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Neste vídeo, aprenderemos como encontrar um termo geral ou uma fórmula recursiva para uma sequência e como usá-los para calcular os termos na sequência. Também aprenderemos o que é uma sequência alternada e o que são sequências crescentes ou decrescentes.
Vamos começar com um exemplo de sequência. Uma sequência como essa - dois, quatro, seis, oito e assim por diante - pode ser descrita em termos de um índice de posição. Por exemplo, o termo com índice um é dois, o termo com índice dois é quatro e o termo com índice três é seis e assim por diante. O termo com índice um também pode ser escrito como 𝑎 sub um. E podemos ler isso como o primeiro termo. O segundo termo pode ser referido como 𝑎 sub dois e o terceiro termo como 𝑎 sub três e assim por diante.
Quando se trata de escrever as propriedades de sequências, estamos realmente tentando tornar a vida um pouco mais fácil. Por exemplo, se precisássemos encontrar o 290º termo, não desejaríamos listar todos os termos até o 290º termo. O que queremos é uma relação entre o índice e o valor do termo que nos permitirá escrever muito rapidamente o termo para qualquer índice.
A abreviação para qualquer termo geral é a letra 𝑛. Para uma sequência, queremos encontrar o 𝑛-ésimo termo dado um índice 𝑛. Você já deve ter trabalhado a relação nesta sequência entre o índice e o termo. Cada índice é multiplicado por dois para nos dar o termo. Portanto, para um termo com índice 𝑛, o 𝑛-ésimo termo é dois 𝑛. Portanto, o termo que tem o índice de 290 seria de fato 580. E assim, para a sequência dois, quatro, seis, oito e assim por diante, o 𝑛-ésimo termo, 𝑎 sub 𝑛, é igual a dois 𝑛.
Quando estamos trabalhando com sequências, também podemos receber o 𝑛-ésimo termo e ser solicitados a calcular os primeiros termos de uma sequência. No primeiro exemplo, veremos como podemos fazer isso. Vamos dar uma olhada.
Encontre os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é dado por 𝑎 sub 𝑛 igual a 𝑛 vezes 𝑛 menos 34, onde 𝑛 é maior ou igual a um.
Nesta questão, recebemos o termo geral ou o 𝑛-ésimo termo de uma sequência para um índice 𝑛. Para encontrar qualquer termo na sequência, substituiríamos esse valor por 𝑛 no termo geral. Por exemplo, se quiséssemos encontrar o 20º termo, substituiríamos 𝑛 igual a 20 no 𝑛-ésimo termo. No entanto, nesta questão, precisamos encontrar os primeiros cinco termos. Somos informados de que o índice 𝑛 é maior ou igual a um. Então isso significa que vamos começar substituindo 𝑛 é igual a um, então 𝑛 é igual a dois, três, quatro e cinco no 𝑛-ésimo termo para encontrar os primeiros cinco termos.
Vamos começar encontrando 𝑎 sub um, o primeiro termo, que ocorre quando 𝑛 é igual a um. Isso significa que teríamos o primeiro termo 𝑎 sub um igual a um vezes um menos 34. Um menos 34 é menos 33. E quando multiplicamos isso por um, obtemos menos 33. E assim o primeiro termo é menos 33. Agora podemos substituir 𝑛 igual a dois no 𝑛-ésimo termo. Desta vez, teremos o segundo termo, 𝑎 sub dois, é igual a duas vezes dois menos 34. Simplificando isso, temos dois multiplicado por menos 32, o que nos dá o segundo termo como menos 64.
Para o terceiro termo, seguiremos o mesmo processo, só que desta vez substituindo 𝑛 igual a três. Isso nos dá que o terceiro termo é igual a três vezes três menos 34, que é menos 93. Quando 𝑛 é igual a quatro, o quarto termo é menos 120. Finalmente, quando 𝑛 é igual a cinco, o quinto termo é igual a menos 145. E assim podemos dar a resposta para os primeiros cinco termos da sequência. E descobrimos isso substituindo os cinco valores diferentes na fórmula do 𝑛-ésimo termo.
Vamos agora dar uma olhada em como encontramos uma fórmula recursiva para uma sequência. Vamos dar uma olhada neste exemplo de sequência: um, quatro, sete, 10 e assim por diante. Podemos comparar os valores do índice 𝑛 maior ou igual a um aos valores de três 𝑛. Esses valores de três 𝑛 não nos dão os mesmos valores que temos na sequência. Mas se subtrairmos dois de cada um dos valores de três 𝑛, obteremos os termos da sequência. De fato, poderíamos escrever que o 𝑛-ésimo termo dessa sequência é três 𝑛 menos dois. No entanto, também há outra maneira de descrever essa sequência.
Podemos ter notado que o padrão entre os termos é adicionar três. Por exemplo, se quiséssemos encontrar o quinto termo, pegaríamos o quarto termo e adicionaríamos três. Então, se quiséssemos encontrar qualquer 𝑛-ésimo termo, pegaríamos o termo anterior e adicionaríamos três. Usando a mesma forma de notação, o termo antes do 𝑛-ésimo termo - que é o termo com índice 𝑛 - seria o termo com índice 𝑛 menos um. E assim, uma maneira diferente de descrever essa sequência seria dizer que o 𝑛-ésimo termo 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑎 sub 𝑛 menos um mais três.
Quando recebemos uma fórmula para uma sequência dessa maneira, também precisamos dizer qual é o primeiro termo. Podemos escrevê-la como uma lista como essa, então temos 𝑎 sub um é igual a um, e então temos o 𝑛-ésimo termo. Observe que também demos os valores do índice, pois 𝑛 é maior ou igual a dois. Nesse caso, o índice deve começar com dois. Não pode começar com um, pois recebemos o primeiro termo. E se substituíssemos um nesta parte, estaríamos tentando encontrar o termo com índice zero. Uma regra escrita dessa maneira é chamada de fórmula recursiva para uma sequência.
Uma fórmula recursiva é uma fórmula na qual os termos de uma sequência são definidos usando um ou mais dos termos anteriores. Nesse caso, nosso termo com índice 𝑛 é definido pelo termo anterior. Antes de terminarmos com as fórmulas recursivas, há apenas um outro ponto a ser observado. Nesse caso, escrevemos a fórmula para 𝑎 sub 𝑛. Mas também poderia ter sido dado como uma fórmula para encontrar o termo com índice 𝑛 mais um. Observe, no entanto, que ainda temos essa relação de que é o termo anterior mais três. O primeiro termo ainda será o mesmo nas duas vezes. Mas observe que o índice é diferente. Como nos é dada a fórmula 𝑎 sub 𝑛 mais um, podemos começar com um primeiro valor de 𝑛 como um para encontrar o termo com índice dois.
Vamos agora ver um exemplo de como podemos encontrar um termo específico em uma sequência quando nos é dada uma fórmula recursiva.
Se 𝑎 sub 𝑛 é uma sequência definida como 𝑎 sub um é igual a 11 e 𝑎 sub 𝑛 mais um é igual a 𝑎 sub 𝑛 menos três, onde 𝑛 é maior ou igual a um, então o quarto termo é igual a quê.
Temos quatro opções de resposta: dois, quatro, cinco ou oito. Nesta pergunta, recebemos uma fórmula para uma sequência. Esse tipo de fórmula é chamado de fórmula recursiva. E é quando os termos de uma sequência são definidos usando um ou mais termos anteriores. Se quiséssemos descrever esse termo em palavras, diríamos que, para qualquer termo com índice 𝑛 mais um, pegamos o termo anterior - aquele com índice 𝑛 - e subtraímos três. E assim, se quisermos encontrar o quarto termo - esse é o termo com índice quatro - isso significa que 𝑛 mais um deve ser igual a quatro e, portanto, 𝑛 deve ser três. E assim o quarto termo deve ser igual ao terceiro termo menos três. Mas como encontramos o terceiro termo?
Bem, o terceiro termo - esse é o termo com índice três - deve acontecer quando 𝑛 mais um é três. E então 𝑛 deve ser igual a dois. Portanto, o terceiro termo é igual ao segundo termo menos três. Claro, não sabemos o segundo termo também. Mas você adivinhou! Vai ser o primeiro termo menos três. E essa também é uma das desvantagens das fórmulas recursivas, porque precisamos calcular todos os termos até o termo que precisamos.
Ficamos um pouco aliviados aqui, porque na verdade recebemos o primeiro termo. 𝑎 sub um é igual a 11. Então, agora podemos trabalhar para a frente na sequência. Se 𝑎 sub um é igual a 11 e 𝑎 sub dois é igual a 𝑎 sub um menos três, então 𝑎 sub dois, o segundo termo, é igual a 11 menos três. E isso é igual a oito. Como o terceiro termo é igual ao segundo termo menos três, nosso terceiro termo deve ser igual a oito menos três, que é cinco. E, finalmente, o quarto termo é o terceiro termo menos três. E então cinco menos três é igual a dois. Podemos, portanto, dar a resposta que o quarto termo da sequência é aquele dado na opção (A). É o termo dois.
Neste exemplo, os termos da sequência foram de 11, oito, cinco, dois e assim por diante. Esse tipo de sequência seria chamado de sequência decrescente. Agora definiremos mais fórmulas, o que queremos dizer com sequências crescentes, decrescentes ou constantes junto com o termo monotônico.
Diz-se que uma sequência de números reais 𝑎 sub 𝑛 está aumentando se 𝑎 sub 𝑛 mais um for maior que 𝑎 sub 𝑛 para todos os valores de 𝑛 nos números naturais.
A terminologia aqui realmente significa que todo termo na sequência deve ser maior que o termo anterior para que a sequência seja crescente. Por exemplo, se pegarmos a sequência de números quadrados um, quatro, nove, 16 e assim por diante, cada valor nessa sequência será maior do que o termo anterior. Portanto, a sequência de números quadrados é uma sequência crescente. Observe que isso tem que ser verdade para todos os valores de 𝑛. Se tivéssemos outra sequência que fosse um, dois, três, um e assim por diante, isso não estaria aumentando porque, embora tenhamos uma parte crescente da sequência, não é toda crescente.
Podemos definir uma sequência decrescente de maneira semelhante. Desta vez, todos os termos da sequência devem ser menores que o termo anterior. Um exemplo de sequência decrescente pode ser a sequência um, meio, um terço, um quarto e assim por diante. Quando temos uma sequência em que cada termo é igual ao termo anterior, é chamada de sequência constante. Um exemplo desse tipo de sequência pode ser a sequência de todos os dois. Se uma sequência for um desses três tipos, ou seja, crescente, decrescente ou constante, é chamada de sequência monotônica. No próximo exemplo, identificaremos se uma sequência está aumentando, diminuindo ou nenhum dos dois.
A sequência 𝑎 sub 𝑛 é igual a menos um elevado a 𝑛 sobre 11𝑛 menos 22 é crescente, decrescente ou nenhum dos dois?
Quando estamos considerando se uma sequência está crescendo ou decrescendo, estamos comparando qualquer termo com o termo anterior. Se uma sequência está aumentando, então qualquer termo 𝑎 sub 𝑛 deve ser maior que 𝑎 sub 𝑛 menos um. Isso deve ser verdade para todos os valores de 𝑛. Da mesma forma, se uma sequência está decrescendo, qualquer termo de índice 𝑛 em uma sequência deve ser menor que o termo anterior. O que podemos fazer é calcular os primeiros termos da sequência e ver se os valores estão aumentando, diminuindo ou nenhum dos dois.
Então poderíamos pegar o 𝑛-ésimo termo e começaremos substituindo 𝑛 que é igual a um. Então, para o primeiro termo 𝑎 sub um, temos menos um elevado a um sobre 11 vezes um menos 22. Quando simplificamos isso, obtemos a fração menos 243 sobre 11. Agora que encontramos o primeiro termo, podemos encontrar o segundo termo substituindo 𝑛 é igual a dois. Quando simplificamos menos um ao quadrado sobre 11 vezes dois menos 22, obtemos a fração menos 483 sobre 22. Podemos encontrar o terceiro termo da mesma maneira, substituindo 𝑛 é igual a três. Isso significa que temos um terceiro termo, 𝑎 sub três, igual a menos 727 sobre 33.
Neste ponto, temos três termos na sequência, mas é um pouco difícil ver se eles estão aumentando ou diminuindo. Portanto, pode ser útil encontrar seus decimais equivalentes. O primeiro termo é aproximadamente menos 22,09, o segundo termo é aproximadamente menos 21,95 e o terceiro termo é aproximadamente menos 22,03. Percebemos que o segundo termo é maior que o primeiro. No entanto, o terceiro termo é menor que o segundo termo. Isso significa que não podemos dizer que para todos os valores 𝑎 sub 𝑛 é maior que 𝑎 sub 𝑛 menos um ou 𝑎 sub 𝑛 é menor que 𝑎 sub 𝑛 menos um. E isso significa que a sequência não está crescendo ou decrescendo, então não deve ser nenhuma das duas coisas. A resposta é que 𝑎 sub 𝑛 não está crescendo nem decrescendo.
Uma outra terminologia a ser introduzida é a das sequências alternadas. Uma sequência alternada é aquela em que os termos da sequência alternam entre positivos e negativos. Por exemplo, a sequência menos dois, três, menos quatro, cinco, menos seis e assim por diante seria uma sequência alternada. Os valores alternam entre positivos e negativos. Vamos agora ver um exemplo de como podemos encontrar um termo geral de uma sequência alternada.
O termo geral da sequência três, menos seis, nove, menos 12, 15 é 𝑎 sub 𝑛 igual a quê.
E temos quatro opções de resposta. Podemos notar que os termos dessa sequência alternam entre valores positivos e negativos. Esse tipo de sequência é definida como uma sequência alternada. Podemos pegar a sequência e considerar se tivéssemos apenas os valores absolutos da sequência, teríamos os termos três, seis, nove, 12 e 15. Se tomarmos o índice neste caso como 𝑛 é maior ou igual a um, então para qualquer índice 𝑛, o 𝑛-ésimo termo desses valores absolutos seria 𝑎 sub 𝑛 é igual a três 𝑛. Mas como não temos apenas três, seis, nove, 12 e assim por diante - temos três, menos seis, nove, menos 12 e assim por diante - então o 𝑛-ésimo termo dessa sequência não é três 𝑛. Além disso, também podemos dizer que o 𝑛-ésimo termo também não é menos três 𝑛. Nesse caso, a sequência teria os valores menos três, menos seis, menos nove, menos 12 e assim por diante. No entanto, temos uma sequência que se aproxima muito de três 𝑛.
Portanto, uma maneira de encontrar um termo geral de uma sequência que inclui três 𝑛, mas que alterna entre positivo e negativo, é multiplicar três 𝑛 por uma potência de menos um. Percebemos que as opções (A) e (B) apresentam duas alternativas. Vamos dar uma olhada na opção do 𝑛-ésimo termo dado em (A). Para encontrar o primeiro termo, substituiríamos em 𝑛 é igual a um. Menos um elevado a um é menos um e três vezes um é três. Multiplicando isso nos dá o primeiro termo de menos três. No entanto, se olharmos para o primeiro termo na sequência dada, é três e não menos três. Portanto, o 𝑛-ésimo termo na opção (A) está incorreto.
O 𝑛-ésimo termo dado na opção (B) é diferente porque o expoente de menos um é 𝑛 mais um. Quando substituímos em 𝑛 é igual a um para encontrar o primeiro termo, temos menos um elevado a um mais um, que é dois, e menos um ao quadrado nos dá um, que quando multiplicado por três nos dá três. Isso corresponde ao primeiro termo dado. Substituindo em 𝑛 é igual a dois, obtemos que o segundo termo é igual a menos seis. Podemos observar o padrão. Quando temos um índice par, como fizemos aqui quando 𝑛 é igual a dois, o expoente de menos um será ímpar. Menos um com uma potência ímpar nos dará o valor de menos um. O resultado disso é que todo índice par nos dá um valor de termo que é negativo.
Se continuássemos substituindo um índice ímpar de três, obteríamos um valor par de nove. Podemos, portanto, dar a resposta de que é a opção (B). 𝑎 sub 𝑛 é igual a menos um elevado a 𝑛 mais um vezes três 𝑛.
Agora podemos resumir os pontos principais deste vídeo. Em primeiro lugar, vimos que para encontrar os termos de uma sequência dado um termo geral, substituímos os valores de 𝑛 maior ou igual a um na fórmula do termo geral. Definimos fórmulas recursivas e vimos que às vezes podemos precisar aplicar a fórmula várias vezes para encontrar os valores dos termos anteriores. Finalmente, definimos sequências crescentes, decrescentes, constantes e alternadas.
