Lesson Video: Conversão entre Radianos e Graus

Video Transcript

Neste vídeo, aprenderemos como converter entre radianos e graus e vice -versa. Vamos começar pensando sobre o que é um radiano.

Assim como fizemos com os graus, os radianos são uma unidade de medida para os ângulos. Um radiano é definido como o ângulo feito no centro de uma circunferência por um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência. Vamos ver como seria. Digamos que esta é a nossa circunferência com um centro rotulado como 𝑂 e aqui está o raio da nossa circunferência, que podemos rotular como 𝑟. Digamos que desenhamos outro comprimento do mesmo comprimento do raio 𝑟 e depois o dobramos para que fique ao longo da circunferência. Então, fica assim. E sabemos que o comprimento do outro lado deste segmento também será de comprimento 𝑟. O ângulo criado neste segmento é um radiano. E a pergunta que pretendemos responder neste vídeo é ver se podemos descobrir qual será esse ângulo em radianos.

Vamos lembrar outro fato que devemos lembrar sobre as circunferências. A distância ao redor do lado de fora dessa circunferência é chamada de comprimento da circunferência. E o comprimento da circunferência é encontrado multiplicando duas vezes 𝜋 vezes o raio. Uma pergunta sensata a se fazer pode ser: quantos desses comprimentos de arco de 𝑟 caberiam no comprimento da circunferência? E a resposta é que dois 𝜋 desses arcos caberiam na circunferência. Podemos verificar isso lembrando que 𝜋 é aproximadamente igual a 3,14. Isso significa que dois 𝜋 serão aproximadamente iguais a 6,28.

Então, se desenharmos outro comprimento de arco de 𝑟, ficaria assim, outro assim, até que possamos ver que temos seis comprimentos de arco mais essa pequena porção restante. Então, se pensarmos que todo esse ângulo no centro dessa circunferência é de dois 𝜋 radianos, podemos pensar em outro fato que conhecemos sobre os ângulos criados em uma circunferência E isso é que os ângulos criados em uma circunferência ou pelo ponto são 360 graus. E podemos, portanto, dizer que dois 𝜋 radianos são iguais a 360 graus. Saber desse fato nos ajudará a converter entre radianos e graus e vice-versa.

Observe que se dividirmos ambos os lados dessa conversão por dois, obteremos o fato de que 𝜋 radianos é igual a 180 graus. Isso pode ser muito útil porque sabemos que há 180 graus em uma semicircunferência e também em uma linha reta e até em um triângulo. Se quiséssemos, poderíamos até dividir essa segunda equação por dois em ambos os lados para nos dar que 𝜋 sobre dois radianos é igual a 90 graus, o que é, obviamente, um ângulo reto. Conhecer essas três conversões diferentes pode ser útil para nos ajudar a alternar entre radianos e graus. Mas nós realmente só precisamos nos lembrar de uma delas, pois o conhecimento de uma delas nos permitiria derivar as outras duas.

Vamos agora dar uma olhada em algumas questões. E em nossa primeira questão, vamos converter vários ângulos em graus para ângulos em radianos.

Converta as seguintes medidas de ângulo de graus em radianos. Dê suas respostas em termos de 𝜋 em sua forma mais simples. 90 graus, 30 graus, 55 graus.

Nesta questão, recebemos três ângulos diferentes em graus, e precisamos convertê-los para uma unidade de medida diferente para ângulos, radianos. Uma das principais conversões que podemos lembrar entre graus e radianos é que 180 graus é igual a 𝜋 radianos. Vamos ver como isso nos ajudará a responder à questão de quantos radianos existem em 90 graus. Bem, podemos notar que para ir de 180 graus a 90 graus, devemos dividir por dois. E assim, nossa medida em radianos também deve ser dividida por dois. 𝜋 dividido por dois pode ser escrito como 𝜋 sobre dois. E assim, a resposta é 𝜋 sobre dois radianos.

Observe que essa resposta é dada em termos de 𝜋 e está em sua forma mais simples. Os ângulos em radianos são geralmente dados nesta forma, mas poderíamos, é claro, usar uma calculadora para convertê-lo em decimal, se necessário.

Vamos dar uma olhada agora na conversão do nosso ângulo de 30 graus. Podemos usar a mesma conversão que 180 graus é igual a 𝜋 radianos. E desta vez, observamos que se formos de 180 graus para 30 graus, isso é o mesmo que dividir por seis. No lado direito, então, precisamos também dividir por seis. E assim, podemos dar nossa resposta que 30 graus é igual a 𝜋 sobre seis radianos. Mais uma vez, isso é em termos de 𝜋 e em sua forma mais simples.

Então, vamos dar uma olhada nesta parte final. Desta vez, estamos tentando converter 55 graus em radianos. Já podemos perceber que isso não será tão simples quanto 55 graus não é um fator de 180 graus. Em vez de ir diretamente de 180 graus para 55 graus, acharemos mais útil encontrar o passo intermediário. Podemos achar mais útil pensar em como encontraríamos um grau, mas existem outros métodos. Por exemplo, poderíamos descobrir quantos radianos existem em cinco graus.

Mas digamos que usamos um grau. Desta vez, então, para ir de 180 a um grau, devemos ter dividido por 180. Dividindo nosso valor em radianos por 180 nos daria 𝜋 sobre 180 radianos. Agora precisamos pensar em como vamos de um grau a 55 graus. E isso seria multiplicando por 55. Então, vamos precisar fazer isso em ambos os lados desta equação. Em vez de deixar nossa resposta como 55𝜋 sobre 180, podemos tirar um fator comum de cinco. Portanto, podemos dar nossa resposta que 55 graus é igual a 11𝜋 sobre 36 radianos. E, portanto, temos todos esses ângulos em graus convertidos em radianos.

Na pergunta a seguir, veremos como podemos mudar um ângulo em radianos para um ângulo em graus.

Converta 𝜋 sobre três radianos em graus.

Devemos lembrar que, assim como os graus, os radianos são uma unidade de medida de ângulos. Dizemos que um radiano é o ângulo feito no centro de uma circunferência por um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência. No entanto, para realmente converter entre radianos e graus, precisamos nos lembrar de uma conversão chave. Podemos lembrar que dois 𝜋 radianos são iguais a 360 graus ou que 𝜋 radianos são iguais a 180 graus. Lembrar qualquer uma delas nos permitiria converter nosso valor de 𝜋 em três radianos.

Digamos que usamos a conversão de 𝜋 radianos igual a 180 graus. Em seguida, precisamos nos perguntar como vamos de 𝜋 para 𝜋 sobre três. Bem, poderíamos fazer isso dividindo por três. Portanto, precisaremos pegar o valor de 180 graus e dividi-lo por três também, o que nos dá 60 graus. E essa é a nossa resposta em graus para 𝜋 sobre três radianos.

Vamos agora dar uma olhada em uma questão em que precisamos converter entre radianos e graus no contexto de um problema.

Encontre o valor de dois ângulos em graus, considerando que a soma deles é de 74 graus e a diferença é de 𝜋 sobre seis radianos. Dê sua resposta para o grau mais próximo.

Nesta questão, somos informados de que existem dois ângulos. Também nos é dito que a soma deles é de 74 graus e a diferença deles é de 𝜋 sobre seis radianos. Quando estamos respondendo a uma questão como essa, teremos que empregar diferentes habilidades matemáticas. Precisamos usar um pouco de álgebra para resolver esse problema. E também precisaremos saber como converter entre ângulos em graus e ângulos em radianos.

Vamos começar dizendo que podemos dizer que nossos dois ângulos são chamados 𝑥 e 𝑦. Como nos é dito que a soma deles é 74 graus, podemos dizer que 𝑥 mais 𝑦 é igual a 74 graus. Em seguida, somos informados de que a diferença deles é 𝜋 sobre seis radianos. Lembre -se de que diferença significa subtrair, então podemos escrever que 𝑥 subtrair 𝑦 é igual a 𝜋 sobre seis radianos.

Agora que temos duas equações com duas incógnitas, podemos resolvê-las. No entanto, o problema é que uma dessas medidas está em graus e uma das medidas está em radianos. Podemos encontrar ambos os ângulos em graus ou ambos em radianos. Mas se dermos uma olhada na pergunta, precisamos dar nossa resposta final em graus, então faria sentido ter certeza de que ambas estão em graus.

Vamos pegar esse ângulo de 𝜋 sobre seis radianos e escrevê-lo como um valor em graus. Para fazer isso, precisamos nos lembrar de uma conversão importante entre radianos e graus. 𝜋 radianos é igual a 180 graus. Algumas pessoas preferem lembrar que dois 𝜋 radianos são iguais a 360 graus. Mas qualquer um nos permitirá converter esses ângulos. Então, se pegarmos o fato de que 𝜋 radianos é igual a 180 graus e o valor que temos de 𝜋 sobre seis radianos é seis vezes menor, então isso significa que nosso ângulo em graus também deve ser seis vezes menor que 180 graus, o que significa que deve ser de 30 graus.

Agora que sabemos que esse valor de 𝜋 sobre seis radianos é na verdade 30 graus, podemos dizer que 𝑥 menos 𝑦 é igual a 30 graus. Agora podemos resolver esse sistema de equações por substituição ou eliminação. Se escolhermos usar um método de eliminação e quisermos eliminar a variável 𝑦, poderíamos somar a primeira equação e a segunda equação. Adicionando os dois valores de 𝑥 nos daria dois 𝑥. 𝑦 menos 𝑦 nos daria zero. E 74 graus mais 30 graus nos dariam 104 graus.

Podemos então encontrar o valor de 𝑥 dividindo ambos os lados dessa equação por dois. Então, 𝑥 é igual a 52 graus. Em seguida, pegamos esse valor de 𝑥 e o inserimos na primeira equação ou na segunda equação. Usando a primeira equação, então, com 𝑥 é igual a 52 graus, teríamos que 52 graus mais 𝑦 é igual a 74 graus. Subtraindo 52 graus de ambos os lados nos daria que 𝑦 é igual a 22 graus. Podemos, portanto, dar nossa resposta que os dois ângulos devem ser de 52 graus e 22 graus. E como elas já são respostas de valor total, não precisamos nos preocupar em arredondar para o grau mais próximo.

É claro que vale sempre a pena verificar se nossa resposta está correta. Quando o estávamos resolvendo, usamos essa equação 𝑥 mais 𝑦 é igual a 74 graus, então vamos verificar que, se subtrairmos nossos ângulos, teremos 30 graus. E se tivermos 52 graus subtraído de 22 graus, de fato obteremos 30 graus, confirmando que nossos dois ângulos são 52 graus e 22 graus.

Na questão final, resolveremos um problema envolvendo ângulos em radianos e ângulos em graus no contexto de um triângulo.

Dois ângulos em um triângulo têm 55 graus e sete 𝜋 sobre 18 radianos. Encontre o valor do terceiro ângulo dando a resposta em radianos em termos de 𝜋.

Nesta questão, nos é dado que há um triângulo. Um dos ângulos, nos é dito, é de 55 graus. E o outro ângulo é de sete 𝜋 sobre 18 radianos. Precisamos descobrir o valor do terceiro ângulo neste triângulo. E precisamos dar a resposta em radianos.

O primeiro problema que devemos notar aqui é que um dos ângulos é dado em graus e o outro é dado em radianos. Podemos ficar um pouco confusos e pensar que radianos são algo que envolve apenas circunferências. Mas lembre-se de que radianos são como graus; eles são apenas uma unidade de medida para ângulos. O que queremos fazer nesta questão é garantir que todos os ângulos sejam dados na mesma unidade de medida. Poderíamos mudá-los todos para graus, ou poderíamos mudá-los todos para radianos. Mas devemos notar que a questão pede o ângulo em radianos no final, então pode ser mais sensato mudar nosso valor em graus para um valor em radianos.

Quando se trata de converter entre graus e radianos, há duas conversões comuns que podemos lembrar: 180 graus é igual a 𝜋 radianos ou 360 graus é igual a dois 𝜋 radianos. Lembrar -se de apenas uma delas nos permitirá converter qualquer medida em graus em uma medida em radianos. Então, vamos pegar essa conversão de 180 graus é igual a 𝜋 radianos e usá-la para converter 55 graus para um valor em radianos. Se dermos esse passo intermediário de encontrar um grau, podemos notar que, para ir de 180 para um, devemos dividir por 180.

Isso significa que precisamos fazer o mesmo do outro lado com nosso valor em radianos. E 𝜋 dividido por 180 pode ser escrito como 𝜋 sobre 180 radianos. Para ir de um grau a 55 graus, devemos multiplicar por 55. Podemos simplificar esse valor do lado direito. Então, podemos dizer que 55 graus é igual a 11𝜋 sobre 36 radianos. Podemos notar, é claro, que há outra maneira de resolver isso. Em vez de encontrar um grau, poderíamos ter convertido cinco graus em radianos. Para ir de 180 graus para cinco graus, devemos ter dividido por 36. Então, para mudar cinco graus para 55 graus, precisaríamos multiplicar ambos os lados por 11. De qualquer maneira, teríamos o valor de 11𝜋 sobre 36 radianos.

Agora que calculamos que esse ângulo de 55 graus é equivalente a 11𝜋 sobre 36 radianos, vamos ver se podemos encontrar esse terceiro ângulo no triângulo. Precisamos lembrar que os ângulos em um triângulo somam 180 graus. Se chamarmos esse ângulo desconhecido no triângulo de 𝑥, poderíamos começar a escrever que os três ângulos devem somar - Nossa! Eles não podem somar 180 graus; precisa ser um valor em radianos. Mas já sabemos que 180 graus é igual a 𝜋 radianos. Portanto, esses três ângulos devem somar 𝜋.

Agora precisaremos fazer alguma aritmética de fração. E vamos lembrar que quando estamos adicionando frações, elas precisam ter o mesmo denominador. Para escrever nossa segunda fração com o denominador 36, precisaremos multiplicar o numerador e o denominador por dois. Portanto, nossa segunda fração será de 14𝜋 sobre 36. Quando estamos adicionando frações e elas têm o mesmo denominador, adicionamos os numeradores. Então, teremos 25𝜋 sobre 36 mais 𝑥 é igual a 𝜋. Para encontrar 𝑥, subtraímos 25𝜋 sobre 36 de ambos os lados dessa equação. Para nos ajudar a resolver isso, pode ser útil eliminar um fator de 𝜋. Então, teremos 𝑥 igual a 𝜋 multiplicado por um menos 25 sobre 36.

Usando o fato de que todo esse valor de um deve ser 36 sobre 36, obtemos que 𝑥 é igual a 11𝜋 sobre 36 radianos. E essa é a nossa resposta para o terceiro ângulo deste triângulo. E é dado em radianos e em termos de 𝜋.

Vamos agora resumir o que aprendemos neste vídeo. Em primeiro lugar, vimos que radianos e graus são unidades de medida de ângulos. Vimos que um radiano é o ângulo formado no centro de uma circunferência por um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência. Finalmente, podemos converter entre graus e radianos, lembrando-nos de um dos seguintes: dois 𝜋 radianos é igual a 360 graus, 𝜋 radianos é igual a 180 graus ou 𝜋 sobre dois radianos é igual a 90 graus. Usar qualquer um desses três nos permitiria mudar entre graus e radianos e vice-versa.