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Vídeo da aula: Raízes índice 𝑛: Expressões e Equações Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como simplificar expressões algébricas e resolver equações algébricas que envolvem raízes 𝑛, onde 𝑛 é um número inteiro positivo maior ou igual a 2.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como simplificar expressões algébricas e resolver equações algébricas que envolvem raízes índice 𝑛, onde 𝑛 é um número inteiro positivo maior ou igual a dois. A raiz índice 𝑛 é uma operação matemática realmente importante. Descreve a inversa de uma operação de potência para um expoente 𝑛. Definimos formalmente dizendo que a raiz índice 𝑛 de um número 𝑥, onde 𝑛 é um número inteiro positivo, é um número que quando elevado à 𝑛-ésima potência dá 𝑥. Por outras palavras, se definirmos isto como 𝑦, pode-se dizer que 𝑥 é igual a 𝑦 elevado a 𝑛. Em seguida, a raiz índice 𝑛 é escrita como se mostra. 𝑦 é igual à raiz índice 𝑛 de 𝑥.

Agora, embora esteja fora do âmbito desta aula investigar com muitos detalhes, vale a pena notar que a raiz índice 𝑛 de 𝑥 pode ser escrita equivalentemente como 𝑥 elevado a um sobre 𝑛. E isto é realmente útil, pois pode atuar como uma ferramenta que nos ajudará a entender como as regras das potências que já conhecemos podem ser aplicadas a expressões que envolvem raízes. A primeira dessas propriedades diz-nos o que acontece quando as multiplicamos. Diz que quando a raiz índice 𝑛 de 𝑎 e a raiz índice 𝑛 de 𝑏 são reais e bem definidas, então a raiz índice 𝑛 de 𝑎 vezes 𝑏 também está definida. É dado pela raiz índice 𝑛 de vezes a raiz índice 𝑛 de 𝑏 igual à raiz índice 𝑛 de 𝑎 vezes 𝑏.

Da mesma forma, podemos calcular o quociente da raiz índice 𝑛 de 𝑎 sobre a raiz índice 𝑛 de 𝑏, onde a raiz índice 𝑛 de 𝑏 não é igual a zero, determinando a raiz índice 𝑛 de 𝑎 sobre 𝑏. Em seguida, consideramos as próximas quatro propriedades com muito cuidado. Em primeiro lugar, se 𝑛 for um número inteiro ímpar, então a raiz índice 𝑛 de 𝑎 elevado a 𝑛 é igual à raiz índice 𝑛 de 𝑎 elevado a 𝑛, que é simplesmente igual a 𝑎. Se, no entanto, 𝑛 for par e 𝑎 for maior ou igual a zero, então a raiz índice 𝑛 de 𝑎 elevada à potência índice 𝑛 é simplesmente igual a 𝑎. Mas nas mesmas circunstâncias, se 𝑎 for menor que zero, então a raiz índice 𝑛 de 𝑎 elevada à 𝑛 -ésima potência é indefinida no conjunto de números reais.

A propriedade final diz-nos o que fazer se 𝑛 for par e 𝑎 for qualquer número real. Desta vez, diz-nos que podemos elevar a raiz índice 𝑛 de 𝑎 à 𝑛-ésima potência determinando o valor absoluto ou módulo de 𝑎. E podemos começar a imaginar o que está realmente a acontecer quando 𝑛 é par. E investigaremos isto com um pouco mais de detalhes mais adiante no vídeo. Por enquanto, vamos ver um exemplo realmente simples que nos permitirá utilizar estas propriedades para simplificar uma expressão que envolve uma raiz índice 𝑛.

Simplifique a raiz cúbica de 64 vezes 𝑚 ao cubo.

Para poder simplificar uma expressão que envolve uma raiz índice 𝑛, onde aqui 𝑛 é igual a três, vamos relembrar uma das propriedades que se aplica às raízes índice 𝑛. Esta propriedade diz-nos o que acontece quando multiplicamos um par de raízes índice 𝑛. Especificamente, para números reais positivos 𝑎 e 𝑏, a raiz índice 𝑛 de 𝑎 vezes a raiz índice 𝑛 de 𝑏 é equivalente à raiz índice 𝑛 de 𝑎𝑏. Vamos aplicar esta propriedade ao contrário. E permite-nos separar a raiz cúbica de 64𝑚 ao cubo no produto da raiz cúbica de 64 e a raiz cúbica de 𝑚 ao cubo.

A próxima propriedade em que estamos interessados diz-nos que se 𝑛 é um número inteiro ímpar, que está aqui, é três, então a raiz índice 𝑛 de 𝑎 tudo elevado à 𝑛-ésima potência é igual à raiz índice 𝑛 de 𝑎 elevado a 𝑛 , que é simplesmente igual a 𝑎. E isto é ótimo. Isto permite-nos simplificar esta parte da expressão, a raiz cúbica de 𝑚 ao cubo. Como a raiz é ímpar, ou seja, 𝑛 é igual a três, podemos dizer que a raiz cúbica de 𝑚 ao cubo é simplesmente igual a 𝑚. E, é claro, sabemos o valor da raiz cúbica de 64. É simplesmente quatro. Portanto, podemos substituir a raiz cúbica de 𝑚 ao cubo igual a 𝑚 e a raiz cúbica de 64 igual a quatro de novo na nossa equação anterior. E isto permitir-nos-á simplificar a expressão original.

Quando o fazemos, descobrimos que a raiz cúbica de 64 vezes a raiz cúbica de 𝑚 ao cubo é quatro vezes 𝑚, o que pode, é claro, ser totalmente simplificado para quatro 𝑚. E assim, simplificamos a raiz cúbica de 64𝑚 ao cubo. São quatro 𝑚.

Neste exemplo, vimos o que acontecia quando a raiz, o valor de 𝑛, era um número inteiro ímpar. No nosso próximo exemplo, veremos como determinar uma raiz par.

Simplifique a raiz quadrada de 100𝑥 elevado a 16.

Nesta questão, o valor de 𝑛 na nossa raiz índice 𝑛 é omitido. Quando é omitido, assumimos que é igual a dois e é por isso que o definimos como sendo a raiz quadrada. Então, vamos simplificar esta expressão aplicando algumas das propriedades das raízes índice 𝑛, onde 𝑛 é igual a dois. A primeira propriedade que aplicamos visa determinar o produto das raízes índice 𝑛. Isto diz-nos que quando a raiz índice 𝑛 de 𝑎 e a raiz índice 𝑛 de 𝑏 são números reais e bem definidos, então a raiz índice 𝑛 de 𝑎 vezes 𝑏 também está definida. É a raiz índice 𝑛 de 𝑎 vezes a raiz índice 𝑛 de 𝑏. Podemos omitir este valor de 𝑛 e dizer que equivalentemente a raiz quadrada de 𝑎 vezes a raiz quadrada de 𝑏 é igual à raiz quadrada de 𝑎𝑏.

Podemos então aplicar esta propriedade ao contrário. E permite-nos separar a raiz quadrada de 100𝑥 elevado a 16 e escrevê-la como a raiz quadrada de 100 vezes a raiz quadrada de 𝑥 elevado a 16. E, é claro, se soubermos os nossos quadrados perfeitos de cor, a primeira parte desta expressão é bastante fácil de calcular. A raiz quadrada de 100 é simplesmente igual a 10. Mas o que é que fazemos com a raiz quadrada de 𝑥 elevado a 16? Bem, vamos utilizar a regra que se aplica quando 𝑛 é um número inteiro par e 𝑎 é um número real. Ou seja, a raiz índice 𝑛 de 𝑎 elevado a 𝑛 é igual ao valor absoluto de 𝑎.

Para poder aplicar esta regra, precisamos de fazer um pouco de manipulação, e isto envolve a aplicação de uma das nossas regras das potências. Isto diz que 𝑥 elevado a oito ao quadrado é igual a 𝑥 elevado a 16. Portanto, podemos escrever equivalentemente a raiz quadrada de 𝑥 elevado a 16 como a raiz quadrada de 𝑥 elevado a oito ao quadrado. E então, pela propriedade anterior, podemos dizer que isto é realmente igual ao valor absoluto de 𝑥 elevado a oito. Agora podemos substituir cada parte da nossa expressão anterior pelos valores 10 e o valor absoluto de 𝑥 elevado a oito. E vemos que simplificamos a raiz quadrada de 100𝑥 elevado a 16 como 10 vezes o valor absoluto de 𝑥 elevado a oito.

Então, vamos pensar rapidamente sobre o que o valor absoluto realmente nos diz. Pega no objeto, que está aqui 𝑥 elevado a oito, e torna-a positiva. Obviamente, se 𝑥 for um número real, 𝑥 elevado a 𝑛 será na verdade não negativo para valores pares de 𝑛. Neste caso, a nossa potência oito é par, então podemos dizer que 𝑥 elevado a oito será não negativo. Será maior ou igual a zero se 𝑥 for um número real. Isto significa que os símbolos de valor absoluto são realmente desnecessários aqui e, portanto, podemos simplificar ainda mais a nossa expressão. Quando o fazemos, descobrimos que a raiz quadrada de 100𝑥 elevado a 16 pode ser simplificada para 10 vezes 𝑥 elevado a oito.

Agora, é importante notar que se deve ter cuidado ao determinar potências de raízes. No nosso exemplo anterior, terminámos com uma potência par dentro de uma raiz par. Mas o que aconteceria se tivéssemos que simplificar algo como a raiz quadrada de 𝑥 elevado a 14? Poderemos começar da mesma maneira, escrevendo 𝑥 elevado a 14 como 𝑥 elevado ao quadrado. E então isto significa que a raiz quadrada de 𝑥 elevado a 14 é a raiz quadrada de 𝑥 elevado ao quadrado, que é igual ao valor absoluto de 𝑥 elevado a sete. Desta vez, precisamos de manter estes símbolos de valor absoluto. Isto garante essencialmente que, independentemente do valor de entrada para 𝑥, o radical será positivo. Isto significa que estamos a obter a raiz par de um número positivo e, portanto, está bem definido.

Agora, utilizamos as propriedades das raízes até agora neste vídeo para expressar uma raiz 𝑛 como o produto de duas raízes 𝑛 únicas. É importante notar que podemos estender isto para expressar a raiz como o produto de três ou mais raízes 𝑛. Mais uma vez, se a raiz índice 𝑛 de 𝑎, a raiz índice 𝑛 de 𝑏 e a raiz índice 𝑛 de 𝑐 estiverem bem definidas, o produto será igual à raiz índice 𝑛 de 𝑎𝑏𝑐, onde 𝑛 precisa ser um número inteiro positivo.

Vamos demonstrar isto no próximo exemplo.

Escreva a raiz quadrada de 25𝑎 ao quadrado 𝑏 elevado a seis na sua forma mais simples.

Para simplificar esta expressão, vamos lembrar que se a raiz índice 𝑛 de 𝑎, a raiz índice 𝑛 de 𝑐 e a raiz índice 𝑛 de 𝑐 estão bem definidas para inteiros positivos 𝑛, então o seu produto é a raiz índice 𝑛 de 𝑎𝑏𝑐. Vamos aplicar esta propriedade ao contrário para nos permitir escrever a expressão original como a raiz quadrada de 25 vezes a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado vezes a raiz quadrada de 𝑏 elevado a seis. Agora, sabemos que a raiz quadrada de 25 é simplesmente igual a cinco. Mas o que fazemos com a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado e a raiz quadrada de 𝑏 elevado a seis?

Bem, uma vez que estamos a determinar a raiz quadrada, esta é uma raiz índice 𝑛 onde 𝑛 é par; é dois. Portanto, utilizamos a seguinte propriedade. Se 𝑛 for par e 𝑎 for um número real, a raiz índice 𝑛 de 𝑎 elevado a 𝑛 é igual ao valor absoluto de 𝑎. Portanto, podemos reescrever a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado como o valor absoluto de 𝑎. Para repetir este processo para a raiz quadrada de 𝑏 elevado a seis, precisamos de reescrever 𝑏 elevado a 𝑏 ao cubo ao quadrado, o que significa que a raiz quadrada de 𝑏 ao cubo ao quadrado é igual ao valor absoluto de 𝑏 ao cubo.

Agora podemos substituir cada raiz pelo valor que determinámos. Portanto, a raiz quadrada de 25 vezes a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado vezes a raiz quadrada de 𝑏 elevado a seis é cinco vezes o valor absoluto de 𝑎 vezes o valor absoluto de 𝑏 ao cubo. Então, como cinco é por natureza não negativo, podemos utilizar as regras para multiplicar expressões de valor absoluto para reescrever isto como o valor absoluto de cinco 𝑎𝑏 ao cubo. E assim, na sua forma mais simples, a raiz quadrada de 25𝑎 ao quadrado 𝑏 elevado a seis é igual ao valor absoluto de cinco 𝑎𝑏 ao cubo.

Então, agora demonstrámos como utilizar propriedades das raízes para simplificar expressões. Mas vale a pena estar ciente de que precisamos de ter cuidado ao trabalhar com equações que envolvem expoentes. Considere, por exemplo, a equação 𝑦 ao quadrado igual a 16. Procuraremos resolver esta equação calculando a raiz quadrada de ambos os membros. Portanto, uma solução para a equação é 𝑦 igual à raiz quadrada de 16, que é quatro. No entanto, se substituirmos 𝑦 igual a menos quatro na expressão 𝑦 ao quadrado, obteremos menos quatro ao quadrado, que na verdade é mais 16. Portanto, há uma segunda solução para esta equação. É menos quatro. E assim, ao resolver uma equação desta forma, as soluções precisam de envolver as raízes quadradas positivas e negativas de 𝑥. E, portanto, há uma diferença subtil real entre as duas afirmações aparentemente equivalentes, 𝑦 ao quadrado igual a 𝑥 e 𝑦 igual à raiz quadrada de 𝑥.

Vamos generalizar isto. Vamos considerar a equação 𝑦 elevado a 𝑛 igual a 𝑥, onde 𝑥 e 𝑦 são números reais e 𝑛 é um número inteiro positivo. Em primeiro lugar, se 𝑛 é um número par, mas 𝑥 é negativo, então não há soluções reais para a equação 𝑦 elevado a 𝑛 igual a 𝑥. Se, no entanto, 𝑛 for par e 𝑥 for positivo, as soluções serão dadas por 𝑦 igual a mais ou menos a raiz índice 𝑛 de 𝑥. Obviamente, se 𝑥 é igual a zero, a solução é apenas 𝑦 igual a zero. Se, no entanto, 𝑛 for ímpar, não importa o sinal de 𝑥. Haverá sempre uma solução para a equação, e esta é 𝑦 igual à raiz índice 𝑛 de 𝑥.

Agora, como interpretamos as afirmações 𝑦 elevado a 𝑛 igual a 𝑥 e 𝑦 é igual à raiz índice 𝑛 de 𝑥 de maneira diferente, temos mais uma definição, que é da raiz índice 𝑛 principal. Com esta definição, podemos considerar uma raiz índice 𝑛 como uma função, tornando-a, por definição, uma correspondência injetiva. Dizemos que todo o número real positivo tem uma única raiz índice 𝑛 positiva; esta é a raiz índice 𝑛 de 𝑥. Isto é conhecido como a raiz índice 𝑛 principal. Então, quando dada, por exemplo, a expressão a raiz quadrada de quatro, sabemos que estamos interessados apenas em dois e não menos dois, porque não estamos a resolver uma equação.

Vamos demonstrar uma aplicação das propriedades das raízes índice 𝑛 pares e ímpares no nosso próximo exemplo.

Determine o valor, ou valores, de 𝑥 se 12𝑥 elevado a cinco for igual a 384.

Vamos resolver esta equação para 𝑥 realizando uma série de operações inversas. Percebemos que 𝑥 elevado a cinco está a ser multiplicado por 12. Então, vamos começar por dividir os dois membros desta equação por 12. 384 dividido por 12 é 32. Então, obtemos 𝑥 elevado a cinco igual a 32. Então, para resolver esta equação, recordamos o que sabemos sobre raízes pares e ímpares. Especificamente, dada a equação 𝑦 elevado a 𝑛 igual a 𝑥, se 𝑛 for ímpar, então há exatamente uma solução para esta equação, 𝑦 igual à raiz índice 𝑛 de 𝑥.

Agora, como a nossa equação é em termos de 𝑥, vamos reescrever isto um pouco. Portanto, se 𝑥 elevado a 𝑛 é igual a 𝑦, então 𝑥 é igual à raiz índice 𝑛 de 𝑦. Agora, neste caso, 𝑛 é ímpar; é igual a cinco. E, portanto, há apenas uma solução para esta equação. É 𝑥 igual à raiz quinta de 32. Mas é claro, a raiz quinta de 32 é simplesmente igual a dois. E assim, a solução é 𝑥 igual a dois.

Vamos considerar apenas mais um exemplo. Desta vez, vamos combinar as propriedades das raízes índice 𝑛 e o teorema sobre as raízes pares e ímpares que acabámos de demonstrar. Isto permitir-nos-á resolver equações mais complicadas que envolvem expoentes.

Determine o valor, ou valores, de 𝑥, dado que 𝑥 mais nove sobre cinco ao quadrado é igual à raiz quadrada de 144 vezes três ao quadrado.

Vamos começar por calcular o segundo membro desta equação. Sabemos que podemos escrevê-lo como a raiz quadrada de 144 vezes a raiz quadrada de três ao quadrado. Em seguida, aplicamos a propriedade de que se 𝑛 é par e 𝑎 é um número real, então a raiz índice 𝑛 de 𝑎 elevado a 𝑛 é igual ao valor absoluto de 𝑎. Especificamente, a segunda parte desta expressão pode ser considerada como a raiz quadrada de três ao quadrado. E assim podemos reescrever isto como o valor absoluto de três. Agora, é claro, a raiz quadrada de 144 é 12, mas três é não negativo. Portanto, não precisamos dos símbolos de valor absoluto. Isto dá-nos 12 vezes três, o que é igual a 36. Então, vamos reescrever a nossa equação como se mostra.

Em seguida, pensamos sobre o que sabemos acerca da resolução de equações que envolvem raízes ímpares e pares. Especificamente, se tivermos 𝑛 par e 𝑥 positivo, as soluções para a equação 𝑦 elevado a 𝑛 igual a 𝑥 serão 𝑥 igual a positivo ou negativo a raiz índice 𝑛 de 𝑦. Isto significa que se calcularmos a raiz quadrada de ambos os membros desta equação aqui, temos que determinar a raiz quadrada positiva e negativa de 36. E, de facto, a raiz quadrada de 36 é seis. Portanto, a nossa equação pode ser escrita como 𝑥 mais nove sobre cinco igual a mais ou menos seis.

E assim, para determinar os valores de 𝑥 que satisfazem a nossa equação original, vamos resolver duas equações: 𝑥 mais nove sobre cinco igual a seis e 𝑥 mais nove sobre cinco igual a menos seis. Começamos por multiplicar cada equação por cinco. Portanto, a nossa primeira equação pode ser escrita como 𝑥 mais nove igual a 30 e a nossa segunda como 𝑥 mais nove igual a menos 30. Em seguida, subtraímos nove e obtemos 𝑥 igual a 21 ou 𝑥 igual a 39. E assim determinámos os valores de 𝑥 que satisfazem a nossa equação. E se substituíssemos qualquer um destes de novo nesta equação, isto funcionará. Obtemos 𝑥 igual a 21 e 𝑥 igual a 39.

Vamos agora recapitular os pontos principais desta aula. Nesta aula, aprendemos que a raiz índice 𝑛 de 𝑥, onde 𝑛 é um número inteiro positivo, é um número 𝑦 tal que 𝑥 é igual a 𝑦 elevado a 𝑛. E está escrito como apresentado. Aprendemos a definição da raiz principal e dissemos que todo número real positivo tem uma única raiz índice 𝑛 chamada raiz principal. Aprendemos como estender as regras das potências para trabalhar com raízes índice 𝑛. E aprendemos como determinar a 𝑛-ésima potência das raízes índice 𝑛 e vice -versa quando 𝑛 é ímpar. Vimos que existem três cenários separados que devemos considerar se 𝑛 for par. E vimos que devemos ter muito cuidado ao resolver equações da forma 𝑦 elevado a 𝑛 igual a 𝑥.

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