Vídeo: Derivação de Funções Exponenciais

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar as derivadas de funções exponenciais.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar a derivada de funções exponenciais. Começaremos afirmando a fórmula para a derivada de uma função exponencial na forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥 e 𝑒 elevado a 𝑘𝑥, antes de aplicar essa fórmula a exemplos de maior complexidade. Também veremos como podemos usar as propriedades de exponenciais e logaritmos para encontrar a derivada das funções exponenciais gerais.

Lembre-se, uma função exponencial é uma da forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎𝑏 à potência de 𝑥, onde 𝑎 e 𝑏 são constantes e 𝑏 é maior que zero. Nós vamos primeiro considerar a derivada de uma forma especial disto, a função exponencial 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑒 elevado a 𝑥 e 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑒 elevado a 𝑘𝑥. Agora, um equívoco comum é pensar que podemos aplicar a regra de potência a essas funções exponenciais. Na verdade, a regra de potência só se aplica quando o expoente é fixo e as bases são variáveis.

Nas funções exponenciais, a base é fixa e o expoente é a variável. Portanto, precisaremos usar uma fórmula separada para a derivada de uma função exponencial, embora a derivação dessa fórmula seja alcançável se você souber como derivar o inverso de 𝑒 elevado a 𝑥 ou ln 𝑥. E isso também pode ser alcançado através dos primeiros princípios. Mas está fora das restrições deste vídeo olhar para todos eles. Então, em vez disso, vamos declarar a fórmula da derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 e 𝑒 elevado a 𝑘𝑥.

A derivada de 𝑒 à potência de 𝑥 em relação a 𝑥 é 𝑒 à potência de 𝑥. E essa fórmula pode ser generalizada. E podemos dizer que a derivada de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 em relação a 𝑥 é 𝑘𝑒 elevado a 𝑘𝑥. Agora, a função 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑒 elevado a 𝑥 é incrivelmente incomum. Sua derivada é a mesma que a função original. Geometricamente, isso significa que, para cada valor de 𝑥, a inclinação ou o gradiente da tangente à curva nesse ponto é igual ao valor 𝑦. Por exemplo, quando 𝑥 é igual a dois, 𝑦 é igual a 𝑒 à potência de dois, que é aproximadamente 7.39. Como a derivada de 𝑒 à potência de 𝑥 é 𝑒 à potência de 𝑥, isso significa que o gradiente da tangente à curva nesse ponto também é 7.39. Vamos dar uma olhada em um exemplo da aplicação dessas fórmulas.

Se 𝑓 de 𝑥 é igual a menos cinco 𝑒 elevado a menos nove 𝑥, encontre 𝑓 traço de 𝑥. Encontre a derivada da função.

Lembre-se, a derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 é 𝑒 elevado a 𝑥. E a derivada de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 é 𝑘𝑒 elevado a 𝑘𝑥. Agora, nossa função é um múltiplo de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥. É menos cinco vezes 𝑒 elevado a 𝑘𝑥, onde 𝑘 é igual a menos nove. Agora, sabemos que a regra do fator constante nos permite pegar constantes fora de uma derivada e nos concentrar em derivar a função do próprio 𝑥. Então isso significa que podemos dizer que a derivada da função de 𝑥 é igual a menos cinco vezes a derivada de 𝑒 elevado a menos nove 𝑥. E sabemos que a derivada de 𝑒 elevado a menos nove 𝑥 é menos nove vezes 𝑒 elevado a menos nove 𝑥. E como menos cinco multiplicado por menos nove é 45, podemos dizer que a derivada de nossa função é 45𝑒 elevado a menos nove 𝑥. Vamos considerar outro exemplo.

Encontre d𝑦 por d𝑥 se cinco 𝑦𝑒 elevado a dois 𝑥 for igual a sete 𝑒 elevado a cinco.

Agora, à primeira vista, isso parece um pouco complicado. No entanto, podemos ver claramente que podemos reorganizar a equação para isolar 𝑦. Vamos dividir os dois lados da equação por cinco 𝑒 elevado a dois 𝑥. No lado esquerdo, isso nos deixa simplesmente com 𝑦. E do lado direito, temos sete 𝑒 elevado a cinco sobre cinco 𝑒 elevado a dois 𝑥. Agora, na verdade, um sobre 𝑒 para a potência de dois 𝑥 é igual a 𝑒 para os dois negativos 𝑥. Então podemos reescrever nossa equação. E nós dizemos que 𝑦 é igual a sete 𝑒 elevado a cinco sobre cinco vezes 𝑒 elevado a menos dois 𝑥.

Observe que sete 𝑒 elevado a cinco sobre cinco é apenas uma constante. Assim, podemos derivar isso usando a fórmula geral para a derivada da função exponencial. A derivada de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 em relação a 𝑥 é 𝑘𝑒 elevado a 𝑘𝑥. E claro, lembrando que a regra do fator constante nos permite pegar constantes fora de uma derivada e nos concentrar em derivar a função do próprio 𝑥.

Em outras palavras, d𝑦 por d𝑥 é igual a sete 𝑒 à potência de cinco sobre cinco vezes a derivada de 𝑒 elevado a menos dois 𝑥 em relação a 𝑥. E a derivada de 𝑒 para os dois negativos 𝑥 com respeito a 𝑥 é negativa dois 𝑒 para os negativos dois 𝑥. Isso significa que d𝑦 por d𝑥 é menos duas vezes sete 𝑒 elevado a cinco sobre cinco vezes 𝑒 elevado a menos dois 𝑥.

Observe que a derivada pode realmente ser expressa em termos de 𝑦 desde que dissemos que 𝑦 era igual a sete 𝑒 à potência de cinco sobre cinco vezes 𝑒 elevado a menos dois 𝑥. E podemos, portanto, dizer que d𝑦 por d𝑥 é igual a menos dois. Em seguida, consideramos um exemplo um pouco mais complexo, no qual precisaremos aplicar outras regras para derivação.

Encontre a derivada da função 𝑓 de 𝑧 é igual a menos três 𝑒 elevado a quatro 𝑧 sobre quatro 𝑧 mais um.

Aqui temos uma função de uma função ou uma função composta. Isso nos diz que precisaremos aplicar a regra da cadeia. Isto diz que a derivada de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 é igual à derivada de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 multiplicada pela derivada de 𝑔 de 𝑥. Alternativamente, podemos dizer que se 𝑦 é igual a essa função composta, 𝑓 de 𝑔 de 𝑥, então se nós deixarmos 𝑢 ser igual a 𝑔 de 𝑥, então 𝑦 é igual a 𝑓 de 𝑢. E isso significa que podemos dizer que a derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 é igual à derivada de 𝑦 em relação a 𝑢 multiplicada pela derivada de 𝑢 em relação a 𝑥.

Neste exemplo, dizemos que 𝑦 é igual a menos três vezes 𝑒 à potência de 𝑢, onde 𝑢 é igual a quatro 𝑧 sobre quatro 𝑧 mais um. E já que vamos derivar em relação a 𝑧, alteramos ligeiramente a fórmula. E dizemos que d𝑦 por d𝑧 é igual a d𝑦 por d𝑢 vezes d𝑢 por d𝑧. Então, vamos precisar trabalhar com d𝑦 por d𝑢 e d𝑢 por d𝑧. d𝑦 por d𝑢 é bastante fácil de derivar. Sabemos que a derivada de 𝑒 elevado a 𝑢 é 𝑒 elevado a 𝑢. Assim, a derivada de menos três 𝑒 elevado a 𝑢 é menos três 𝑒 elevado a 𝑢. E então, podemos substituir 𝑢 por quatro 𝑧 sobre quatro 𝑧 mais um para ter menos três 𝑒 elevado a quatro 𝑧 sobre quatro 𝑧 mais um. Mas e a derivada de quatro 𝑧 sobre quatro 𝑧 mais um?

Bem, aqui, precisamos usar a regra do quociente. Isto diz que a derivada de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 é igual à função 𝑔 de 𝑥 vezes a derivada de 𝑓 de 𝑥 menos a função 𝑓 de 𝑥 vezes a derivada de 𝑔 de 𝑥. E isso está tudo sobre 𝑔 de 𝑥 ao quadrado. Nós mudamos 𝑓 de 𝑥 para 𝑓 de 𝑧 e 𝑔 de 𝑥 para 𝑔 de 𝑧. Então, a derivada do numerador da nossa fração é quatro. E a derivada do denominador de nossa fração também é quatro. Então o equivalente a 𝑔 de 𝑧 vezes a derivada de 𝑓 de 𝑧 é quatro 𝑧 mais um vezes quatro. E o equivalente a 𝑓 de 𝑧 vezes a derivada de 𝑔 de 𝑧 é quatro 𝑧 vezes quatro. E isso está tudo sobre o denominador ao quadrado. São quatro 𝑧 mais um ao quadrado. Agora, distribuindo os parênteses e acabamos simplesmente com quatro no numerador dessa fração. Então d𝑢 por d𝑧 é igual a quatro sobre quatro 𝑧 mais um ao quadrado.

Vamos agora substituir tudo o que temos na fórmula da regra da cadeia. d𝑦 por d𝑢 vezes d𝑢 por d𝑧 é menos três 𝑒 elevado a quatro 𝑧 sobre quatro 𝑧 mais um vezes quatro sobre quatro 𝑧 mais um ao quadrado. E se simplificarmos, vemos que a derivada de nossa função é menos 12𝑒 elevado a quatro 𝑧 sobre quatro 𝑧 mais um tudo sobre quatro 𝑧 mais um ao quadrado. Nosso próximo exemplo nos levará a uma definição para a derivada de uma equação exponencial na forma 𝑎𝑏 elevado a 𝑥.

Se 𝑦 é igual a menos três vezes dois elevado a 𝑥, determine d𝑦 por d𝑥.

Para responder a essa pergunta, primeiro lembramos o fato de que a regra do fator constante nos permite pegar constantes fora de uma derivada e nos concentrar em derivar a função do próprio 𝑥. Podemos, portanto, dizer que d𝑦 por d𝑥 é igual a menos três vezes a derivada de dois elevado a 𝑥 em relação a 𝑥. Mas como podemos derivar dois elevado 𝑥? Bem, vamos usar as propriedades de logaritmos e exponenciais.

Começamos dizendo que dois é o mesmo que 𝑒 elevado a ln de dois. E lembre-se, isso é verdade porque 𝑒 e ln são funções inversas uma da outra. Em seguida, elevamos ambos os lados desta equação ao expoente 𝑥 e usamos as propriedades dos expoentes para dizer que dois elevado a 𝑥 é igual a 𝑒 elevado a ln de duas vezes 𝑥. Bem, ln de dois é apenas uma constante. Então, usamos o fato de que a derivada de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 é 𝑘𝑒 elevado a 𝑘𝑥. E podemos dizer que a derivada de dois elevado a 𝑥 é ln de dois vezes 𝑒 elevado a ln de dois 𝑥. Isto significa que d𝑦 por d𝑥 é igual a menos três multiplicado por ln de dois vezes 𝑒 elevado a ln de dois 𝑥.

Agora, lembre-se, nós realmente definimos dois elevado a 𝑥 sendo 𝑒 elevado a ln de dois 𝑥. Então nós substituímos 𝑒 elevado a ln de dois 𝑥 com dois elevado a 𝑥. E vemos que d𝑦 por d𝑥 neste caso é menos três vezes ln de dois vezes dois elevado a 𝑥.

Agora podemos generalizar o resultado do exemplo anterior. E podemos dizer que a derivada de uma função exponencial da forma 𝑏 à potência de 𝑥 é ln de 𝑏 vezes 𝑏 à potência de 𝑥. E podemos generalizar isso um pouco. E dizemos que a derivada de 𝑏 à potência de 𝑘𝑥 é igual a 𝑘 vezes ln de 𝑏 vezes 𝑏 à potência de 𝑘𝑥. E embora seja muito útil aprender essa fórmula de cor, também é importante que você siga o processo que fizemos antes de encontrá-la. Vamos ver a aplicação dessas fórmulas.

Encontre a primeira derivada da função 𝑦 é igual a sete elevado a menos nove 𝑥 menos oito tudo elevado a menos dois.

Para encontrar a derivada dessa função, primeiro queremos ver se existe alguma maneira de simplificá-la. De fato, podemos usar as propriedades de expoentes para fazer isso. Lembre-se: 𝑎 elevado a 𝑚 elevado a 𝑛 é igual a 𝑎 elevado a 𝑚 vezes 𝑛. Assim, podemos dizer que sete elevado a menos nove 𝑥 menos oito tudo elevado a menos dois é o mesmo que sete elevado a 18 𝑥 mais 16. Em seguida, usamos outra propriedade de expoentes. Desta vez, 𝑎 elevado a 𝑚 vezes 𝑎 elevado a 𝑛 é o mesmo que 𝑎 elevado a 𝑚 mais 𝑛. Então, 𝑦 deve ser igual a sete elevado a 18𝑥 vezes sete elevado a 16.

Agora, sete elevado a 16 é uma constante. Assim, podemos dizer que a primeira derivada de nossa função d𝑦 por d𝑥 é igual a sete à potência de 16 vezes a derivada de sete à potência de 18𝑥 em relação a 𝑥. E aqui, usamos o fato de que a derivada de 𝑏 à potência de 𝑘𝑥 em relação a 𝑥 é igual a 𝑘 vezes ln de 𝑏 vezes 𝑏 à potência de 𝑘𝑥. E isso significa que a derivada de sete elevado a 18𝑥 é 18 vezes ln de sete vezes sete elevado a 18𝑥.

Agora, mais uma vez, vamos usar o fato de que 𝑎 elevado a 𝑚 vezes 𝑎 elevado a 𝑛 é o mesmo que 𝑎 elevado a 𝑚 mais 𝑛. E nós podemos reescrever sete elevado a 16 vezes sete elevado a 18𝑥 como sete elevado a 18𝑥 mais 16. E isso significa que a primeira derivada de nossa função é 18 vezes ln de sete vezes sete à potência de 18𝑥 mais 16. Em nosso último exemplo, veremos um problema que envolve as derivadas de exponenciais.

O decaimento radioativo do Radon-222 é modelado pela seguinte fórmula. 𝑁 de 𝑡 é igual a 𝑁 zero vezes um meio da potência de 𝑡 sobre a metade de 𝑡, onde 𝑁 de 𝑡 é a quantidade restante, em gramas, de Radon-222, que não decaiu após 𝑡 dias. 𝑁 zero é a quantidade inicial de Radon-222. E metade de 𝑡 é a meia-vida. Uma amostra particular continha inicialmente 10 gramas de Radon-222. Dado que a meia-vida do Radon-222 é de 3.8215 dias, encontre a taxa de decaimento da amostra 10 dias depois. Dê sua resposta a três números significativos.

Lembre-se, a taxa de variação ou, aqui, a taxa de decaimento, sempre corresponderá à função gradiente ou à derivada. Para responder a essa pergunta, precisamos derivar a função 𝑁 zero vezes um meio elevado a 𝑡 sobre a metade de 𝑡 em relação a 𝑡. Agora, isso pode parecer um pouco complicado. No entanto, 𝑁 zero é uma constante como é a metade de 𝑡. E usamos o fato de que a derivada de 𝑏 elevado a 𝑘𝑥 é 𝑘 vezes ln de 𝑏 vezes 𝑏 elevado a 𝑘𝑥. E podemos dizer que a derivada de 𝑁 em relação a 𝑡 é igual a 𝑁 zero vezes um sobre a metade de 𝑡, já que em nossa equação isso é o equivalente a 𝑘, vezes ln de um meio, já que em nossa equação 𝑏 é um meio, vezes um meio elevado a 𝑡 sobre a metade de 𝑡.

Agora, reescrevemos ln de um meio e dizemos que é o mesmo que ln de dois elevado a menos um. E usamos as leis dos logaritmos. E vemos que ln de um de meio é o mesmo que menos um vezes ln de dois ou apenas menos ln de dois. E assim podemos reescrever um pouco nossa expressão. Agora, como uma amostra particular continha inicialmente 10 gramas de Radon-222, podemos dizer que 𝑁 zero deve ser igual a 10. Sabemos que a metade de 𝑡 é igual a 3.8215. E nós estamos procurando encontrar a taxa de decaimento quando 𝑡 é igual a 10. Então, vamos substituir todos eles em nossa equação para a derivada. E temos 10 sobre 3.8215 vezes menos ln de dois vezes um meio elevado a 10 sobre 3.8215. E isso nos dá um valor de menos 0.2957.

Mas o que isso realmente significa em relação à nossa pergunta? Bem, correta para três números significativos, a taxa de variação é igual a menos 0.296. Agora, como isso é negativo, significa que a amostra está decaindo a uma taxa de 0.296 gramas por dia.

Neste vídeo, vimos que a derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 é 𝑒 elevado a 𝑥. E nós vimos que isso pode ser generalizado. E podemos dizer que a derivada de 𝑒 à potência de 𝑘𝑥 é igual a 𝑘 vezes 𝑒 à potência de 𝑘𝑥. Também vimos que podemos derivar 𝑏 elevado a 𝑥 em relação a 𝑥 para obter ln de 𝑏 vezes 𝑏 elevado a 𝑥. E generalizamos isso para dizer que a derivada de 𝑏 à potência de 𝑘𝑥 é igual a 𝑘 vezes ln de 𝑏 vezes 𝑏 à potência de 𝑘𝑥. Também vimos que pode ser útil simplificar ou manipular expressões usando as propriedades de potência antes de derivar. E dissemos que é importante não confundir a regra de potência e a regra para derivar as funções exponenciais.

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