Vídeo: Encontrando o Comprimento de um Arco de Circunferência Dados seu Raio e uma Corda Subentendida Utilzando a Lei dos Cossenos

A circunferência 𝑀 tem um raio de 12 cm onde o comprimento de 𝐶𝐵 é de 16 cm. Encontre o comprimento do arco 𝐶𝐵 dando a resposta aproximada a duas casas decimais.

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A circunferência 𝑀 tem o raio de 12 centímetros, onde o comprimento de 𝐶𝐵 é de 16 centímetros. Encontre o comprimento do arco 𝐶𝐵 dando a resposta aproximada a duas casas decimais.

Primeiro, vamos colocar todas as informações que recebemos no diagrama. Nos disseram que a circunferência tem um raio de 12 centímetros. Então os segmentos de reta 𝑀𝐶 e 𝑀𝐵 tem 12 cm cada um. Também nos é dito que o comprimento do segmento de reta 𝐶𝐵 é de 16 centímetros. O que pretendemos calcular nesta questão é o comprimento do arco 𝐶𝐵, a parte que marquei em rosa.

Então, para fazer isso, precisamos saber o tamanho do ângulo central, o ângulo que foi marcado como 𝜃 no diagrama. Agora não recebemos o ângulo 𝜃, por isso precisamos calculá-lo a partir das outras informações da pergunta. O que você percebe é que o 𝜃 está dentro do triângulo 𝑀𝐵𝐶 e sabemos o comprimento de todos os três lados. São 12 centímetros, 12 centímetros e 16 centímetros.

Se nós sabemos o comprimento de todos os três lados de um triângulo, então podemos calcular o tamanho de qualquer um dos seus ângulos usando a lei dos cossenos. Então a lei dos cossenos para um ângulo, usando as letras nesta questão, nos diz que cos de 𝜃 é igual a 𝐵𝑀 ao quadrado mais 𝐶𝑀 ao quadrado menos 𝐵𝐶 ao quadrado sobre dois multiplicado por 𝐵𝑀 multiplicado por 𝐶𝑀. Então, vamos substituir os valores de cada um desses comprimentos. Isto nos diz que cos de 𝜃 é igual a 12 ao quadrado mais 12 ao quadrado menos 16 ao quadrado sobre dois multiplicado por 12 multiplicado por 12. Calculando cada um deles nos diz que cos de 𝜃 é igual a 32 sobre 288.

Agora, para encontrar o valor de 𝜃, precisamos usar a função cosseno inversa. 𝜃 é igual ao cosseno inverso de 32 sobre 288. Ao calcular isso na minha calculadora, é-me dito que 𝜃 é igual a 83.62062 ponto ponto ponto. Agora, vou manter esse valor na tela da minha calculadora, pois preciso usá-lo no próximo estágio do meu cálculo, e não quero tornar minha resposta imprecisa apresentando erros de arredondamento.

Então, o próximo estágio dessa questão é que precisamos calcular o comprimento desse arco 𝐶𝐵. Assim, o comprimento do arco pode ser encontrado, encontrando o comprimento da circunferência completa dois 𝜋𝑟 e depois multiplicá-lo pela porção da circunferência que temos. Isso é 𝜃 sobre 360. Por isso, manter esse valor na tela da minha calculadora foi muito útil, porque agora posso usá-lo exatamente nesse estágio do cálculo. Eu tenho 83.62062 dividido por 360, e depois multiplicado por duas vezes 𝜋 vezes o raio da circunferência que é 12.

Então, se eu calcular tudo isso na minha calculadora, tenho um valor de 17.513463. E se eu retornar à pergunta, ele me pede para dar minha resposta aproximada a duas casas decimais. Assim, arredondando minha resposta e incluindo as unidades para o comprimento de arco, que neste caso são centímetros, diz-me que o comprimento do arco 𝐶𝐵 é de 17.51 centímetros.

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