Vídeo: Todas as Possíveis Trincas Pitagóricas, Visualizadas

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Todas as Possíveis Trincas Pitagóricas, Visualizadas

14:28

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Quando você aprendeu sobre o teorema de Pitágoras, que a soma dos quadrados dos dois lados mais curtos de um triângulo retângulo sempre é igual ao quadrado de sua hipotenusa. Suponho que você se familiarizou bastante com alguns exemplos, como o triângulo três-quatro-cinco ou o triângulo cinco-12-13. E acho fácil admitir que eles existem. Exemplos em que a soma de dois quadrados perfeitos passa a ser um quadrado perfeito. Mas lembre-se de comparar: se você alterar esse expoente para um número inteiro maior que dois, passa de ter muitas soluções inteiras para nenhuma solução. Este é o famoso último teorema de Fermat.

Agora, existe um nome especial para qualquer triplas de números inteiros 𝑎, 𝑏, 𝑐, onde 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado. É chamada de trinca pitagórica. E o que vamos fazer aqui é encontrar todos os exemplos possíveis. Além disso, faremos isso de uma maneira em que você possa visualizar como todas essas trincas se encaixam. Essa é uma pergunta antiga, quase tão antiga quanto a matemática. Existem algumas tábuas de argila da Babilônia de 1800 aC, mais de um milênio antes do próprio Pitágoras, que apenas listam essas trincas.

A propósito, enquanto falamos sobre o teorema de Pitágoras, seria uma pena não compartilhar minha prova favorita, para quem ainda não viu. Você começa desenhando um quadrado em cada lado do triângulo. E se você pegar 𝑐 ao quadrado e adicionar quatro cópias do triângulo original ao seu redor, poderá obter um quadrado grande cujos comprimentos laterais sejam 𝑎 mais 𝑏. Mas você também pode organizar o 𝑎 ao quadrado e o 𝑏 ao quadrado juntamente com quatro cópias do triângulo original para obter um quadrado grande cujos lados sejam 𝑎 mais 𝑏. O que isso significa é que o espaço negativo em cada um desses diagramas, a área daquele grande quadrado menos quatro vezes a área do triângulo, é, de uma perspectiva, claramente 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Mas de outra perspectiva, é 𝑐 ao quadrado.

De qualquer forma, voltando à questão de encontrar soluções com números inteiros, comece reformulando a pergunta levemente. Entre todos os pontos do plano com coordenadas inteiras — ou seja, todos esses pontos de rede onde as linhas de grade se cruzam — que são um número inteiro de distância da origem? Por exemplo, o ponto três, quatro está a uma distância de cinco da origem. E o ponto 12, cinco, está a uma distância 13 da origem. A questão de encontrar trincas pitagóricas é completamente equivalente a encontrar pontos de rede que estão a um número inteiro de distância da origem. Obviamente, para a maioria dos pontos como dois, um, a distância da origem não é um número inteiro. Mas é pelo menos a raiz quadrada de um número inteiro. Nesse caso, dois ao quadrado mais um ao quadrado são cinco. Então essa distância, essa hipotenusa ali, é a raiz quadrada de cinco.

Agora, dando o que pode parecer um passo estranho, mas que se justificará em apenas um momento, pense nisso como o plano complexo. Portanto, cada um desses pontos — como dois, um aqui — é na verdade um número complexo individual, neste caso dois mais 𝑖. O que isso fornece é uma maneira surpreendentemente simples de modificá-lo para obter um novo ponto cuja distância da origem é garantida como um número inteiro, apenas ao quadrado. Algebricamente, quando você coloca um número complexo ao quadrado, expandindo esse produto e combinando todos os termos semelhantes. Como tudo aqui envolve apenas multiplicar e adicionar números inteiros, é garantido que cada componente do resultado seja um número inteiro. Nesse caso, você recebe três mais quatro 𝑖.

Mas você também pode pensar em multiplicação complexa mais geometricamente. Você pega essa linha traçada da origem para o número e considera o ângulo que ela faz com o eixo horizontal, bem como seu comprimento, que neste caso é a raiz quadrada de cinco. O efeito de multiplicar qualquer coisa por esse número complexo é girá-lo por esse ângulo e esticar por um fator igual a esse comprimento. Portanto, quando você multiplica o número por si só, o efeito é dobrar esse ângulo e, o mais importante, quadrar seu comprimento. Como o comprimento começou como a raiz quadrada de um número inteiro, esse comprimento resultante é garantido como um número inteiro. Nesse caso, cinco. Aqui, vamos tentar com outro exemplo.

Comece com um número complexo que possui coordenadas inteiras, como três mais dois 𝑖. Nesse caso, a distância entre esse número e a origem é a raiz quadrada de três ao quadrado mais dois ao quadrado, que é a raiz quadrada de 13. Agora multiplique esse número complexo por si mesmo. A parte real sai para três ao quadrado mais dois 𝑖 ao quadrado, que é nove menos quatro. E a parte imaginária é três vezes dois mais dois vezes três. Portanto, o resultado é cinco mais 12𝑖. E a magnitude deste novo número é 13, o quadrado da magnitude do nosso número inicial, três mais dois 𝑖. Então, simplesmente elevando ao quadrado nosso ponto de rede escolhido aleatoriamente nos dá o triângulo cinco-12-13.

Há algo de mágico em assistir a esse trabalho. Parece quase trapaça. Você pode começar com qualquer ponto de rede escolhido aleatoriamente, como quatro mais 𝑖. E apenas tomando o quadrado, você gera uma trinca pitagórica. Nesse caso, quatro mais 𝑖 ao quadrado são 15 mais oito 𝑖, que tem uma distância 17 longe da origem. Se você brinca com isso, o que eu encorajo você a fazer, verá que alguns dos resultados são meio chatos. Se as duas coordenadas do seu ponto de partida forem iguais ou se uma delas for zero, a trinca no final incluirá um zero. Por exemplo, dois mais dois 𝑖 ao quadrado dão oito 𝑖. E, embora tecnicamente esse seja realmente um ponto de rede, a um número inteiro de distância da origem, a trinca a que corresponde é zero ao quadrado mais oito ao quadrado é igual a oito ao quadrado. O que não é exatamente algo para se escrever.

Mas, na maioria das vezes, esse método elevar números complexos ao quadrado é uma maneira surpreendentemente simples de gerar trincas pitagóricas não triviais. E você pode até generalizá-lo para obter uma boa fórmula. Se você escrever as coordenadas do seu ponto inicial como 𝑢 e 𝑣, quando você calcular 𝑢 mais 𝑣𝑖 ao quadrado, a parte real será 𝑢 ao quadrado menos 𝑣 ao quadrado. E a parte imaginária é duas vezes 𝑢𝑣. A distância resultante da origem será 𝑢 ao quadrado mais 𝑣 ao quadrado. É meio divertido descobrir essa expressão algebricamente e ver que ela realmente dá resultados. E também é divertido substituir alguns números inteiros aleatórios para 𝑢 e 𝑣 e obter uma trinca pitagórica. Essencialmente, criamos uma máquina na qual você fornece qualquer par de números inteiros e devolve algumas trincas pitagóricas.

Uma maneira realmente agradável de visualizar isso, que será familiar para qualquer um de vocês que assistiu ao vídeo da função zeta, é assistir todos os pontos de 𝑧 no plano passarem para o ponto 𝑧 ao quadrado. Por exemplo, o ponto três mais dois 𝑖 passará para cinco mais 12𝑖. O ponto 𝑖 vai girar 90 graus para o quadrado, menos um. O ponto menos um vai passar para um, e assim por diante. Agora, quando você faz isso em todos os pontos do plano, incluindo as linhas de grade que eu vou deixar mais coloridas para facilitar o acompanhamento, eis a aparência.

Assim, todas as linhas de grade são transformadas nesses arcos parabólicos. E todo ponto em que esses arcos se cruzam é ​​um local em que seu ponto de rede aterrissou. Portanto, corresponde a alguma trinca pitagórica. Ou seja, se você desenhar um triângulo cuja hipotenusa é a linha entre qualquer um desses pontos e a origem e cujos catetos são paralelos aos eixos, todos os três comprimentos laterais desse triângulo serão números inteiros. O que eu amo sobre isso é que geralmente quando você vê as trincas pitagóricas, sozinhas, elas parecem completamente aleatórias e desconectadas. E você ficará tentado a dizer que não há um padrão. Mas aqui, temos muitas delas sentadas juntas realmente organizadas, apenas sentadas nos cruzamentos dessas curvas bem espaçadas.

Agora você pode perguntar se isso é responsável por cada trinca pitagórica possível. Infelizmente, isso não acontece. Por exemplo, você nunca obterá o ponto seis mais oito 𝑖 usando esse método, mesmo que seis, oito, 10 sejam uma trinca pitagórica perfeitamente válida. Simplesmente não existem números inteiros 𝑢 e 𝑣 onde 𝑢 mais 𝑣𝑖 ao quadrado é seis mais oito 𝑖. Da mesma forma, você nunca atingirá nove mais 12𝑖. Mas eles realmente não parecem nada de novo, não é? Como você pode obter cada um deles escalando a trinca familiar três, quatro, cinco, que é explicada em nosso método. De fato, por razões que explicarei em breve, toda trinca pitagórica possível que perdemos é apenas um múltiplo de uma trinca diferente que atingimos. Para dar outro exemplo, perdemos o ponto quatro mais três 𝑖. Não há números inteiros 𝑢 e 𝑣, então 𝑢 mais 𝑣𝑖 ao quadrado é quatro mais três 𝑖. Na verdade, você nunca alcançará nenhum ponto cuja componente imaginária seja ímpar.

No entanto, atingimos oito mais seis 𝑖. São três mais 𝑖 ao quadrado. Portanto, apesar de perdermos quatro mais três 𝑖, é apenas a metade do ponto atingido. E, a propósito, você nunca precisará diminuir o tamanho em menos de a metade. Uma boa maneira de pensar sobre esses múltiplos que perdemos é considerar cada ponto que obtemos usando esse método quadrático e traçar uma linha desde a origem até o infinito. A marcação de todos os pontos de rede que essa linha atinge, será responsável por múltiplos desses pontos que podemos ter perdido. Fazendo isso para todos os pontos possíveis, você contabilizará todas as trincas pitagóricas possíveis. Todo triângulo retângulo que você já viu ou verá que tem comprimentos laterais de números inteiros é contabilizado em algum lugar deste diagrama. Para entender por que, agora mudaremos para uma visão diferente do problema trinca pitagórica, que envolve encontrar pontos em um círculo unitário com coordenadas racionais.

Se você pegar a expressão 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado igual a 𝑐 ao quadrado e dividir por 𝑐 ao quadrado, o que você obtém é 𝑎 sobre 𝑐 ao quadrado mais 𝑏 sobre 𝑐 ao quadrado é igual a um. Isso nos dá algum ponto no círculo unitário, 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado é igual a um, cujas coordenadas são cada um dos números racionais. Isso é o que chamamos de ponto racional do círculo unitário. E indo ao contrário, se você encontrar algum ponto racional no círculo unitário. Quando você multiplica por um denominador comum para cada uma dessas coordenadas, o ponto em que você pousa é um ponto que possui coordenadas inteiras. E cuja distância da origem também é um número inteiro.

Com isso em mente, considere nosso diagrama no quadrado de todos os pontos de rede possíveis e, em seguida, desenhe essas linhas radiais através de cada uma delas para contabilizar os múltiplos que poderíamos ter perdido. Se você projetar todos esses pontos no círculo unitário, cada um movendo-se ao longo de sua linha radial correspondente, o que você verá é um monte de pontos racionais nesse círculo. E lembre-se, a propósito, estou desenhando apenas finitamente muitos desses pontos e linhas. Mas se eu desenhasse todas as infinitas linhas correspondentes a todos os pontos quadriculares possíveis da rede, na verdade preencheria todos os pixels da tela.

Agora, se nosso método estivesse incompleto, se estivéssemos perdendo uma trinca pitagórica por aí em algum lugar. Isso significaria que há um ponto racional nesse círculo que nunca atingimos quando projetamos tudo no círculo. E deixe-me mostrar por que isso não pode acontecer. Pegue qualquer um desses pontos racionais e desenhe uma linha entre ele e o ponto menos um. Quando você calcula a inclinação da subida sobre a corrida dessa linha, a subida entre os dois pontos é racional e a corrida também é racional. Então a própria inclinação será apenas um número racional. Então, se pudermos mostrar que nosso método de elevar números complexos ao quadrado contabiliza todas as inclinações racionais possíveis aqui, isso garantirá que atingimos todos os pontos racionais possíveis do círculo unitário, certo?

Bem, vamos pensar em nosso método. Começamos com algum ponto 𝑢 mais 𝑣𝑖 que possui coordenadas inteiras. E esse número faz um ângulo na horizontal que eu vou chamar de 𝜃. Elevando esse número ao quadrado, o ângulo resultante na horizontal é duas vezes 𝜃. E, é claro, quando você projeta isso no círculo unitário, ele segue a mesma linha radial. Portanto, o ponto racional correspondente do círculo unitário também tem o mesmo ângulo, duas vezes 𝜃. E aqui, trarei um pouco da geometria do círculo. Ou seja, sempre que você tem um ângulo entre dois pontos na borda de um círculo e seu centro. Isso é exatamente duas vezes o ângulo feito pelos mesmos pontos e qualquer outro ponto na borda do círculo. Desde que esse outro ponto não esteja entre os dois pontos originais.

O que isso significa para a nossa situação é que a linha entre menos um e o ponto racional no círculo deve fazer um ângulo 𝜃 com a horizontal. Em outras palavras, essa linha tem a mesma inclinação que a linha entre a origem e nosso número complexo inicial, 𝑢 mais 𝑣𝑖. Mas observe o aumento da inclinação da linha definida por nossa escolha de números inteiros, 𝑢 e 𝑣. A inclinação é 𝑣 dividido por 𝑢. E, é claro, podemos escolher 𝑣 e 𝑢 como quaisquer números inteiros que desejamos. E, portanto, realmente consideramos todas as inclinações racionais possíveis. Então, aqui está, as linhas radiais do nosso método, determinadas por todas as opções possíveis de 𝑢 e 𝑣, devem passar por todos os pontos racionais deste círculo. E isso significa que nosso método deve atingir cada trinca pitagórica possível.

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