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Vídeo da aula: Encontrando a Progressão Aritmética Matemática • 9º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar progressões aritméticas com informações sobre seus termos e relações entre elas.

17:18

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar progressões aritméticas com informações sobre seus termos e as relações entre elas. Lembramos que uma sequência aritmética ou progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre dois termos consecutivos na sequência é constante. Chamamos essa diferença constante de diferença comum. Se a progressão tem um número finito de termos, então a chamamos de progressão aritmética finita. Caso contrário, nos referimos a ela apenas como uma progressão aritmética. Vamos considerar um exemplo.

Se o primeiro termo em nossa progressão aritmética for 100 e a diferença comum entre quaisquer dois termos for menos cinco, então podemos encontrar o próximo termo na progressão. Vamos chamar o primeiro termo na progressão 𝑎 sub um e o segundo termo 𝑎 sub dois. Como a diferença entre o segundo e o primeiro termo é menos cinco, 𝑎 sub dois menos 100 é igual a menos cinco. Adicionando 100 a ambos os lados desta equação, vemos que 𝑎 sub dois é igual a menos cinco mais 100. 𝑎 sub dois, o segundo termo em nossa progressão aritmética, é, portanto, igual a 95.

Podemos continuar esse padrão para encontrar um número infinito de termos da progressão. Isso equivale a dizer que podemos encontrar o próximo termo na progressão adicionando a diferença comum ao termo anterior. 𝑎 sub dois é, portanto, igual a 𝑎 sub um mais 𝑑. 𝑎 sub três, o terceiro termo, é igual a 𝑎 sub dois, o segundo termo, mais a diferença comum 𝑑. E 𝑎 sub quatro é igual a 𝑎 sub três mais 𝑑. Esse padrão continua.

Se denotarmos o 𝑛-ésimo termo em qualquer progressão aritmética como 𝑎 sub 𝑛, podemos encontrar uma fórmula para o 𝑛-ésimo termo nessa progressão aritmética. Voltando às nossas expressões para 𝑎 sub dois e 𝑎 sub três, uma vez que 𝑎 sub dois é igual a 𝑎 sub um mais 𝑑, então 𝑎 sub três é igual a 𝑎 sub um mais 𝑑 mais 𝑑. Simplificando, vemos que 𝑎 sub três é igual a 𝑎 sub um mais dois 𝑑. Continuando esse padrão, 𝑎 sub quatro é igual a 𝑎 sub um mais três 𝑑. A fórmula para o 𝑛-ésimo termo de uma progressão aritmética com diferença comum 𝑑 e o primeiro termo 𝑎 sub um é portanto dado por 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑎 sub um mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑.

Agora usaremos essa fórmula para determinar informações sobre as progressões aritméticas usando os termos da progressão. Vamos começar observando alguns exemplos de como encontrar uma progressão aritmética com informações sobre seus termos.

Encontre a progressão finita 𝑎 sub 𝑛, dado 𝑎 sub um é igual a menos 82, 𝑎 sub 12 é igual a menos 203 e o décimo segundo termo é menos 115.

Começamos lembrando que, como nossa progressão é finita, ela terá um número fixo de termos. Lembramos também que uma progressão aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Isso é chamado de diferença comum. Para qualquer progressão aritmética, a fórmula para o 𝑛-ésimo termo afirma que 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑎 sub um mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑, onde 𝑎 sub 𝑛 é o 𝑛-ésimo termo, 𝑎 sub um é o primeiro termo e 𝑑 é a diferença comum.

Nesta pergunta, somos informados de que 𝑎 sub um, o primeiro termo, é menos 82. O décimo segundo termo, 𝑎 sub 12, é igual a menos 203. Usando a fórmula geral, vemos que 𝑎 sub 12 é igual a 𝑎 sub um mais 12 menos um multiplicado por 𝑑. Substituindo os valores de 𝑎 sub 12 e 𝑎 sub um nos dá a equação menos 203 é igual a menos 82 mais 11𝑑. Adicionando 82 a ambos os lados desta equação, vemos que 11𝑑 é igual a menos 121. E dividindo ambos os lados dessa equação por 11 nos dá 𝑑 é igual a menos 11. A diferença comum da progressão finita é menos 11.

Como agora conhecemos o primeiro termo e a diferença comum, tudo o que resta para encontrar é o último termo da progressão finita. Para fazer isso, usaremos o fato de que o décimo segundo termo é menos 115. Se deixarmos 𝑎 sub 𝑙 ser o último termo, a sequência pode ser escrita como mostrado. Isso significa que 𝑎 sub 𝑙 menos um será o antepenúltimo termo ou o penúltimo termo. 𝑎 sub 𝑙 menos dois será o terceiro ao último termo. Podemos continuar esse padrão para mostrar que 𝑎 sub 𝑙 menos 11 será o décimo segundo termo na progressão.

Usando a fórmula geral mais uma vez, isso é igual a 𝑎 sub um mais 𝑙 menos 11 menos um multiplicado por 𝑑. Substituindo em nossos valores 𝑎 sub 𝑙 menos 11, 𝑎 sub um e 𝑑 nos dá a equação menos 115 é igual a menos 82 mais 𝑙 menos 12 multiplicado por menos 11. Podemos adicionar 82 a ambos os lados dessa equação, de modo que menos 33 seja igual a 𝑙 menos 12 multiplicado por menos 11. Dividindo ambos os lados desta equação por menos 11, temos três é igual a 𝑙 menos 12. Podemos então adicionar 12 a ambos os lados dessa equação, de modo que 𝑙 seja igual a 15.

Podemos, portanto, concluir que a progressão possui 15 termos. Este décimo quinto ou último termo, 𝑎 sub 15, é igual a menos 82 mais 15 menos um multiplicado por menos 11. 15 menos um é 14. E multiplicar isso por menos 11 nos dá menos 154. Menos 82 menos 154 é igual a menos 236. Depois de limpar algum espaço, podemos resumir o que encontramos. Nossa progressão tem uma diferença comum de menos 11, um primeiro termo de menos 82 e um último termo de menos 236. A progressão aritmética finita 𝑎 sub 𝑛 contém os termos menos 82, menos 93, menos 104 e assim por diante, com um último termo de menos 236.

Em nosso próximo exemplo, resolveremos o problema usando sistemas de equações.

Encontre a progressão aritmética em que a soma do primeiro e do terceiro termos é igual a menos 142 e a soma de seus terceiro e quarto termos é igual a menos 151.

Nesta pergunta, recebemos duas informações sobre nossa progressão. Em primeiro lugar, a soma do primeiro e do terceiro termos é igual a menos 142. Em segundo lugar, a soma do terceiro e quarto termos é igual a menos 151. Como estamos lidando com uma progressão aritmética, começamos lembrando que o 𝑛-ésimo termo, 𝑎 sub 𝑛, é igual a 𝑎 sub um mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑, onde 𝑎 sub um é o primeiro termo da progressão e 𝑑 é a diferença comum.

Nesta questão, precisamos considerar o primeiro, o terceiro e o quarto termos da progressão. O primeiro termo é igual a 𝑎 sub um. O terceiro termo é igual a 𝑎 sub um mais dois 𝑑. E o quarto termo é igual a 𝑎 sub um mais três 𝑑. Isso significa que temos duas equações. 𝑎 sub um mais 𝑎 sub um mais dois 𝑑 é igual a menos 142. E 𝑎 sub um mais dois 𝑑 mais 𝑎 sub um mais três 𝑑 é igual a menos 151.

A primeira equação simplifica para dois 𝑎 sub um mais dois 𝑑 é igual a menos 142. Vamos chamar essa equação um. A segunda equação simplifica para dois 𝑎 sub um mais cinco 𝑑 é igual a menos 151. Vamos rotular essa equação de dois. Agora temos um sistema de equações que podemos resolver por substituição ou eliminação. Nesta questão, vamos resolver por eliminação subtraindo a equação um da equação dois. Dois 𝑎 sub um menos dois 𝑎 sub um é zero, e cinco 𝑑 menos dois 𝑑 é igual a três 𝑑.

No lado direito, subtrair menos 142 de menos 151 nos dá menos nove. Como três 𝑑 é igual a menos nove, podemos dividir ambos os lados da nossa equação por três, dando-nos 𝑑 é igual a menos três. A diferença comum da progressão aritmética é menos três. Agora podemos substituir esse valor de 𝑑 de volta à equação um ou à equação dois. Substituindo 𝑑 igual a menos três na equação um nos dá dois 𝑎 sub um mais dois multiplicado por menos três é igual a menos 142. Isso simplifica para dois 𝑎 sub um menos seis é igual a menos 142. Podemos então adicionar seis a ambos os lados dessa equação. Finalmente, dividindo ambos os lados por dois nos dá 𝑎 sub um é igual a menos 68.

O primeiro termo de nossa progressão aritmética é menos 68, e a diferença comum é menos três. Podemos, portanto, concluir que nossa progressão aritmética contém os valores menos 68, menos 71, menos 74 e assim por diante.

Em nossa pergunta final, encontraremos uma progressão aritmética dada a soma e o produto de seus termos.

Encontre a progressão aritmética em que 𝑎 sub dois mais 𝑎 sub quatro é igual a menos 28 e 𝑎 sub três multiplicado por 𝑎 sub cinco é igual a 140.

Nesta questão, somos informados de que a soma do segundo e do quarto termos de uma progressão aritmética é igual a menos 28 e o produto do terceiro e do quinto termos é igual a 140. Começamos lembrando que o 𝑛-ésimo termo de qualquer progressão aritmética, escrito 𝑎 sub 𝑛, é igual a 𝑎 sub um, o primeiro termo, mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑, a diferença comum. Podemos, portanto, configurar duas equações para as informações dadas. Em primeiro lugar, como o segundo termo é 𝑎 sub um mais 𝑑 e o quarto termo é 𝑎 sub um mais três 𝑑, temos a equação 𝑎 sub um mais 𝑑 mais 𝑎 sub um mais três 𝑑 é igual a menos 28. Isso simplifica para dois 𝑎 sub um mais quatro 𝑑 é igual a menos 28.

Nesse estágio, podemos dividir ambos os lados da nossa equação por dois. 𝑎 sub um mais dois 𝑑 é, portanto, igual a menos 14. Subtraindo dois 𝑑 de ambos os lados dessa equação, temos 𝑎 sub um é igual a menos 14 menos dois 𝑑. Vamos rotular essa equação como um. Em seguida, consideraremos o fato de que 𝑎 sub três multiplicado por 𝑎 sub cinco é 140. Como o terceiro termo, 𝑎 sub três, é igual a 𝑎 sub um mais dois 𝑑 e o quinto termo, 𝑎 sub cinco, é igual a 𝑎 sub um mais quatro 𝑑, o produto dessas duas expressões é igual a 140.

Poderíamos distribuir os parênteses aqui. No entanto, um método alternativo seria substituir o valor de 𝑎 sub um nessa equação. Substituindo 𝑎 sub um por menos 14 menos dois 𝑑, temos menos 14 menos dois 𝑑 mais dois 𝑑 multiplicado por menos 14 menos dois 𝑑 mais quatro 𝑑 é igual a 140. Menos dois 𝑑 mais dois 𝑑 é igual a zero. Menos dois 𝑑 mais quatro 𝑑 é igual a dois 𝑑. Então ficamos com menos 14 multiplicado por menos 14 mais dois 𝑑 é igual a 140.

Podemos dividir ambos os lados desta equação por menos 14, de modo que menos 14 mais dois 𝑑 é igual a menos 10. Adicionando 14 a ambos os lados, vemos que dois 𝑑 é igual a quatro. E, finalmente, dividindo ambos os lados dessa equação por dois, vemos que 𝑑 é igual a dois. Agora podemos substituir esse valor pela diferença comum na equação um para calcular o primeiro termo, 𝑎 sub um. 𝑎 sub um é igual a menos 14 menos dois multiplicado por dois. Isso é igual a menos 18. Como o primeiro termo em nossa progressão é menos 18 e a diferença comum é dois, a progressão aritmética é menos 18, menos 16, menos 14 e assim por diante.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Uma progressão aritmética é uma sequência em que a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Isso é chamado de deferência comum. O 𝑛-ésimo termo em uma progressão aritmética com o primeiro termo 𝑎 sub um e diferença comum 𝑑 pode ser encontrado usando a fórmula 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑎 sub um mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. Vimos neste vídeo que podemos usar essa fórmula para construir uma expressão para qualquer termo em nossa progressão aritmética em termos do primeiro termo inicial e da diferença comum. Se pudermos criar duas equações nessas variáveis, podemos resolvê-las como sistema de equações para calcular os valores de 𝑎 sub um e 𝑑.

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