Lesson Video: Tangentes a uma Circunferência

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Neste vídeo, aprenderemos como utilizar as propriedades das tangentes a circunferências para determinar os ângulos ou comprimentos de lados em falta. Isso faz parte de um assunto mais amplo, com propriedades de circunferências, que se concentram em propriedades dos ângulos formados dentro das circunferências por cordas, tangentes e raios. Nesta aula, focaremos especificamente as propriedades dos ângulos e comprimentos feitos pelas tangentes traçadas em pontos exteriores ao perímetro de uma circunferência. No entanto, deve estar familiarizado com as propriedades gerais dos ângulos, como a soma dos ângulos numa linha reta e a soma dos ângulos num triângulo.

Lembre-se, antes de mais, que uma tangente à circunferência é uma reta que interseta a circunferência num único ponto. Esta não passa dentro do círculo, mas interseta a circunferência apenas num ponto do seu perímetro.

A primeira propriedade chave que consideraremos é a seguinte: uma tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de interseção. O que isto significa é que, se desenharmos o raio da circunferência a partir do ponto da circunferência em que a tangente interseta a circunferência, o ângulo entre a tangente e o raio será um ângulo reto. Agora, é claro, também é verdade que a tangente será perpendicular ao diâmetro da circunferência nesse ponto, pois este é apenas uma continuação do raio. Mas é o raio que costumamos utilizar ao citar este resultado. Agora, a demonstração disto requer algumas das outras propriedades da circunferência, incluindo um resultado que envolve tangentes e cordas. Então, não vamos entrar aqui. No entanto, veremos uma demonstração de outra propriedade chave posteriormente neste vídeo. Então, ainda teremos uma amostra de como demonstrar esses resultados.

Vamos agora considerar alguns exemplos utilizando esta primeira propriedade.

Dado que o segmento de reta 𝐴𝐵 é tangente à circunferência 𝑀, e a medida do ângulo 𝑀𝐵𝐹 é de 123 graus, determine a medida do ângulo 𝐴𝑀𝐵.

O ângulo 𝐴𝑀𝐵 é o ângulo formado quando passamos de 𝐴 a 𝑀 a 𝐵. Então, é o ângulo marcado a laranja na figura. O ângulo 𝑀𝐵𝐹 é o ângulo feito quando percorremos de 𝑀 a 𝐵 a 𝐹. Portanto, agora é o ângulo marcado a rosa e a sua medida é de 123 graus. Podemos ver que o ângulo que estamos procuramos determinar — o ângulo 𝐴𝑀𝐵 — está contido num triângulo. Se conseguirmos calcular os outros dois ângulos neste triângulo, podemos utilizar o facto de que a soma dos ângulos em qualquer triângulo é de 180 graus para determinar o ângulo que estamos à procura.

Primeiro, vamos considerar o ângulo 𝑀𝐵𝐴. Um dos factos de ângulos mais básicos é que os ângulos numa reta somam 180 graus. E este ângulo está em linha reta com o ângulo que já marcámos como 123 graus. Então, podemos dizer que o ângulo 𝑀𝐵𝐹 mais ângulo 𝑀𝐵𝐴 é igual a 180 graus. Como afirmado, já sabemos a medida do ângulo 𝑀𝐵𝐹. Portanto, podemos substituir este valor. E agora temos uma equação que podemos resolver para determinar a medida do ângulo 𝑀𝐵𝐴. Precisamos de subtrair 123 a cada membro desta equação. Fazendo isso, descobrimos que o ângulo 𝑀𝐵𝐴 é de 57 graus.

Assim, determinámos um dos ângulos no triângulo 𝑀𝐵𝐴. Podemos determinar outro? E o ângulo 𝑀𝐴𝐵? Bem, este é o ângulo formado por onde uma tangente à circunferência — que é a reta 𝐴𝐵 — se encontra com o raio da circunferência 𝐴𝑀. E sabemos que uma tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de interseção. Então, sabemos que o ângulo 𝑀𝐴𝐵 é de 90 graus. É um ângulo reto. Encontrámos, portanto, dois dos ângulos do triângulo 𝐴𝐵𝑀. E utilizando a soma dos ângulos num triângulo, podemos determinar o terceiro.

Temos o ângulo da equação 𝐴𝑀𝐵 mais 90 graus mais 57 graus igual a 180 graus. 90 mais 57 é 147. E subtrair 147 graus a cada membro da equação resulta num ângulo 𝐴𝑀𝐵 igual a 33 graus. Portanto, utilizando dois factos básicos de ângulos, bem como o resultado principal de que uma tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de interseção, descobrimos que a medida do ângulo 𝐴𝑀𝐵 é de 33 graus.

Vamos agora considerar uma segunda aplicação deste importante resultado.

Dado que o segmento de reta 𝐴𝐵 é tangente à circunferência 𝑀 em 𝐴, 𝐴𝑀 é igual a 8.6 centímetros e 𝑀𝐵 é igual a 12.3 centímetros, determine o comprimento do segmento de reta 𝐴𝐵 e arredonde o resultado às décimas.

Vamos começar por adicionar as informações fornecidas pela questão no diagrama. 𝐴𝑀 tem 8.6 centímetros. É este comprimento aqui. 𝑀𝐵 é de 12.3 centímetros. É este comprimento aqui. E o comprimento que procuramos encontrar é o comprimento do segmento de reta 𝐴𝐵. Agora, percebemos que temos um triângulo, o triângulo 𝐴𝑀𝐵, no qual sabemos o comprimento de dois dos lados. O seu primeiro pensamento então pode ser de que poderíamos aplicar o teorema de Pitágoras. Mas lembre-se, o teorema de Pitágoras é válido apenas em triângulos retângulos. Portanto, precisamos de considerar se o triângulo 𝐴𝑀𝐵 é um triângulo retângulo.

A outra informação importante dada na questão é que o segmento de reta 𝐴𝐵 é tangente à circunferência 𝑀 em 𝐴. Uma propriedade chave sobre tangentes a circunferências é que uma tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de interseção. Portanto, o segmento de reta 𝐴𝐵 é perpendicular ao raio 𝐴𝑀. E, portanto, temos um ângulo reto em 𝐴 no nosso triângulo 𝐴𝑀𝐵. Na verdade, temos um triângulo retângulo. E assim, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento do terceiro lado.

O teorema de Pitágoras diz-nos que, num triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos dois catetos que podemos considerar como 𝑎 e 𝑏 é igual ao quadrado do lado mais comprido do triângulo, que podemos considerar como 𝑐. Lembre-se de que o lado mais comprido ou a hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto. Então, neste caso, esse é o lado 𝑀𝐵. Substituindo 𝐴𝐵 e 8.6 para os dois lados mais curtos do triângulo e 12.3 para o lado mais comprido ou para a hipotenusa, temos a equação 𝐴𝐵 ao quadrado mais 8.6 ao quadrado igual a 12.3 ao quadrado. Podemos calcular 8.6 ao quadrado e 12.3 ao quadrado e subtrair 73.96 — ou seja, 8.6 ao quadrado — a cada membro, dando 𝐴𝐵 ao quadrado igual a 77.33.

Resolvemos esta equação aplicando a raiz quadrado. E só vamos considerar o valor positivo aqui, já que 𝐴𝐵 tem um significado físico como o comprimento de um lado neste triângulo. Calculando esta raiz quadrada numa calculadora, descobrimos que 𝐴𝐵 é igual a 8.79374. Lembre-se, no entanto, de que fomos solicitados arredondar o resultado às décimas. Portanto, como temos nove na coluna das centenas, aproximamos por excesso, dando 𝐴𝐵 igual a 8.8 centímetros.

Portanto, neste problema, aplicando a propriedade chave de que uma tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de interseção, conseguimos deduzir que o triângulo 𝑀𝐴𝐵 era um triângulo retângulo. E, portanto, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento do seu terceiro lado. Descobrimos que o comprimento de 𝐴𝐵, arredondado às décimas, é de 8.8 centímetros.

Vamos agora ver um exemplo final de como podemos aplicar esta primeira propriedade.

Dado que o segmento de reta 𝐴𝐵 é tangente ao círculo 𝑀 e a medida do ângulo 𝐴𝐵𝑀 é 49 graus, determine a medida do ângulo 𝐴𝐷𝐵.

O ângulo 𝐴𝐷𝐵 é o ângulo formado quando passamos de 𝐴 a 𝐷 a 𝐵. Então, é o ângulo marcado a laranja no diagrama. O ângulo 𝐴𝐵𝑀 é o ângulo formado quando passamos de 𝐴 a 𝐵 a 𝑀. É o ângulo agora marcado a rosa no diagrama com a sua medida de 49 graus. A partir das informações fornecidas, não podemos calcular o ângulo 𝐴𝐷𝐵 diretamente. Vamos precisar primeiro de determinar as medidas de outros ângulos na figura. A outra informação importante dada na questão, porém, é que a reta 𝐴𝐵 é uma tangente à circunferência 𝑀. E a propriedade chave sobre tangentes a circunferências é que uma tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de interseção.

O ponto em que a tangente interseta a circunferência é o ponto 𝐴. E o raio aqui é o segmento de reta 𝐴𝑀. Então, sabemos que o ângulo 𝐵𝐴𝑀 é de 90 graus. Então, agora sabemos mais um ângulo dentro da figura. Ainda não conseguimos calcular o ângulo 𝐴𝐷𝐵 diretamente. Então, vamos ver que outros ângulos podemos resolver. Temos um triângulo. Na verdade, é um triângulo retângulo, o triângulo 𝐴𝑀𝐵. E conhecemos dois dos seus ângulos, o ângulo reto e o ângulo de 49 graus. Portanto, utilizando o facto de que os ângulos de um triângulo somam 180 graus, podemos calcular o terceiro ângulo deste triângulo.

Temos este ângulo 𝐴𝑀𝐵 mais 90 graus mais 49 graus igual a 180 graus. 90 mais 49 é 139. Subtraindo isto de 180, descobrimos que o ângulo 𝐴𝑀𝐵 é de 41 graus. Então, agora conhecemos outro ângulo no nosso diagrama. Ainda não temos informações suficientes para calcular o ângulo 𝐴𝐷𝐵. Mas agora podemos calcular um ângulo diferente, o ângulo 𝐴𝑀𝐷. Sabemos que os ângulos em linha reta somam 180 graus. Portanto, o ângulo 𝐴𝑀𝐷 mais o ângulo que acabámos de calcular de 41 graus deve ser igual a 180 graus. O ângulo 𝐴𝑀𝐷 é, portanto, igual a 180 graus menos 41 graus. É de 139 graus.

Agora, determinámos quase todos os ângulos da figura, mas ainda não é o que estávamos à procura. O passo final é considerar o triângulo 𝐴𝑀𝐷, no qual conhecemos um ângulo de 139 graus. Precisamos de notar que ambos 𝑀𝐷 e 𝑀𝐴 são raios da circunferência 𝑀. E, portanto, têm o mesmo comprimento. Isso significa que o triângulo 𝑀𝐷𝐴 é um triângulo isósceles. E isso também significa que o ângulo 𝑀𝐷𝐴 será igual ao ângulo 𝑀𝐴𝐷. Podemos, portanto, determinar a medida de cada ângulo subtraindo o terceiro ângulo, 139 graus, da soma total dos ângulos num triângulo, 180 graus, e reduzindo a metade o restante. Se o fizermos, cada um destes ângulos será de 20.5 graus. Agora, o ângulo 𝑀𝐷𝐴 é de facto o mesmo ângulo que o ângulo 𝐴𝐷𝐵. Ambos se referem a este ângulo aqui. E assim, concluímos o problema.

Utilizando alguns dos factos mais básicos sobre ângulos em triângulos e ângulos em retas e, em seguida, a propriedade chave de que uma tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de interseção, descobrimos que a medida do ângulo 𝐴𝐷𝐵 é de 20.5 graus.

Então, vimos agora três aplicações da primeira propriedade chave sobre tangentes a circunferências. Vamos agora apresentar a segunda propriedade. É esta: as tangentes desenhadas numa circunferência a partir do mesmo ponto externo são iguais em comprimento.

No nosso diagrama, as duas tangentes foram desenhadas a partir do ponto externo 𝐴. Portanto, o comprimento do segmento de reta 𝐴𝐵 será igual a 𝐴𝐶. Agora, podemos provar esta propriedade utilizando triângulos congruentes e a primeira propriedade. Vamos adicionar algumas retas ao nosso diagrama, primeiro os raios 𝑀𝐵 e 𝑀𝐶 e, em segundo lugar, uma reta que liga o nosso ponto externo 𝐴 ao centro da circunferência 𝑀. Agora, vamos considerar os dois triângulos 𝐴𝐵𝑀 e 𝐴𝐶𝑀.

Sabemos desde a primeira propriedade que ambas as tangentes serão perpendiculares ao raio no ponto de interseção. Então, sabemos que o ângulo 𝐴𝐵𝑀 e o ângulo 𝐴𝐶𝑀 são de 90 graus. Mas, em particular, são iguais um ao outro. Também sabemos que os segmentos de reta 𝐵𝑀 e 𝐶𝑀 são cada um dos raios da circunferência. E assim, terão o mesmo comprimento. E a reta 𝐴𝑀 é um lado partilhado destes dois triângulos. De facto, é a hipotenusa dos dois triângulos. Mostrámos então que estes dois triângulos têm um ângulo reto, partilham uma hipotenusa comum e que um dos dois lados mais curtos do triângulo também tem o mesmo comprimento. Portanto, os dois triângulos são congruentes por LAL. Esta é a condição de congruência lado, ângulo, lado. Se os dois triângulos são congruentes, os comprimentos dos terceiros lados — que são 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 — devem ser os mesmos. E assim, mostrámos que 𝐴𝐵 é realmente igual a 𝐴𝐶 e, assim, provámos esta propriedade.

Vamos analisar uma aplicação desta.

Determine o valor de 𝑥.

No diagrama, podemos ver que temos uma circunferência e, em seguida, duas retas 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶, cada uma das quais é tangente à circunferência. As duas tangentes foram desenhadas a partir do mesmo ponto externo, o ponto 𝐴. Uma das principais propriedades das tangentes a circunferências é que as tangentes desenhadas no mesmo ponto exterior são iguais em comprimento. Portanto, sabemos que o segmento de reta 𝐴𝐵 é igual em comprimento ao segmento de reta 𝐴𝐶. Foi-nos dado o comprimento de 𝐴𝐵. Tem 21 centímetros. E foi-nos dada uma expressão do comprimento de 𝐴𝐶. É dois 𝑥 mais cinco centímetros. Assim, igualando-os, podemos formar uma equação, dois 𝑥 mais cinco igual a 21.

Agora podemos resolver esta equação para determinar o valor de 𝑥. Primeiro, subtraímos cinco a cada membro, dando dois 𝑥 igual a 16, e depois dividimos por dois, dando 𝑥 igual a oito. Utilizando a propriedade chave, as tangentes desenhadas no mesmo ponto externo são iguais em comprimento, determinámos o valor de 𝑥. 𝑥 é igual a oito.

Este exemplo envolve a resolução de uma equação linear simples. Porém, exemplos mais complicados deste tipo podem envolver o estabelecimento e a resolução de sistemas de equações. A álgebra talvez seja mais complicada, mas os princípios envolvidos serão os mesmos.

Vamos agora rever o que vimos nesta aula. Introduzimos duas propriedades principais das tangentes a circunferências. Primeiro, uma tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de interseção. E, por extensão, também é perpendicular ao diâmetro da circunferência nesse ponto. Em segundo lugar, vimos e provámos que as tangentes desenhadas numa circunferência a partir do mesmo ponto exterior são iguais em comprimento. Neste diagrama, isso significa que 𝐴𝐵 é igual a 𝐴𝐶. Também vimos que podemos utilizar estas propriedades em parceria com outras regras de ângulos e o teorema de Pitágoras para determinar ângulos ausentes e comprimentos de lados em problemas que envolvem tangentes a circunferências.