. Quando o fazemos, vemos que 𝑖 à potência de quatro 𝑛 mais dois é igual a 𝑖 ao quadrado. Mas 𝑖 ao quadrado é simplesmente menos um. Então, 𝑖 elevado a quatro 𝑛 mais dois é igual a menos um. Vamos repetir esse processo mais uma vez. E nós vemos que 𝑖 elevado a quatro 𝑛 mais três é menos 𝑖.

E agora nós paramos. Por quê? Bem, se multiplicarmos por 𝑖 novamente, teríamos 𝑖 elevado a quatro 𝑛 mais quatro. Mas quatro é um múltiplo de quatro. Então, isso terá o mesmo resultado que 𝑖 elevado a quatro 𝑛. E esse ciclo se repete infinitamente. Há um belo gráfico que podemos usar para nos ajudar a encontrar qualquer potência de 𝑖. Para valores inteiros de 𝑛, podemos usar este ciclo para definir qualquer potência de 𝑖. Vejamos o potencial desses resultados simplificando uma expressão em termos de potências de 𝑖.

Simplifique 𝑖 elevado a 30.

Para simplificar essa expressão, nós realmente não queremos escrever 𝑖 30 vezes e calcular cada par. Em vez disso, vamos nos lembrar do ciclo que nos ajuda a lembrar as identidades de várias potências de 𝑖. Vamos comparar nosso número 𝑖 elevado a 30 com este ciclo. Precisamos representar o expoente 30 na forma quatro 𝑎 mais 𝑏. E para corresponder aos expoentes de 𝑖 em nosso ciclo, 𝑏 seria zero, um, dois ou três.

Agora, de fato, 30 pode ser escrito como quatro multiplicado por sete mais dois. Assim, 𝑖 elevado a 30 corresponde à parte do ciclo em que 𝑖 está elevado a quatro 𝑛 mais dois. De acordo com isto, 𝑖 elevado a quatro 𝑛 mais dois é igual a menos um. E isso significa que 𝑖 elevado a 30 é menos um.

Agora, outro método que poderíamos ter escolhido ainda teria sido escrever 𝑖 elevado a 30 como 𝑖 elevado a quatro vezes sete mais dois. E nós sabemos pelas propriedades de potência que isto é o mesmo que 𝑖 elevado a quatro elevado a sete vezes 𝑖 elevado a dois. 𝑖 elevado a quatro é um e 𝑖 ao quadrado é menos um. Assim, nossa expressão se torna um elevado a sete multiplicado por menos um que é novamente menos um.

Então, vimos como esse ciclo pode economizar tempo ao trabalhar com potências positivas de 𝑖. E, de fato, é importante lembrar que esses conjuntos de propriedades para simplificar as potências de 𝑖 realmente funcionam também para os expoentes negativos.

Vejamos um exemplo mais aprofundado disso.

Dado que 𝑛 é um inteiro, simplifique 𝑖 à potência de 16𝑛 menos 35.

Lembre-se do ciclo que nos ajuda a lembrar as identidades para várias potências de 𝑖 é como mostrado. Então podemos fazer uma de duas coisas. Nosso primeiro método é usar as propriedades de potências para, essencialmente, simplificar um pouco nossa expressão. Sabemos que 𝑥 elevado a 𝑎 vezes 𝑥 elevado a 𝑏 é o mesmo que 𝑥 elevado a 𝑎 mais 𝑏. Assim, podemos reverter isso e dizer que 𝑖 elevado a 16𝑛 menos 35 é igual a 𝑖 elevado a 16𝑛 vezes 𝑖 elevado a menos 35.

𝑖 elevado a 16𝑛 pode ser escrito como 𝑖 elevado a quatro elevado a quatro 𝑛. Isso corresponde à parte do nosso ciclo 𝑖 elevado a quatro 𝑛. Assim, podemos ver que 𝑖 elevado a 16𝑛 pode ser escrito como um. E o que dizer sobre 𝑖 elevado a menos 35? Este é um pouco mais complicado. Vamos escrever menos 35 na forma quatro 𝑎 mais 𝑏, onde 𝑏 pode assumir os valores zero, um, dois ou três para corresponder aos valores em nosso ciclo. É o mesmo que quatro vezes menos nove mais um.

Lembre-se quatro vezes menos nove é menos 36 e adicionando um nos leva a menos 35. E nós escolhemos menos nove em vez de menos oito, pois precisávamos que 𝑏 seja zero, um, dois ou três. E certamente não queremos que seja um valor negativo. Assim, 𝑖 elevado a menos 35 terá o mesmo resultado que 𝑖 elevado a quatro 𝑛 mais um em nosso ciclo; que é 𝑖. Assim, 𝑖 elevado a 16𝑛 menos 35 é um multiplicado por 𝑖 que é 𝑖.

Vamos dar uma olhada no método alternativo. Aqui, teríamos pulado direto para escrever a potência — 16𝑛 menos 35 — na forma quatro 𝑎 mais 𝑏, onde 𝑏 novamente é zero, um, dois ou três. Podemos escrever 16𝑛 como quatro vezes quatro 𝑛 e menos 35 como quatro vezes menos nove mais um. Podemos fatorar essa expressão e vemos que 16𝑛 menos 35 é o mesmo que quatro multiplicado por quatro 𝑛 menos nove mais um. Assim, podemos ver que, mais uma vez, 𝑖 elevado a 16𝑛 menos 35 terá o mesmo resultado que 𝑖 elevado a quatro 𝑛 mais um em nosso ciclo; que é 𝑖

Nosso último exemplo envolve uma das propriedades dos radicais que analisamos brevemente nesta aula. Essa é a raiz quadrada de 𝑎 vezes 𝑏 é igual à raiz quadrada de 𝑎 vezes a raiz quadrada de 𝑏. Precisamos ser extremamente cuidadosos com essa propriedade. Como enquanto trabalha para todos os números reais positivos, o mesmo não pode ser dito para os reais negativos.

Simplifique a raiz quadrada de 10 vezes a raiz quadrada de menos seis.

Vamos começar expressando cada radical em termos de 𝑖. Lembre-se que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Assim, podemos dizer que a raiz quadrada de menos 10 é igual à raiz quadrada de 10𝑖 ao quadrado. E da mesma forma, a raiz quadrada de menos seis é igual à raiz quadrada de seis 𝑖 ao quadrado. E neste momento, podemos dividir isso. Nós obtemos a raiz quadrada de 10 vezes a raiz quadrada de 𝑖 ao quadrado. E como a raiz quadrada de 𝑖 ao quadrado é 𝑖, podemos ver que a raiz quadrada de menos 10 é a mesma que a raiz de 10 𝑖. E da mesma forma, a raiz quadrada de menos seis é a raiz de seis 𝑖.

Em seguida, multiplicamos elas. A multiplicação é comutativa. Assim, podemos reorganizar isso um pouco e dizer que é igual à raiz quadrada de 10 vezes a raiz quadrada de seis, que é raiz de 60 vezes 𝑖 ao quadrado. E como 𝑖 ao quadrado é menos um, vemos que a raiz quadrada de 10 vezes a raiz quadrada de menos seis é menos raiz de 60. E, de fato, precisamos simplificá-la tanto quanto possível.

Existem várias maneiras de fazer isso. Poderíamos considerar 60 como um produto de seus fatores primos. Alternativamente, encontramos o maior fator de 60, que também é um número quadrado. Na verdade, esse fator é quatro. Então isso significa que a raiz quadrada de 60 é a mesma que a raiz quadrada de quatro vezes a raiz quadrada de 15, que é igual a dois raiz de 15. E simplificamos totalmente nossa expressão. Ficamos com menos dois raiz de 15.

Vejamos o que teria acontecido se tivéssemos aplicado as propriedades dos radicais. Nós teríamos dito que a raiz quadrada de menos 10 vezes a raiz quadrada de menos seis é igual a raiz quadrada de menos 10 vezes menos seis que é igual à raiz quadrada de 60 positivo ou dois raiz de 15 e isso é diferente da nossa outra solução.

Neste vídeo, aprendemos que muitas das propriedades aritméticas e algébricas com as quais estamos tão confiantes podem ser estendidas ao mundo dos números imaginários e complexos. Também vimos que algumas das propriedades exigem um pouco mais de cuidado, como a generalização das propriedades para a multiplicação de radicais quando esses radicais incluem números negativos. Também vimos como as potências inteiras de 𝑖 formam um ciclo e isso nos permite simplificar qualquer potência real de 𝑖 rapidamente.