Lesson Video: Integrais de Funções Vetoriais

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Uma função com valor vetorial ou uma função vetorial é uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cujo contradomínio é um conjunto de vetores. Geralmente, estamos mais interessados ​​em funções vetoriais 𝐫, cujos valores são vetores tridimensionais. Neste vídeo, veremos como podemos utilizar a nossa compreensão do cálculo para nos ajudar a calcular integrais indefinidos e definidos de uma função vetorial em duas ou três dimensões. Portanto, é importante que esteja confiante a derivar uma série de funções, incluindo polinomiais, trigonométricas e exponenciais, bem como a aplicação das várias regras de integração.

O integral definido de uma função vetorial contínua 𝐫 de 𝑡 pode ser definida da mesma maneira que para funções com valor real, exceto que o integral é um vetor. Portanto, podemos dizer que o integral definido entre 𝑎 e 𝑏 de 𝐫 de 𝑡 em ordem a 𝑡 é o limite quando 𝑛 tende para ∞ da soma de 𝐫 de 𝑡 𝑖 estrela vezes △𝑡 para valores de 𝑖 de um a 𝑛. Então, podemos escrever o integral de 𝐫 em termos dos integrais das suas funções componentes 𝑓, 𝑔 e ℎ, como se apresenta. E, em seguida, utilizando a definição de integral como sendo o limite das somas de Riemann, vemos que podemos escrever o integral definido entre 𝑎 e 𝑏 de 𝐫 de 𝑡 em ordem a 𝑡 como o integral definido entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 de 𝑡 em ordem a 𝑡 𝐢. Mais o integral definido entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑔 de 𝑡 em ordem a 𝑡 𝐣. Mais o integral definido entre 𝑎 e 𝑏 de ℎ de 𝑡 em ordem a 𝑡 𝐤. E isto é ótimo porque significa que podemos simplesmente calcular um integral de uma função vetorial integrando cada função componente.

Podemos até estender parte do teorema fundamental do cálculo a funções vetoriais contínuas, de modo que o integral definido entre 𝑎 e 𝑏 de 𝐫 de 𝑡 em ordem a 𝑡 seja a primitiva 𝐑 maiúsculo calculado em 𝑏 menos 𝐑 maiúsculo calculado em 𝑎. Então, certamente, não é difícil de entender. Simplesmente integramos cada uma das nossas componentes da maneira habitual. Vamos ver como isto pode acontecer.

Calcule o integral indefinido de quatro 𝑡 ao cubos mais três 𝑡 ao quadrado 𝐢 mais quatro 𝑡 ao quadrado menos cinco 𝐣 mais quatro 𝑡 ao cubos menos cinco 𝑡 ao quadrado mais três 𝐤 em ordem a 𝑡.

Esta é uma função vetorial. Esta toma um número real 𝑡. E gera um vetor posição. E para integrar uma função vetorial, integramos simplesmente cada componente da maneira habitual. Então, integraremos a componente para em 𝐢 em ordem a 𝑡. É quatro 𝑡 ao cubo mais três 𝑡 ao quadrado. Vamos integrar a componente em 𝐣. É quatro 𝑡 ao quadrado menos cinco. E integraremos a componente em 𝐤, quatro 𝑡 ao cubo menos cinco 𝑡 ao quadrado mais três em ordem a 𝑡. Estas são funções polinomiais. E sabemos que, para integrar um termo polinomial cujo expoente não é igual a menos um, aumentamos esse expoente uma unidade e depois dividimos por este número. Isso significa que o integral de quatro 𝑡 ao cubo é quatro 𝑡 elevado a quatro sobre quatro. Integramos três 𝑡 ao quadrado e obtemos três 𝑡 ao cubo sobre três. E, claro, este é um integral indefinido. Portanto, devemos ter esta constante de integração 𝑎. Simplificando totalmente, obtemos 𝑡 elevado a quatro mais 𝑡 ao cubo mais 𝑎.

Da mesma forma, quando integramos quatro 𝑡 ao quadrado, temos quatro 𝑡 ao cubo sobre três. O integral de menos cinco é menos cinco 𝑡. E a seguir, precisamos de outra constante de integração 𝑏. Na nossa componente final, quando integramos quatro 𝑡 ao cubo, mais uma vez, obtemos quatro 𝑡 elevado a quatro sobre quatro. O integral de menos cinco 𝑡 ao quadrado é menos cinco 𝑡 ao cubo sobre três. E o integral de três é três 𝑡. Vamos ter a constante final de integração 𝑐. Isto simplifica como se mostra.

Colocamos isto de volta na forma vetorial. E vemos que o nosso integral é igual a 𝑡 elevado a quatro mais 𝑡 ao cubo mais 𝑎 𝐢 mais quatro terços 𝑡 ao cubo menos cinco 𝑡 mais 𝑏 𝐣 mais 𝑡 elevado a quatro menos cinco terços 𝑡 ao cubo mais três 𝑡 mais 𝑐 𝐤. Observe, porém, que cada uma das nossas componentes tem a sua própria constante. Então, podemos combiná-las e formar um vetor constante 𝐜. E isso significa que o nosso integral é igual a 𝑡 elevado a quatro mais 𝑡 ao cubo 𝐢 mais quatro terços 𝑡 ao cubo menos cinco 𝑡 𝐣 mais 𝑡 elevado a quatro menos cinco terços 𝑡 ao cubo mais três 𝑡 𝐤 mais este 𝐂 maiúsculo, que representa um vetor constante.

Vamos agora considerar como este processo difere ao calcular um integral definido.

Calcule o integral definido entre zero e 𝜋 sobre quatro de sec de 𝑡 tan de 𝑡 𝐢 mais 𝑡 vezes cos de dois 𝑡 𝐣 mais sen ao quadrado de dois 𝑡 vezes cos de dois 𝑡 𝐤 em ordem a 𝑡.

Lembre-se, para integrar uma função vetorial, integramos simplesmente cada componente da maneira habitual. Como este é um integral definido, podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo, que diz que o integral definido entre 𝑎 e 𝑏 de 𝐫 de 𝑡 em ordem a 𝑡 é igual à primitiva 𝐑 maiúsculo calculado em 𝑏 menos 𝐑 maiúsculo calculado em 𝑎. Então, essencialmente, tudo o que faremos é integrar cada uma das nossas componentes com ordem a 𝑡 e calculamo-las individualmente entre os limites de zero e 𝜋 sobre quatro.

Vamos concluir este processo para a componente em 𝐢. É o integral definido entre zero e 𝜋 sobre quatro de sec 𝑡 tan 𝑡. Podemos lembrar que a derivada de sec de 𝑡 é igual a sec 𝑡 tan 𝑡. Portanto, isto significa que a primitiva de sec 𝑡 tan 𝑡 deve ser sec 𝑡. Então, utilizamos o teorema fundamental do cálculo. E vemos que isto é igual a sec de 𝜋 sobre quatro menos sec de zero. Mas, é claro, sec de 𝑡 é igual a um sobre o cos de 𝑡. Portanto, precisamos de calcular um sobre cos de 𝜋 sobre quatro menos um sobre cos de zero. Isto é raiz dois menos um.

Limpámos um pouco de espaço para calcular o integral definido entre zero e 𝜋 sobre quatro de 𝑡 vezes cos de dois 𝑡. Desta vez, temos o produto de duas funções. Então, vamos utilizar a integração por partes para calcular. Isto diz que o integral de 𝑢 vezes d𝑣 sobre d𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a 𝑢 vezes 𝑣 menos o integral de 𝑣 vezes d𝑢 sobre d𝑥 em ordem a 𝑥. Seja 𝑢 igual a 𝑡. E é porque sabemos que d𝑢 sobre d𝑡 é simplesmente um. Isso torna o segundo integral muito mais simples. Isso significa que d𝑣 sobre d𝑡 deve ser cos de dois 𝑡. Então, a primitiva de cos dois 𝑡 dá-nos 𝑣. É um meio sen de dois 𝑡.

Agora, é claro, estamos a trabalhar com 𝑡 como parâmetro em vez de 𝑥. Mas, caso contrário, as substituições são as mesmas. Temos 𝑢 vezes 𝑣. Isso é 𝑡 vezes um meio sen dois 𝑡, que calcularemos em breve entre zero e 𝜋 sobre quatro menos o integral definido entre os limites de um meio sen dois 𝑡 vezes d𝑢 sobre d𝑡, que é um. Simplificamos um pouco isto. E vemos que precisaremos de calcular o integral definido entre zero e 𝜋 sobre quatro por um meio sen dois 𝑡 em ordem a 𝑡. Bem, a primitiva de um meio sen dois 𝑡 é menos um quarto cos dois 𝑡. E, se assim o desejarmos, podemos juntar estes termos e calculá-los entre os limites de zero e 𝜋 sobre quatro. Quando substituímos 𝜋 sobre quatro, obtemos 𝜋 sobre oito mais zero. E quando substituímos zero, obtemos zero mais um quarto. Então, isso dá-nos 𝜋 sobre oito menos um quarto.

Vamos limpar um pouco mais de espaço e determinar o integral definitivo final. Desta vez, vamos utilizar a integração por substituição. Seja 𝑢 igual a sen dois 𝑡. Sabemos que d𝑢 sobre d𝑡, a derivada do sen dois 𝑡 em ordem a 𝑡, é dois cos dois 𝑡. E embora d𝑢 sobre d𝑡 não seja uma fração, podemos reescrevê-la de forma equivalente como um meio d𝑢 igual a cos de dois 𝑡 d𝑡. Precisamos, então, de mudar o nosso limite. Então, utilizamos a nossa substituição para fazer isso. O nosso limite inferior é quando 𝑡 é igual a zero. E quando 𝑡 é igual a zero, 𝑢 é igual a sen de dois vezes zero, que é zero. Em seguida, quando 𝑡 é igual a 𝜋 sobre quatro, 𝑢 é igual ao sen de dois vezes 𝜋 sobre quatro, que é um.

Em seguida, substituímos sen dois 𝑡 por 𝑢. Podemos substituir cos de dois 𝑡 por um meio d𝑢. E, é claro, devemos garantir que substituímos o nosso limite. Podemos optar por tirar o fator constante um meio para fora do nosso integral e focar na integração de 𝑢 ao quadrado. Isso dá-nos 𝑢 ao cubo sobre três. Ao substituir os nossos limites, obtemos um meio vezes um ao cubo sobre três menos zero ao cubo sobre três, que é simplesmente igual a um sexto. Agora que calculámos os integrais de cada uma das nossas funções componentes, estamos prontos para retornar isto à forma vetorial. Fica raiz dois menos um 𝐢 mais 𝜋 sobre oito menos um quarto 𝐣 mais um sexto 𝐤.

Vamos dar uma olhadela noutro exemplo desta forma.

Calcule o integral definido entre zero e um da raiz cúbica de 𝑡 𝐢 mais um sobre 𝑡 mais um 𝐣 mais 𝑒 elevado a menos 𝑡 𝐤 em ordem a 𝑡.

Lembre-se, para integrar uma função vetorial, integramos simplesmente cada componente da maneira habitual. E como este é um integral definido, podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo e aplicá-lo a funções vetoriais contínuas, como se mostra. Aqui, 𝐑 maiúsculo, é claro, é a primitiva de 𝐫 minúsculo. Assim, vamos integrar cada componente em ordem a 𝑡 e calculá-la entre os limites de zero e um da maneira habitual. Começaremos por integrar a função componente em 𝐢. Esta é a raiz cúbica de 𝑡 em ordem a 𝑡. E, de facto, se escrevermos isto como 𝑡 elevado a um terço, isso tornar-se-á um pouco mais fácil. Adicionamos um ao expoente e depois dividimos por esse novo valor. Então, temos três quartos 𝑡 elevado a quatro sobre três. Então, calculando isto entre os limites de zero e um, obtemos três quartos de um elevado a quatro sobre três menos três quartos de zero elevado a quatro para três, que é simplesmente três quartos.

Em seguida, integramos a componente para 𝐣. Esta é um sobre um mais 𝑡. Lembramos então que o integral indefinido de 𝑓 linha de 𝑡 sobre 𝑓 de 𝑡 em ordem a 𝑡 é igual ao logaritmo natural do módulo de 𝑓 de 𝑡 mais uma constante de integração 𝑐. Bem, um é igual à derivada de um mais 𝑡. Portanto, o integral de um sobre um mais 𝑡 é o logaritmo natural do módulo de um mais 𝑡. E precisamos de calcular isto entre zero e um. Observe como eu não incluí a constante de integração aqui, porque este é um integral definido. E anula-se. Portanto, temos o logaritmo natural de um mais um menos o logaritmo natural de um mais zero. Não precisamos mais do sinal de módulo, porque sabemos que um mais um e um mais zero são maiores que zero. Portanto, este é o logaritmo natural de dois menos o logaritmo natural de um, que é, obviamente, apenas o logaritmo natural de dois.

Finalmente, integramos a nossa função componente em 𝐤. É o integral definido entre zero e um de 𝑒 elevado a menos 𝑡. O integral de 𝑒 elevado a menos 𝑡 é menos 𝑒 elevado a menos 𝑡. Portanto, temos menos 𝑒 elevado a menos um menos menos 𝑒 elevado a zero, que se torna menos 𝑒 elevado a menos um mais um ou um menos um sobre 𝑒. Agora, integrámos com sucesso cada uma das nossas funções componentes. Então, vamos colocá-las novamente na forma de vetor. O nosso integral definido é igual a três quartos 𝐢 mais o logaritmo natural de dois 𝐣 mais um menos um sobre 𝑒 𝐤. É importante perceber que este procedimento pode até ser aplicado a problemas de valor inicial.

Resolva a equação diferencial d𝐫 sobre d𝑡 igual a 𝑡 ao quadrado mais três 𝐢 mais cinco 𝑡 𝐣 mais três 𝑡 ao quadrado 𝐤, dado que 𝐫 de zero é igual a cinco 𝐢 mais três 𝐣 menos dois 𝐤.

Lembre-se, podemos começar por reescrever a nossa equação diferencial como d𝐫 igual a 𝑡 ao quadrado mais três 𝐢 mais cinco 𝑡 𝐣 mais três 𝑡 ao quadrado 𝐤 d𝑡. E a seguir, podemos integrar os dois membros desta equação. O integral de d𝐫 é igual ao integral de um em ordem a 𝐫. Portanto, é 𝐫 mais uma constante de integração 𝐜. Agora, de facto, 𝐜 deve ser um valor vetorial, já que 𝐫 é uma função vetorial. Em seguida, integramos cada função componente separadamente. E ficamos com 𝑡 ao cubo sobre três mais três 𝑡 mais uma constante para 𝐢, cinco 𝑡 ao quadrado sobre dois mais uma constante para 𝐣 e 𝑡 ao cubo mais uma constante extra para 𝐤. Eu combinei-os num vetor constante 𝐜 dois.

Vamos subtrair 𝐜 um dos dois membros. E vemos que procuramos determinar o valor deste vetor constante 𝐜. Podemos utilizar o facto de que 𝐫 de zero é igual a cinco 𝐢 mais três 𝐣 menos dois 𝐤 para o fazer. Portanto, substituímos 𝐫 por cinco 𝐢 mais três 𝐣 menos dois 𝐤 e 𝑡 por zero. E obtemos cinco 𝐢 mais três 𝐣 menos dois 𝐤 igual a zero 𝐢 mais zero 𝐣 mais zero 𝐤. Agora, é claro, não precisamos de cada um destes. E vemos que 𝐜 deve ser igual a cinco 𝐢 mais três 𝐣 menos dois 𝐤. Podemos substituir 𝐜 por este vetor. E a seguir, podemos juntar os 𝐢, os 𝐣 e os 𝐤. E quando o fazemos, descobrimos que 𝐫 é igual a 𝑡 ao cubo sobre três mais três 𝑡 mais cinco 𝐢 mais cinco 𝑡 ao quadrado sobre dois mais três 𝐣 mais 𝑡 ao cubo menos dois 𝐤.

Neste vídeo, aprendemos que podemos calcular o integral de uma função vetorial integrando cada uma das suas funções componentes. Este processo pode ser aplicado em integrais definidos e indefinidos. E podemos até estender o teorema fundamental do cálculo a funções vetorial, de modo que o integral definido entre 𝑎 e 𝑏 de 𝐫 de 𝑡 em ordem a 𝑡 seja igual à primitiva 𝐑 maiúsculo calculada em 𝑏 menos a primitiva calculado em 𝑎.