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Neste vídeo, aprenderemos como calcular o torque num objeto, dado o seu momento de inércia e a sua aceleração angular. Antes de aplicarmos a segunda lei do movimento de Newton à rotação, vamos primeiro lembrar qual é a segunda lei do movimento de Newton.
A equação que representa a segunda lei do movimento de Newton é que a força resultante, 𝐹 res, é igual à massa de um objeto, 𝑚, vezes a aceleração do objeto 𝑎. Quando estudamos o movimento rotacional, utilizamos o análogo rotacional desta equação. O torque resultante num objeto, 𝜏, é igual ao momento de inércia, 𝐼, vezes a aceleração angular, 𝛼.
Vamos comparar as nossas duas equações para nos ajudar a entender a versão rotacional um pouco melhor. A força resultante é a soma de todas as forças individuais que atuam no objeto. No movimento rotacional, utilizamos o torque resultante, que é a soma de todos os torques individuais que atuam num objeto. Vamos refrescar a nossa memória das convenções comuns para atribuir valores positivos e negativos em determinadas direções. Com forças lineares, geralmente atribuímos à direita como positivo e à esquerda como negativo. Com a rotação, geralmente atribuímos um torque no sentido anti-horário como positivo e um torque no sentido horário como negativo.
O análogo rotacional da massa é o momento de inércia, que é essencialmente a distribuição da massa ao longo de um objeto. Quando olhamos para a aceleração no movimento rotacional, olhamos para a aceleração angular. Agora que estamos familiarizados com a segunda lei do movimento de rotação de Newton, vamos adicionar alguns valores ao nosso diagrama para praticar o uso da equação.
Se aplicarmos um torque resultante de seis newton metros a um objeto que tenha um momento de inércia de três quilogramas metros quadrados, qual seria a aceleração angular do objeto?
Começamos por reorganizar a nossa fórmula para resolver 𝛼. Para isolar 𝛼, precisamos de dividir os dois membros pelo momento de inércia, anulando assim 𝐼 no segundo membro da equação. A nossa aceleração angular é igual ao torque resultante aplicado no objeto dividido pelo momento de inércia do objeto. Utilizamos menos seis newton metros para o torque, pois escolhemos seis newton metros como a intensidade do nosso torque e, no nosso diagrama, desenhámos o nosso torque em sentido horário, o que implica que deve ser negativo.
Para o momento de inércia, escolhemos um valor de três quilogramas metros quadrados. Quando dividimos os nossos dois valores, obtemos uma aceleração angular de menos dois rads por segundo ao quadrado. Vamos agora dar uma olhadela nesta equação do ponto de vista gráfico. Se representarmos um gráfico de aceleração angular de um objeto em relação ao torque aplicado ao objeto, como seria esse gráfico? Seria algo assim: uma linha diagonal a representar a relação linear direta entre o torque aplicado num objeto e a aceleração angular do objeto.
O que é que o declive ou o gradiente deste gráfico representa? O declive ou o gradiente de um gráfico é igual à variação do valor em 𝑦 dividido pela variação no valor 𝑥. Olhando para como rotulámos os nossos eixos, podemos ver que o eixo O𝑦 é a aceleração angular 𝛼 e o eixo O𝑥 é o torque ou 𝜏. Voltando à fórmula na parte superior do ecrã, precisamos de reorganizar as nossas variáveis, para termos uma expressão para 𝛼 dividido por 𝜏. Para fazer isso, multiplicamos os dois membros da equação por um sobre 𝐼 e um sobre 𝜏, anulando 𝜏 no primeiro membro da equação e anulando 𝐼 no segundo membro da equação, deixando-nos com a expressão 𝛼 sobre 𝜏 é igual a um sobre 𝐼, o que significa que o declive do nosso gráfico é um sobre o momento de inércia.
Vamos comparar algumas pistas diferentes e ver o que isto nos diz sobre o nosso momento de inércia. Adicionámos mais duas linhas, uma linha amarela, que tem uma inclinação mais íngreme que a da nossa linha rosa original, e uma linha azul, que tem uma inclinação mais rasa do que da nossa linha rosa original. Qual das duas novas linhas, amarela ou azul, tem um momento de inércia maior? Para descobrir isso, vamos voltar à relação que descobrimos entre o declive e o momento de inércia. O momento de inércia é inversamente proporcional ao declive do nosso gráfico. Isso significa que, à medida que a inclinação fica mais íngreme, o momento de inércia diminui.
Portanto, se o gráfico com a inclinação mais íngreme tiver o menor momento de inércia, o gráfico com a inclinação mais rasa terá o maior momento de inércia. Neste caso, esta seria a nossa linha azul, fazendo com que a linha amarela com a inclinação mais íngreme tenha o menor momento de inércia.
Vamos aplicar a segunda lei do movimento de Newton para rotações a alguns problemas de exemplo.
Uma esfera de metal que gira tem um momento de inércia de 1.7 quilogramas metros quadrados. Possui uma aceleração angular constante de 2,.0 radianos por segundo quadrado. Qual é a intensidade do torque no objeto?
Desenhámos um diagrama da nossa esfera metálica giratória com as informações fornecidas pelo nosso problema, incluindo a aceleração angular e momento de inércia. Para resolver o torque, precisamos de determinar uma relação entre estas três variáveis. Devemos lembrar a segunda lei do movimento de rotação de Newton, que é o torque resultante que atua sobre um objeto, 𝜏 res, é igual ao momento de inércia do objeto, 𝐼, vezes a aceleração angular do objeto, 𝛼.
No nosso problema, deram-nos o momento de inércia e a aceleração angular e pedem-nos para determinar o torque. Portanto, não precisamos de reorganizar a nossa fórmula para resolver a nossa variável desconhecida. Substituindo os nossos valores, vemos que nos deram 1.7 quilogramas metros quadrados para o nosso 𝐼 e deram-nos 2.0 radianos por segundo quadrado para o nosso 𝛼. Multiplicando estes dois valores, obtemos um torque de 3.4 newtons vezes metros. A intensidade do torque no objeto é de 3.4 newton metros.
A roda de uma carruagem de um comboio tem um momento de inércia de 28 quilogramas metros quadrados. À medida que o comboio aumenta em velocidade ao sair da estação, a aceleração angular da roda é de 1.5 radianos por segundo quadrado. Qual é a intensidade do torque aplicado na roda?
Desenhar um diagrama pode ajudar-nos a visualizar a situação. No nosso diagrama, escolhemos uma das rodas da nossa carruagem e as rotulamos com as informações do problema. O momento de inércia, 𝐼, é dado como 28 quilogramas metros quadrados. A aceleração angular da roda é dada como 1.5 radianos por segundo quadrado. E estamos a tentar resolver o torque aplicado ao volante.
Precisamos de uma equação que relacione estas três variáveis. Precisamos de recordar que a segunda lei do movimento de Newton aplicada ao movimento rotacional é o torque resultante, 𝜏 res, é igual ao momento de inércia do objeto, 𝐼, multiplicado pela aceleração angular do objeto 𝛼. Olhando para o nosso problema, deram-nos 𝐼, 𝛼 e resolveremos em ordem a 𝜏. Portanto, não precisamos de reorganizar a nossa fórmula para resolver a nossa variável desconhecida.
Substituindo os nossos valores, temos 28 quilogramas metros quadrados para 𝐼 e 1.5 radianos por segundo quadrado para 𝛼. Quando multiplicamos estes dois números, obtemos um 𝜏 de 42 newton metros. A intensidade do torque aplicado à roda da carruagem é de 42 newton metros.
Numa unidade de disco rígido, um torque constante de 14.0 newton metros é aplicado ao disco magnético quando a unidade começa a gravar dados. O disco magnético tem um momento de inércia de 1.12 quilogramas metros quadrados. Qual é o valor da aceleração angular do disco?
Podemos desenhar um diagrama que representa o disco a girar com as informações dadas no problema. No nosso diagrama, rotulamos a intensidade do torque aplicado em 14,0 newton metros, o momento de inércia do disco em 1.12 quilogramas metros quadrados e estamos a resolver a nossa aceleração angular 𝛼.
Para resolver o problema em questão, precisávamos de uma equação que relacionasse estas três variáveis. A segunda lei do movimento de Newton, quando aplicada ao movimento rotacional, é o torque resultante, 𝜏 res, é igual ao momento de inércia do objeto, 𝐼, vezes a aceleração angular do objeto, 𝛼. O problema pede que resolvamos a aceleração angular. No entanto, a nossa equação agora está escrita de forma a resolver o torque. Portanto, devemos reorganizar a nossa fórmula para resolver 𝛼.
Para isolar 𝛼, devemos dividir os dois membros da equação por 𝐼, anulando 𝐼 no segundo membro da equação, deixando-nos com o torque dividido pelo momento de inércia igual à aceleração angular. Substituindo os nossos valores, temos 14.0 newton metros para o nosso torque e 1.12 quilogramas metros quadrados para o nosso momento de inércia. Quando dividimos estes dois números, obtemos uma aceleração angular de 12.5 radianos por segundo quadrado. O valor da aceleração angular do disco é de 12.5 radianos por segundo quadrado.
Pontos-chave
Utilize 𝜏 igual a 𝐼𝛼 para determinar o torque num objeto, dado o seu momento de inércia e a sua aceleração angular. O declive do gráfico aceleração angular-torque é um sobre 𝐼.
