Vídeo: Determinando as Equações de Retas Perpendiculares

Utilize o facto de os declives de retas perpendiculares terem um produto de menos um para determinar as equações de retas perpendiculares. Compreenda o termo inverso simétrico.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver a relação que existe entre as equações de retas perpendiculares. E vamos ver como determinar a equação de uma reta perpendicular a outra determinada reta.

Então, primeiro, vamos ver a relação entre as equações de retas perpendiculares. No diagrama aqui, eu tenho duas retas: 𝑦 igual a 𝑚 um 𝑥 mais 𝑐 um e 𝑦 igual a 𝑚 dois 𝑥 mais 𝑐 dois. Estas são as equações destas duas retas na forma canónica. Agora, duas retas são perpendiculares se se intersetarem em ângulos retos. No caso de retas perpendiculares num plano de coordenadas, há uma propriedade especial entre os declives das duas retas. E é esta, o produto dos dois declives, ou seja, 𝑚 um e 𝑚 dois, é igual a menos um. Outra maneira de escrever isto é 𝑚 um igual a menos um dividido por 𝑚 dois, e 𝑚 dois igual a um dividido por 𝑚 um.

𝑚 um e 𝑚 dois são referidos como os inversos simétricos um do outro. O inverso de um valor é um dividido por esse valor e um inverso simétrico é menos um dividido por esse valor, como temos aqui. Assim, por exemplo, o inverso simétrico de dois é menos um sobre dois, menos um meio. O inverso simétrico de menos três é menos um dividido por menos três, o que é mais um terço. No caso de uma fração, o inverso simétrico de dois quintos é menos um dividido por dois quintos, o que simplifica para menos cinco sobre dois. Quando dividimos por uma fração, invertemos essa fração e multiplicamos. Isto também nos dá um facto importante de que precisamos ao trabalhar com os declives de retas perpendiculares. E é este: o inverso simétrico de uma fração 𝑎 sobre 𝑏 é menos 𝑏 sobre 𝑎. Portanto, invertemos a fração e mudamos o sinal. Se for positivo, então o inverso simétrico será negativo. E se for negativo, então o inverso simétrico será um valor positivo.

Agora, vamos ver como utilizar esta relação que existe entre os declives de retas perpendiculares para nos ajudar a determinar as suas equações.

Determine, na forma canónica, a equação da reta perpendicular a 𝑦 igual a dois 𝑥 menos quatro que passa pelo ponto A três, menos três.

Pediram-nos para determinar a equação desta reta na canónica, o que significa que pretendemos a forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐. Ao ler a questão, também podemos ver que esta reta é perpendicular à reta 𝑦 igual a dois 𝑥 menos quatro. Também nos dizem as coordenadas de um ponto no qual esta reta passa. Portanto, precisamos de determinar os valores de 𝑚 e 𝑐 para esta reta. Lembre-se de que 𝑚 representa o declive e 𝑐 representa a interseção com O𝑦.

Vamos começar por calcular o declive. E para fazê-lo, precisamos de nos lembrar do facto chave sobre os declives de retas perpendiculares. O facto chave foi este: que 𝑚 um multiplicado por 𝑚 dois é igual a menos um. O produto dos declives é menos um. Então, olhando para a equação da reta que já conhecemos, podemos ver imediatamente que o declive dessa reta é igual a dois. Podemos ver isso porque já está na forma canónica. Então, para calcular o declive da reta perpendicular a esta, precisamos de determinar o inverso simétrico de dois; então é menos um dividido por dois ou menos um meio. Portanto, sabemos o declive da reta e, assim, podemos substituir na nossa equação da reta.

Agora precisamos de calcular o valor de 𝑐. E para o fazer, precisamos de utilizar as coordenadas do ponto que sabemos que está na reta, ponto a. Como este ponto está na reta, diz-nos que dentro desta equação, quando 𝑥 é igual a três, 𝑦 é igual a menos três. E, portanto, eu posso substituir este par de valores em 𝑥 e 𝑦 para me dar uma equação que eu possa resolver para calcular o valor de 𝑐. Então, se eu substituir ambos os valores, agora tenho menos três igual a menos um meio multiplicado por três mais 𝑐. Isso simplifica para menos três igual a menos três sobre dois mais 𝑐. E agora para resolver esta equação em ordem a 𝑐, eu preciso de adicionar três sobre dois a ambos os membros. Ao mesmo tempo, escrevi o menos três, no primeiro membro da equação, como menos seis sobre dois para tornar a adição mais direta. Isso diz-me então que 𝑐 é igual a menos três sobre dois. Agora eu tenho o valor de 𝑐. O passo final é substituí-lo na equação da minha reta. Portanto, temos que a equação desta reta na forma canónica solicitada é 𝑦 igual u meio 𝑥 menos três sobre dois.

Escreva na forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐 a equação da reta que é perpendicular à reta menos cinco 𝑥 mais dois 𝑦 igual a menos seis e que interseta o eixo O𝑥 em 20.

Então, pediram-nos para determinar a equação desta reta na forma canónica, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐. Também nos deram duas informações sobre esta reta. Em primeiro lugar, que é perpendicular à reta menos cinco 𝑥 mais dois 𝑦 igual a menos seis. E em segundo lugar, que interseta o eixo O𝑥 em 20. Esta é toda a informação de que precisamos para determinar a equação desta reta. Então, precisamos de determinar tanto o declive como a intersetação com O𝑦 da reta.

Vamos começar por ver o declive. Dizem-nos que é perpendicular à reta dada. E, para calcular o declive, precisamos de nos lembrar do facto importante sobre os declives de retas perpendiculares, que é o de que o produto dos declives é menos um. São inversos simétricos um do outro. Portanto, se pudermos determinar o declive da primeira reta, podemos utilizar essa relação para calcular o declive da segunda reta.

Para determinar o declive dessa primeira reta, vou reorganizá-la na forma canónica, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐. Começarei por adicionar cinco 𝑥 a ambos os membros da equação. Isto dá-me dois 𝑦 igual a cinco 𝑥 menos seis. Em segundo lugar, vou dividir os dois membros da equação por dois. Então agora eu tenho 𝑦 igual a cinco sobre dois 𝑥 menos três. Agora esta reta está na forma canónica, e assim posso ver que o seu declive é igual a cinco sobre dois.

Para determinar o declive da reta perpendicular, preciso de determinar o inverso simétrico deste valor que, no caso de uma fração, significa inverter a fração e mudar o sinal. Portanto, o declive da reta da qual estou interessado, a reta perpendicular, é menos dois quintos. Então, temos o início da nossa equação para esta reta, é 𝑦 igual a menos dois quintos 𝑥 mais 𝑐. Ainda precisamos de calcular o valor de 𝑐.

Então, vamos ver a outra informação que recebemos na questão, que é a de que a reta interseta o eixo O𝑥 em 20. Isto significa que a reta passa pelo ponto com as coordenadas 20, zero. Ou formulado de forma ligeiramente diferente, quando 𝑥 é igual a 20, 𝑦 é igual a zero. Isto significa que tenho um par de valores para 𝑥 e 𝑦 que posso substituir na equação da minha reta para calcular o valor de 𝑐. Então, substituindo por zero em 𝑦 e por 20 em 𝑥, tenho zero igual a menos dois quintos multiplicado por 20 mais 𝑐. Isto dá-me zero igual a menos oito mais 𝑐. E se eu adicionar oito a ambos os membros da equação, tenho que 𝑐 é igual a oito.

Asism, determinei os valores de 𝑚 e 𝑐. O passo final, portanto, é substituir estes valores na equação da reta. Temos então que a equação desta reta na forma solicitada é 𝑦 igual a menos dois quintos 𝑥 mais oito.

Se a reta que passa pelos dois pontos dois, oito e três, três é perpendicular à reta cuja equação é três 𝑥 mais 𝑘𝑦 mais oito igual a zero, determine o valor de 𝑘.

Então, dentro desta questão, informam-nos sobre duas retas e o facto chave é que elas são perpendiculares entre si. Isto significa que o produto dos seus declives é igual a menos um. Então, a abordagem que vou tomar para esta questão é calcular o declive da reta que passa pelos pontos dois, oito e três, três antes de mais. Utilizarei então o facto de que é perpendicular à segunda reta para calcular o declive dessa reta. A seguir, compará-lo-ei com a equação da segunda reta na forma canónica para determinar o valor de 𝑘.

Então, primeiro de tudo, o declive da reta passando pelos pontos dois, oito e três, três. Lembre-se que o declive de uma reta pode ser calculado a partir de dois pontos, utilizando a variação em 𝑦 sobre a variação em 𝑥, ou 𝑦 dois menos 𝑦 um sobre 𝑥 dois menos 𝑥 um. Utilizando os valores nesta questão, dá oito menos três sobre dois menos três. Isto é cinco dividido por menos um que é menos cinco. Então, nós sabemos que o declive desta primeira reta a qual me irei referir como 𝑚 um.

Agora, utilizando o facto chave sobre os declives de retas perpendiculares, agora posso calcular o declive da segunda reta, 𝑚 dois. Então, 𝑚 dois vai ser o inverso simétrico de menos cinco. É menos um dividido por menos cinco, o que simplifica para um quinto. Então agora nós sabemos o declive desta segunda reta. E para calcular o valor de 𝑘, agora preciso de reorganizar esta reta na forma canónica. Forma canónica, lembre-se, é 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐.

Então, o primeiro passo é subtrair o oito e três 𝑥 a ambos os membros desta equação. E ao fazê-lo, tenho que 𝑘𝑦 é igual a menos 𝑥 menos oito. Em seguida, vou dividir ambos os membros desta equação por 𝑘. Então agora tenho 𝑦 igual a menos três sobre 𝑘𝑥 menos oito sobre 𝑘. Agora, se eu comparar esta versão da equação da reta com a forma canónica, posso ver que o declive da reta é igual a menos três sobre 𝑘. Mas lembre-se de que calculei também o valor numérico do declive da reta. Eu sei que é igual a um quinto. Então é isso que vou fazer. Eu vou estabelecer estes dois valores como iguais entre si para me dar uma equação que possa resolver para determinar o valor de 𝑘.

Então eu tenho um quinto é igual a menos três sobre 𝑘. Agora, para resolver esta equação, quero multiplicar por 𝑘 porque está no denominador da fração. Ao mesmo tempo, vou multiplicar por cinco. Ao fazê-lo, eu tenho que 𝑘 é igual a menos três multiplicado por cinco. Então isto dá-me um valor para 𝑘; 𝑘 é igual a menos 15.

Qual das seguintes retas é perpendicular à reta 19𝑥 menos três 𝑦 igual a cinco?

Então, temos as equações de cinco retas e pedem-nos para determinar quais delas são perpendiculares a esta reta. Então, para responder a esta questão, precisamos de nos lembrar de um facto importante sobre os declives de retas perpendiculares, que é o de que o produto dos seus declives é igual a menos um. Assim, a nossa abordagem será calcular o declive da reta que temos e, em seguida, calcular o declive de cada uma das outras retas e ver em qual das retas esta relação é válida. Eu vou determinar o declive de cada reta reorganizando-a na forma canónica, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐.

Então, vamos começar com a reta principal desta questão, 19𝑥 menos três 𝑦 igual a cinco. O meu primeiro passo será subtrair 19𝑥 a ambos os membros da equação. Isso dá-me menos três 𝑦 igual a 19𝑥 mais cinco. Em seguida, a fim de escrevê-lo como 𝑦 igual a 𝑚𝑥 mais 𝑐 forma, preciso de dividir os dois membros da equação por menos três. Agora, o menos no denominador desta primeira fração será anulado com o menos no numerador, deixando-me com 𝑦 igual a 19 sobre três 𝑥 menos cinco sobre três. Então, comparando isto com a forma canónica, posso ver que o declive desta primeira reta é de 19 sobre três.

Portanto, para que qualquer reta seja perpendicular a ela, o seu declive terá que ser o inverso simétrico deste valor. Para uma fração, isto significa que inverto a fração e mudo o sinal. Assim, as retas que estou à procura terão um declive de menos três sobre 19. Então, o que precisamos de fazer é reorganizar algebricamente a equação de cada uma destas retas e ver quais, se alguma delas, tem um declive de menos três sobre 19. Agora acabei de passar por um exemplo de como fazer isto para uma reta. Então não vou passar pelas cinco. Vou dar-lhe as versões reorganizadas e deixá-lo como um exercício para reorganizá-las e convencer-se de que realmente obtém estas mesmas equações rearranjadas.

Então, aqui estão as equações rearranjadas destas cinco retas. E se não tiver a certeza de como aconteceu, volte atrás e repita os cálculos que fiz no início deste exemplo. Então, lembre-se, estou à procura de uma reta que tenha um declive de menos três sobre 19. A primeira reta tem um declive de dois sobre 19. A segunda tem um declive de 19 sobre três. A terceira reta, esta tem um declive de menos três sobre 19. Portanto, esta reta é perpendicular à reta dada. Olhando para os dois últimos, estes têm declives de menos 19 sobre três e três sobre 19. Então, nenhum destes é perpendicular à reta dada.

Portanto, a minha resposta para o problema é que somente esta terceira reta com a equação dois menos 19𝑦 igual a três 𝑥 é perpendicular à reta dada.

Em resumo, o principal facto sobre as retas perpendiculares é que os seus declives são inversos simétricos um do outro, o que significa que multiplicados dão menos um, 𝑚 um 𝑚 dois é igual a menos um. Utilizar este facto em conjunto com nossos outros métodos para determinar a equação de uma reta permite-nos determinar a equação de retas perpendiculares.

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