O portal foi desativado. Entre em contato com o administrador do portal.

Vídeo da aula: Vetores no Espaço Matemática • 3º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como representar um vetor no espaço utilizando um sistema de coordenadas tridimensional.

11:23

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como representar um vetor no espaço utilizando um sistema de coordenadas tridimensional. Começaremos por observar os vetores unitários na direção dos eixos O𝑥, O𝑦 e O𝑧. Em seguida, avançaremos para determinar as coordenadas de um vetor que une dois pontos no espaço 3D. Faremos isto algebricamente e graficamente.

Determine o vetor unitário na direção do eixo O𝑦.

Recordamos que um vetor unitário tem módulo igual a um. Vamos considerar o sistema de coordenadas tridimensional ou grelha com centro ou origem 𝑂. Dizem-nos que o vetor está a mover-se na direção do eixo O𝑦. Isto significa que as suas coordenadas em 𝑥 e em 𝑧 devem ser iguais a zero. Para que o vetor tenha norma um, a coordenada em 𝑦 também deve ser um. O vetor unitário na direção do eixo O𝑦 é igual a zero, um, zero.

Podemos verificar isto como um módulo igual a um determinando a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas individuais. Esta é a raiz quadrada de zero ao quadrado mais um ao quadrado mais zero ao quadrado. Isto é igual à raiz quadrada de um. E como a norma deve ser positiva, esta é igual a um. Podemos utilizar estas informações para determinar o vetor unitário na direção dos eixos O𝑥 e O𝑧.

O vetor unitário na direção do eixo O𝑥 é um, zero, zero. Tem uma coordenada em 𝑥 de um e uma coordenada em 𝑦 e em 𝑧 de zero. Acabámos de ver que o vetor unitário na direção do eixo O𝑦 é zero, um, zero. Finalmente, o vetor unitário na direção do eixo O𝑧 é zero, zero, um. Desta vez, temos uma coordenada em 𝑧 igual a um e uma coordenada em 𝑥 e em 𝑦 igual a zero.

Veremos agora algumas questões em que precisamos de determinar o vetor entre dois pontos dados.

Qual das opções seguintes é igual ao vetor 𝐀𝐁? É (A) 𝐀 mais 𝐁, (B) 𝐀 menos 𝐁, (C) 𝐁 menos 𝐀 ou (D) 𝐀 vezes 𝐁?

Vamos começar por considerar os dois pontos 𝐴 e 𝐵 numa grelha de coordenadas bidimensional. O vetor 𝐀 levar-nos-á da origem 𝑂 ao ponto 𝐴. Da mesma forma, o vetor 𝐁 levar-nos-á da origem ao ponto 𝐵. Precisamos de descobrir como podemos ir do ponto 𝐴 ao ponto 𝐵. Uma maneira de fazer isst é pela origem 𝑂. Isto significa que o vetor 𝐀𝐁 é igual ao vetor 𝐀𝐎 mais o vetor 𝐎𝐁. Como o vetor 𝐎𝐀 é igual a 𝐀, então o vetor 𝐀𝐎 será menos 𝐀, pois está em sentido oposto, mas tem a mesma norma. O vetor 𝐎𝐁 é igual a 𝐁. Menos 𝐀 mais 𝐁 pode ser reescrito como 𝐁 menos 𝐀. Isto significa que a resposta correta é a opção (C). O vetor 𝐀𝐁 é igual ao vetor 𝐁 menos vetor 𝐀.

Agora utilizaremos esta regra para determinar um vetor entre dois pontos dados.

Dado que o vetor 𝐀 é igual a seis, um, quatro e o vetor 𝐁 é igual a três, um, dois, determina o vetor 𝐀𝐁.

Recordamos a regra geral ao determinar vetores entre dois pontos que o vetor 𝐀𝐁 é igual ao vetor 𝐁 menos vetor 𝐀. Nesta questão, queremos subtrair o vetor seis, um, quatro do vetor três, um, dois. Ao subtrair vetores, subtraímos as coordenadas correspondentes. Neste caso, precisamos de subtrair seis de três. Isto dá-nos menos três. Um menos um é igual a zero. Finalmente, dois menos quatro é igual a menos dois. A coordenada em 𝑥 é menos três, a coordenada em 𝑦 é zero e a coordenada em 𝑧 é menos dois. O vetor 𝐀𝐁 é igual a menos três, zero, menos dois.

Na nossa próxima questão, precisaremos de determinar o vetor posição de um ponto, dado o vetor que o une a outro ponto.

Dado que 𝐀𝐁 é igual a menos um, menos três, zero e o vetor 𝐀 é igual a menos quatro, menos cinco, menos cinco, escreva o vetor 𝐁 em termos dos vetores unitários fundamentais.

Recordamos que, ao determinar o vetor entre dois pontos, o vetor 𝐀𝐁 é igual ao vetor 𝐁 menos o vetor 𝐀. Se deixarmos o vetor 𝐁 ter coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧, então menos um, menos três, zero é igual a 𝑥, 𝑦, 𝑧 menos menos quatro, menos cinco, menos cinco. Adicionando o vetor 𝐀 a ambos os membros desta equação dá-nos menos um, menos três, zero mais menos quatro, menos cinco, menos cinco é igual a 𝑥, 𝑦, 𝑧.

Ao adicionar e subtrair vetores, podemos olhar para cada coordenada separadamente. Isto significa que 𝑥 é igual a menos um mais menos quatro. É o mesmo que menos um menos quatro, que é igual a menos cinco. 𝑦 é igual a menos três mais menos cinco. Isto é igual a menos oito. Finalmente, 𝑧 é igual a menos cinco. O vetor 𝐁 é, portanto, igual a menos cinco, menos oito, menos cinco.

Pediram-nos para escrever o vetor 𝐁 em termos dos vetores unitários fundamentais. Isto significa que precisamos de o escrever na forma 𝑥𝐢 mais 𝑦𝐣 mais 𝑧𝐤. O vetor 𝐁 é, portanto, igual a menos cinco 𝐢 menos oito 𝐣 menos cinco 𝐤.

Na nossa próxima questão, determinaremos as coordenadas de um vetor posição 3D que está representado graficamente.

Utilizando o gráfico, escreva o vetor 𝐀 em termos das suas coordenadas.

Como temos uma grade de coordenadas tridimensional, o vetor 𝐀 terá três componentes, 𝑥, 𝑦 e 𝑧. Movendo ao longo do eixo O𝑥, podemos ver que a coordenada em 𝑥 é dois. A coordenada em 𝑦 é igual a três. Finalmente, a coordenada em 𝑧 é igual a quatro. Isto significa que o vetor 𝐀 é igual a dois, três, quatro. O vetor 𝐀 em termos das suas coordenadas é o deslocamento do ponto 𝐴 da origem nas direções de O𝑥, O𝑦 e O𝑧.

Na nossa questão final, determinaremos as coordenadas de um vetor 3D que está novamente representado graficamente.

Determine o vetor 𝐀𝐆 utilizando o gráfico.

Uma maneira de responder a esta questão seria recordar que podemos determinar o vetor 𝐀𝐁 subtraindo o vetor 𝐀 do vetor 𝐁. Isto significa que, na nossa questão, precisamos de subtrair o vetor 𝐀 do vetor 𝐆. O vetor 𝐀 é o deslocamento do ponto 𝐴 da origem. Este tem uma coordenada em 𝑥 de um, uma coordenada em 𝑦 de um e uma coordenada em 𝑧 de zero. Isto significa que o vetor 𝐀 é igual a um, um, zero. O vetor 𝐆 tem uma coordenada em 𝑥 de quatro, uma coordenada em 𝑦 de quatro e uma coordenada em 𝑧 de três. Isto significa que o vetor 𝐆 é igual a quatro, quatro, três.

Para calcular o vetor 𝐀𝐆, precisamos de subtrair um, um, zero de quatro, quatro, três. Ao subtrair vetores, subtraímos cada coordenada separadamente. Quatro menos um é igual a três. Ao subtrair as coordenadas em 𝑦, também obtemos três. O mesmo é verdade para as coordenada em 𝑧, pois três menos zero é igual a três. O vetor 𝐀𝐆 é, portanto, igual a três, três, três.

Um método alternativo aqui será reconhecer que temos um cubo de lado de comprimento três. Os vértices 𝐴 e 𝐺 são vértices opostos do cubo. Isto significa que precisamos de mover três unidades na direção de O𝑥, O𝑦 e O𝑧 para ir do ponto 𝐴 ao ponto 𝐺. Isto confirma que o vetor 𝐀𝐆 é igual a três, três, três.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Vimos na nossa primeira questão que um vetor unitário tem módulo de um. Um vetor no espaço tridimensional pode ser escrito em termos das suas três coordenadas, entre parêntesis triangulares 𝑥, 𝑦, 𝑧 ou 𝑥𝐢 mais 𝑦𝐣 mais 𝑧𝐤. O vetor que une dois pontos 𝐴 e 𝐵 no espaço 3D é escrito vetor 𝐀𝐁. Isto é igual ao vetor 𝐁 menos vetor 𝐀. Podemos, portanto, calcular as coordenada do vetor 𝐀𝐁 dadas as coordenadas dos pontos 𝐴 e 𝐵.

Também vimos que podemos determinar as coordenadas de um ponto desconhecido utilizando as coordenadas de um ponto conhecido e as coordenadas de um vetor conhecido. Por fim, vimos nas duas últimas questões que podemos determinar as coordenadas de um vetor 3D que é representado graficamente.

A Nagwa usa cookies para garantir que você tenha a melhor experiência em nosso site. Saiba mais sobre nossa Política de privacidade.