Vídeo: Juros Compostos (com Juros Compostos Mais de uma Vez ao Ano)

Vamos aprender como resolver problemas de juros compostos nos quais a taxa anual de juros é composta mais de uma vez por ano, então usaremos a fórmula 𝑉 = [valor inicial] ∗ [1 + (𝑟/100)/𝑛]^(𝑦 ∗ 𝑛), onde 𝑛 é o número de anos e 𝑟 a taxa anual de juros.

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Transcrição do vídeo

Antes de assistir a este vídeo, você já deve estar familiarizado com o crescimento exponencial e com problemas nos quais o juro é composto apenas uma vez por ano. Vamos olhar para situações em que o juro é composto várias vezes em um ano.

Primeiro, lembre-se de que podemos calcular o valor de um investimento, que é composto apenas uma vez por ano, aplicando nosso conhecimento de crescimento exponencial. Por exemplo, eu invisto cinco mil dólares em uma conta de investimento que dá três por cento de juros, compostos anualmente. Se eu deixar o investimento por sete anos, qual será o seu valor?

Então eu estou começando com cinco mil dólares. Estou adicionando três por cento de juros a cada ano e estou fazendo isso por sete anos. Agora, para adicionar três por cento a um número, começamos com cem por cento e depois adicionamos três por cento. Então, a cada ano, estamos tentando calcular cento e três por cento do valor que tivemos no início do ano. E para isso, multiplicamos nosso saldo por cento e trez sobre cem. Agora cento e três sobre cem é igual a um vírgula três. Então, nosso multiplicador é um vírgula três. Agora vamos definir algumas variáveis. Se deixarmos 𝑣 ser o valor do investimento e 𝑦 ser o número de anos em que o investimos, então, em geral, 𝑣 é igual a cinco mil vezes um vírgula três elevado a 𝑦, para esse problema. Então, cinco mil foram o nosso investimento inicial, um vírgula três é o multiplicador que vai adicionar os três por cento a cada ano, e 𝑦 é o número de anos. E 𝑣 é o valor do investimento. Agora estamos procurando o caso específico em que investimos por sete anos. Então, 𝑦 vai ser igual a sete. E colocando isso na nossa calculadora e depois arredondando a resposta para duas casas decimais, porque é dinheiro, nos dá uma resposta de seis mil cento e quarenta e nove dólares e trinta e sete centavos.

Agora, vamos dar uma olhada mais de perto em como calculamos esse multiplicador quando adicionamos três por cento. Então, no processo de adicionar três por cento, começamos com cem por cento e acrescentamos três por cento, o que significa que estamos calculando cento e três por cento do número. E dissemos que isso significava que o multiplicador tinha cento e três sobre cem, o que, quando resolvemos, é de um vírgula três. Agora seja 𝑟 a taxa de juros, olhando para o caso geral, em vez do caso específico de três por cento. Então, agora estamos começando de mais de cem por cento e estamos adicionando 𝑟 por cento. Então, estamos encontrando cem mais 𝑟 por cento. Então o multiplicador vai ser cem mais 𝑟 sobre cem. Agora podemos dividir esse cálculo em duas frações separadas. Então cem mais 𝑟 tudo sobre cem é o mesmo que cem sobre cem mais 𝑟 sobre cem. E, claro, cem sobre cem é apenas um. Então podemos reescrever isso como um mais 𝑟 sobre cem. Então, agora temos uma fórmula geral para o multiplicador, se tivermos uma taxa de juros anual de 𝑟 por cento e fizermos juros compostos uma vez por ano.

Portanto, agora temos uma fórmula geral: o valor de um investimento é igual ao valor inicial investido vezes um mais a taxa de juros sobre cem tudo elevado a 𝑦.

Bem, isso é fabuloso. Mas no mundo das finanças, as empresas muitas vezes oferecem investimentos que são compostos com mais frequência do que uma vez por ano, por exemplo, trimestralmente. Então, isso é a cada três meses, ou quatro vezes ao ano, ou mensalmente, ou até mesmo diariamente. De fato, alguns até oferecem taxas de juros que são compostas continuamente, infinitamente várias vezes ao ano. Bem, nós vamos falar sobre isso em outro vídeo. Mas, por enquanto, vamos ver as situações em que você recebe uma taxa anual de juros, mas isso é composto 𝑛 vezes por ano.

Agora vamos definir as letras que vamos usar para representar coisas diferentes. Então, vamos ter 𝑝 que é o montante principal investido. Então esse é o nosso investimento inicial. Algumas pessoas chamam a soma principal ou o montante principal investido. 𝑟 vai ser a taxa de juros anual que estamos lidando e que será apresentada como uma porcentagem. Vamos deixar 𝑛 ser o número de períodos compostos por ano. Então, por exemplo, se estivéssemos compondo semanalmente, isso seria cinquenta e dois; então 𝑛 seria cinquenta e dois. Se estivéssemos fazendo isso mensalmente, isso seria doze meses em um ano; então 𝑛 seria doze e assim por diante. 𝑦 vai ser o número de anos que estamos investindo esse dinheiro. E vamos deixar 𝑣 ser o valor do investimento.

Agora temos uma fórmula geral para o valor do nosso investimento, que é composto 𝑛 vezes por ano. É 𝑣 igual a 𝑝 vezes um mais 𝑟 sobre cem tudo sobre 𝑛 tudo elevado a 𝑦 vezes 𝑛. Agora vamos ver isso em ação.

Uma conta de investimento oferece uma taxa de juros anual de cinco por cento, composta mensalmente. A Amera investe seis mil dólares nessa conta. Quanto ela terá na conta depois de sete anos? Compare isso com o valor que ela teria se os juros fossem somados apenas uma vez por ano.

Ok, vamos escolher as informações importantes. A taxa de juros anual é de cinco por cento e é composta mensalmente, o que significa que 𝑛 é doze. Nós vamos ter doze dados de composição acontecendo por ano. Ela está investindo seis mil dólares na conta e ela investirá por sete anos. Bem, a fórmula para o valor final é 𝑣 é igual a 𝑝 vezes um mais 𝑟 sobre cem tudo sobre 𝑛 tudo ao elevado a 𝑦 vezes 𝑛. Então vamos pensar sobre isso. 𝑛 é igual a doze, e -foi composta mensalmente, de modo que é doze vezes por ano. 𝑟 é cinco; a taxa de juros é de cinco por cento ao ano. 𝑦 é igual a sete porque estamos falando de sete anos. E o principal, o montante inicial investido, era de seis mil dólares. Bem, substituindo todas as letras na fórmula com os números que acabamos de colocar lá, temos 𝑣, o valor final, é igual a seis mil vezes um mais cinco sobre cem tudo dividido por doze tudo elevado a sete vezes doze.

Então, colocando tudo isso na calculadora e arredondando nossa resposta para duas casas decimais, porque estamos falando de dinheiro, isso nos dá oito mil, quinhentos e oito dólares e vinte e dois centavos. Assim, com a capitalização mensal, acabaremos com oito mil quinhentos e oito dólares e vinte e dois centavos na conta. Agora temos que comparar isso com a composição anual.

Portanto, a fórmula para composição anual - ainda temos nossa soma principal inicial de seis mil dólares e o multiplicador um mais cinco sobre cem é um vírgula cinco, então estamos adicionando cinco por cento a cada ano. E nós estamos apenas fazendo isso no final do ano. E nós estamos fazendo isso sete vezes aqui, então a potência é sete. Se colocarmos isso em nossa calculadora, só recebemos oito mil quatrocentos e quarenta e dois dólares e sessenta centavos, arredondados para duas casas decimais.

Então, comparando esse valor, a quantia que ela teria pelo juro sendo composto apenas uma vez por ano, ela tem sessenta e cinco dólares e sessenta e dois centavos a mais do que se os juros fossem compostos apenas uma vez por ano. Então essa é a diferença entre esses dois montantes. Portanto, vale a pena ressaltar que a observação da frequência com que essas coisas são compostas pode fazer uma grande diferença no montante de dinheiro que você recebe de volta em suas economias. Então vale a pena conferir.

Ok, então vamos dar uma olhada em uma pergunta final bastante difícil. Agatha tem cem mil dólares para investir por cinco anos. Ela precisa acabar com cento e vinte mil dólares. Se a conta que ela investe em juros compostos apenas por ano, qual é a taxa mínima de juros que ela precisaria para atingir sua meta de poupança? Além disso, se a taxa de juros fosse composta semanalmente, em vez de anualmente, qual seria a taxa de juros mínima exigida então? Dê suas respostas para duas casas decimais.

Certo. Vamos pegar algumas informações relevantes. Temos cem mil dólares para investir. Nós vamos fazer isso por cinco anos. E nosso valor alvo é de cento e vinte mil dólares. Agora temos que calcular a taxa de juros que vai conseguir isso. Mas, na verdade, precisamos fazer isso duas vezes. Em primeiro lugar, temos que fazer uma vez quando aumentamos o juro apenas uma vez por ano. E depois, em segundo lugar, vamos fazê-lo novamente quando o juro é composto semanalmente. Então, vamos chamar essas partes 𝑎 e 𝑏; 𝑎 é quando estamos fazendo o juro anualmente e 𝑏 é quando estamos compondo-o semanalmente.

Então a fórmula que usaremos no primeiro caso é, que o valor final é igual à soma principal que investimos vezes o multiplicador que, lembre-se, é a taxa de juros dividida por cem. E então nós adicionamos um a isso. E isso é elevado a 𝑦, o número de anos que estamos investindo. Agora sabemos o valor de 𝑣, e 𝑝 e 𝑦, e esperamos descobrir qual é o valor de 𝑟. Então, estamos substituindo 𝑣, o montante final, cento e vinte mil. 𝑝, a soma principal, cem mil. E 𝑦, o número de anos, cinco. E então rearranjamos isso para calcular o valor de 𝑟.

Então esta é a equação com esses números colocados lá. E agora, se dividirmos os dois lados da equação por cem mil, do lado esquerdo temos cento e vinte mil dividido por cem mil, o que é apenas um vírgula dois. E do lado direito, nós temos cem mil vezes um mais 𝑟 sobre cem, todos elevados a cinco dividido por cem mil. Então, os cem mil se cancelam, deixando-nos com um mais 𝑟 sobre cem elevado a cinco. Agora, se eu pegar a raiz quinta de ambos os lados, então eu vou ser capaz de ter apenas um mais 𝑟 sobre cem do lado direito, o que me permitirá a avançar com o rearranjo disso e isolar 𝑟. Então é isso que vou fazer. Então, do lado esquerdo da equação, tenho a raiz quinta de um vírgula dois. Eu não vou calcular isso ainda. Vou guardar isso até o final e colocá-lo na minha calculadora. E do lado direito, tenho a raiz quinta de algo elevado a cinco. Então, isso vai ser algo assim. Isso seria apenas um mais 𝑟 sobre cem. Agora, se eu subtrair um de cada lado dessa equação, no lado esquerdo eu tenho a raiz quinta de um vírgula dois menos um, e no lado direito, um mais 𝑟 sobre cem menos um é apenas 𝑟 sobre cem. Bem, estamos quase lá. Eu só preciso multiplicar os dois lados da minha equação por cem agora, e eu tenho uma expressão para o valor de 𝑟. Então, 𝑟 é igual a cem vezes a raiz quinta de um vírgula dois menos um.

E quando eu coloco isso na minha calculadora e a arredondo para duas casas decimais, como é dito na pergunta, eu obtenho 𝑟 é igual a três vírgula um. Agora lembre-se 𝑟 é a taxa de juros em porcentagem. Portanto, a resposta para a parte 𝑎 é: se ela tiver uma conta que compõe juros anualmente, precisará obter uma taxa de juros de três vírgula sete um por cento ou mais para atingir sua meta de poupança de cento e vinte mil dólares.

Agora precisamos fazer nosso cálculo novamente, mas com uma fórmula diferente, com composição semanal. Portanto, o número de juros compostos que acontecem por ano é cinquenta e dois, então 𝑛 é igual a cinquenta e dois. E nós ainda temos o mesmo investimento inicial, nós temos o mesmo valor alvo para o final disso, e nós temos o mesmo número de anos, cinco. Então, colocando esses valores na equação, nós temos o valor alvo de cento e vinte mil dólares é igual ao montante inicial de cem mil dólares vezes um mais 𝑟, o que não sabemos qual vai resolver isso, sobre cem dividido pelo número de períodos em um ano, é cinquenta e dois, todos elevados a cinco anos vezes cinquenta e dois períodos.

Bem, novamente, eu vou apenas dividir os dois lados da minha equação por cem mil e gradualmente desfazer isso até que tenhamos uma expressão para 𝑟. Bem, o lado esquerdo dividido por cem mil é apenas um vírgula dois novamente. E os cem mil cancelam do lado direito, o que era claro, era o ponto de dividir os dois lados por cem mil. E o expoente do parêntese ali, cinco vezes cinquenta e dois é duzentos e sessenta. Agora o lado direito está elevado a duzentos e sessenta. Então, eu vou tomar o duzentos e sessenta como rota de cada lado da equação. Mais uma vez, não vou fazer isso na minha calculadora ainda. Eu vou deixar nesse formato e então eu vou fazer o cálculo no final. Então, do lado esquerdo, vou pegar os duzentos e sessenta como raiz de um vírgula dois e do lado direito, os duzentos e sessenta como raiz de alguma coisa elevado a duzentos e sessenta, é só isso. Então, vou pegar um mais 𝑟 sobre cem sobre cinquenta e dois. Agora posso subtrair um de cada lado, o que significa que agora tenho os duzentos e sessenta como raiz de um vírgula dois menos um, do lado esquerdo. Do lado direito, eu acabei de pegar 𝑟 sobre cem tudo sobre cinquenta e dois. Então agora eu vou multiplicar ambos os lados por cinquenta e dois para simplificar o lado direito. E estamos quase lá agora. Eu só preciso multiplicar os dois lados por cem para apenas me dar uma expressão para 𝑟. O que temos que fazer agora é digitar essa pequena linha na minha calculadora e arredondá-la para duas casas decimais, o que me dá três vírgula seis cinco por cento.

Então, se Agatha tem uma conta que compõe juros anualmente e ela quer acabar com cento e vinte mil dólares, ela precisa obter uma taxa de juros de três vírgula sete um por cento. Mas se ela puder encontrar uma conta que compõe o juro semanalmente, só precisaria ter uma taxa de juros de três vírgula seis cinco por cento. Então isso é um pouco menos.

Então, o conselho aqui é, basta olhar para a taxa de juros do título não é necessariamente suficiente para dizer-lhe como funciona essa conta. Você precisa saber se eles são compostos semanalmente, diariamente, por hora, mensalmente ou anualmente. Isso fará a diferença na quantidade de juros você recebe do seu dinheiro.

Então, em resumo, usamos essa fórmula para calcular o valor de um investimento quando os juros são compostos mais de uma vez por ano. 𝑛 é o número de vezes por ano em que os juros são compostos. Então, se for composto mensalmente, 𝑛 será doze. Se for semanal, 𝑛 será cinquenta e dois. Se for diário, será trezentos e sessenta e cinco. E também vimos como às vezes você precisa reorganizar essa equação para encontrar o valor desconhecido. E no nosso último exemplo, tivemos que calcular a taxa de juros anual, e isso exigiu bastante reorganização para calcular o valor de 𝑟.

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