Vídeo: Encontrando o Termo Geral de uma Progressão Aritmética

O quinto termo de uma progressão aritmética é 50 e o décimo termo é 25 vezes maior que o segundo termo. Encontre o termo geral 𝑇_𝑛.

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O quinto termo de uma progressão aritmética é 50 e o décimo termo é 25 vezes maior que o segundo termo. Encontre o termo geral 𝑇 de 𝑛.

O termo geral 𝑇 𝑛 de qualquer progressão aritmética é dado por 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑, onde 𝑎 é o primeiro termo da sequência e 𝑑 é a diferença comum. Neste exemplo, o quinto termo é igual a 50. Isso significa que 𝑎 mais quatro 𝑑 é igual a 50. Também nos foi dito que o décimo termo é 25 vezes maior que o segundo termo. Portanto, o décimo termo é igual a 25 multiplicado pelo segundo termo.

Isso significa que 𝑎 mais nove 𝑑 é igual a 25 multiplicado por 𝑎 mais 𝑑. Expandindo o colchete ou parênteses nos dá 25𝑎 mais 25𝑑. Simplificando essa equação agrupando termos semelhantes nos dá 24𝑎 mais 16𝑑 é igual a zero. Agora temos um sistema de duas equações que podemos resolver para calcular os valores de 𝑎 e os valores de 𝑑.

Se dividirmos a segunda equação por quatro, ficamos com seis 𝑎 mais 4 𝑑 igual a zero. Agora temos as duas equações seis 𝑎 mais quatro 𝑑 igual a zero e 𝑎 mais quatro 𝑑 é igual a 50. Subtraindo essas duas equações nos dá cinco 𝑎 é ​​igual a menos 50 como seis 𝑎 menos 𝑎 é cinco 𝑎, quatro 𝑑 menos quatro 𝑑 é zero, e zero menos 50 é menos 50. Se dividirmos ambos os lados dessa equação por cinco, ficamos com um valor de 𝑎 de menos 10. O primeiro termo em nossa sequência é menos 10.

Substituindo este valor na equação 𝑎 mais quatro 𝑑 é igual a 50 nos dá menos 10 mais quatro 𝑑 é igual a 50. Adicionando 10 a ambos os lados desta nova equação nos dá quatro 𝑑 é igual a 60. E, finalmente, dividindo ambos os lados por quatro nos dá um valor de 𝑑 igual a 15. A diferença comum na progressão é 15.

O termo geral 𝑇𝑛 é dado por 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. Agora precisamos substituir o nosso valor de 𝑎 menos 10 e o valor de 𝑑 15. Isso nos dá menos 10 mais 𝑛 menos um multiplicado por 15. A expansão dos parênteses nos dá 15𝑛 menos 15. Portanto, 𝑇𝑛 é igual a menos 10 mais 15𝑛 menos 15. Isso nos dá uma resposta final de 𝑇𝑛 igual a 15𝑛 menos 25.

O termo geral de uma progressão com o quinto termo 50 e o décimo termo 25 vezes maior que o segundo termo é 15𝑛 menos 25.

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