Vídeo: Escrevendo e Resolvendo um Sistema de Equações Lineares com Três Incógnitas em um Contexto do Mundo Real

Um abrigo de animais tem um total de 350 animais compostos por gatos, cães e coelhos. Se o número de coelhos for menor que a metade do número de gatos, e houver 20 gatos a mais do que cães, quantos de cada um existem no abrigo?

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Transcrição do vídeo

Um abrigo de animais tem um total de trezentos e cinquenta animais compostos por gatos, cães e coelhos. Se o número de coelhos for cinco a menos da metade do número de gatos, e houver vinte gatos a mais do que cães, quantos de cada um existem no abrigo?

Primeiro, vamos começar por ser 𝑥 o número de gatos, por ser 𝑦 o número de cães e por ser 𝑧 o número de coelhos.

O enunciado diz que este abrigo de animais tem um total de trezentos e cinquenta animais. Assim, o número de gatos mais o número de cães mais o número de coelhos, 𝑥 mais 𝑦 mais 𝑧, deve ser igual a trezentos e cinquenta. Em seguida, diz que o número de coelhos, 𝑧, é cinco a menos da metade do número de gatos, o que seria metade de 𝑥 menos cinco: cinco a menos do que metade de um número de gatos. E, finalmente, há vinte gatos a mais do que cachorros. Então, se houver mais gatos, o número de gatos será o número de cães mais vinte, porque há vinte gatos a mais do que cachorros. Então agora precisamos de alguma forma pegar essas três equações e resolver para 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

Observe que a primeira, segunda e terceira equação têm uma variável comum. Todas elas têm um 𝑥. Então, diz que 𝑧 é igual a metade de 𝑥 menos cinco, então poderíamos inserir essa informação em nossa primeira equação. E então poderíamos manter o primeiro 𝑥 da primeira equação. E então, se pudéssemos de alguma forma substituir 𝑦 por algo em termos de 𝑥, então essa primeira equação seria completamente em termos de 𝑥 e poderíamos resolver para 𝑥.

Então, nossa última equação, 𝑥 é igual a 𝑦 mais vinte, vamos resolvê-lo por 𝑦 e então será em termos de 𝑥. Então, se subtrairmos vinte de ambos os lados, obteremos que 𝑦 é igual a 𝑥 menos vinte. Então, a nossa primeira equação irá manter o primeiro 𝑥. E então, em vez de 𝑦, vamos substituí-lo pelo 𝑥 menos vinte. Em seguida, em vez de 𝑧, vamos substituí-lo com metade de 𝑥 menos cinco e, finalmente, copiamos os trezentos e cinquenta. Agora podemos resolver 𝑥 combinando termos semelhantes: 𝑥 mais 𝑥 mais um meio de 𝑥 é dois e meio 𝑥. Então vamos em frente e escrevê-lo como dois vírgula cinco 𝑥. E então temos vinte negativos e cinco negativos, o que é menos vinte e cinco.

Então agora vamos adicionar vinte e cinco a ambos os lados da equação. Então nós temos dois vírgula cinco 𝑥 é igual a trezentos e setenta e cinco. Agora nós dividimos os dois lados por dois vírgula cinco. Os dois vírgula cinco cancelam à esquerda e, em seguida, trezentos e setenta e cinco dividido por dois vírgula cinco são cento e cinquenta. Portanto, se 𝑥 é cento e cinquenta, há cento e cinquenta gatos. Agora que sabemos 𝑥, podemos substituí-lo para encontrar 𝑦 e 𝑧. Então, podemos resolver para 𝑦, porque 𝑦 é igual a 𝑥 menos vinte. E substituindo 𝑥 por cento e cinquenta, cento e cinquenta menos vinte significa 𝑦 igual a cento e trinta. Portanto, há cento e trinta cães. E, finalmente, 𝑧 é igual a metade de 𝑥 menos cinco, então substituímos cento e cinquenta. E metade de cento e cinquenta é setenta e cinco. E setenta e cinco menos cinco significa 𝑧 é igual a setenta. Portanto, há setenta coelhos. Então, novamente, há setenta coelhos, cento e cinquenta gatos e cento e trinta cães.

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