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Vídeo da aula: Série Aritmética Mathematics • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética com um número definido de termos.

16:09

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética com um número definido de termos. Começaremos por recordar o que queremos dizer com progressão aritmética e série aritmética.

A lista de números escrita numa ordem definida é chamada de sucessão. Numa progressão aritmética, a diferença entre um termo e o seguinte é uma constante. Isto é conhecido como a razão e é denotado pela letra 𝑑. O primeiro termo de uma progressão aritmética 𝑎 índice um é geralmente escrito apenas como 𝑎. O segundo termo 𝑎 índice dois será, portanto, igual a 𝑎 mais 𝑑. Para chegar ao terceiro termo, precisaremos de adicionar 𝑑 novamente, então 𝑎 índice três é igual a 𝑎 mais 𝑑 mais 𝑑. Isto pode ser simplificado para 𝑎 mais dois 𝑑. Este padrão continua de modo que o quarto termo seja 𝑎 mais três 𝑑, o quinto termo 𝑎 mais quatro 𝑑 e assim por diante.

Percebemos que o segundo termo tem um 𝑑. O terceiro termo tem dois 𝑑’s. O quarto termo terá três 𝑑 e assim por diante. Isto significa que o 𝑛-ésimo termo terá 𝑛 menos um 𝑑’s. Isto leva-nos à fórmula do termo geral de uma progressão aritmética 𝑎 índice 𝑛 é igual a 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. Ao lidar com uma sequência finita, como neste vídeo, podemos denotar o último termo como 𝑙. A soma dos termos de uma progressão aritmética é chamada de série aritmética. Isto significa que uma série aritmética será escrita na forma 𝑎 mais 𝑎 mais 𝑑 mais 𝑎 mais dois 𝑑 e assim por diante até 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑.

Agora utilizaremos estas informações para provar duas fórmulas para calcular a soma dos primeiros 𝑛 termos de uma progressão aritmética.

Determine uma expressão para a soma de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 𝑎 e cuja razão é 𝑑.

É -nos dito na questão que o primeiro termo da nossa progressão aritmética é 𝑎 e a razão é 𝑑. Estamos a tentar determinar uma expressão para a soma dos primeiros 𝑛 termos que escreveremos como 𝑆 índice 𝑛. Este será igual ao primeiro termo 𝑎 mais o segundo termo 𝑎 mais 𝑑 e assim por diante. Sabemos que o 𝑛-ésimo termo de qualquer progressão aritmética é igual a 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. Isto significa que o penúltimo termo é igual a 𝑎 mais 𝑛 menos dois multiplicado por 𝑑. Vamos chamar esta equação de um.

Em seguida, inverteremos a ordem desta soma, o que podemos fazer porque a adição é comutativa. Isto dá-nos 𝑆 índice 𝑛 é igual a 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑 mais 𝑎 mais 𝑛 menos dois multiplicado por 𝑑 e assim por diante e finalmente mais 𝑎 mais 𝑑 mais 𝑎. Chamaremos esta equação de dois. Adicionar a equação um e a equação dois dá-nos dois multiplicados por 𝑆 índice 𝑛 no primeiro membro. No segundo membro, adicionaremos cada par de termos. Adicionando o primeiro par, vemos que 𝑎 mais 𝑎 é igual a dois 𝑎. Portanto, temos dois 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑.

O segundo par de termos tem a mesma soma que 𝑎 mais 𝑎 é igual a dois 𝑎 e 𝑑 mais 𝑛 menos dois 𝑑 é igual a 𝑛 menos um 𝑑. Na verdade, isto será verdade para cada um dos pares nas nossas equações. Cada par de termos somará para nos dar dois 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. Temos 𝑛 destes termos, pelo que podemos reescrever o segundo membro como 𝑛 multiplicado por dois 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. Dividindo ambos os membros da nossa equação por dois, obtemos 𝑆 índice 𝑛 igual a 𝑛 sobre dois multiplicado por dois 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. Esta é uma expressão para a soma de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 𝑎 e cuja diferença comum é 𝑑.

Veremos agora uma fórmula alternativa para a soma de uma progressão aritmética.

Escreva uma expressão para a soma dos primeiros 𝑛 termos de uma progressão aritmética com o primeiro termo 𝑎 e o último termo 𝑙.

Sabemos que a soma dos primeiros 𝑛 termos de uma progressão aritmética pode ser calculada utilizando a fórmula 𝑛 sobre dois multiplicado por dois 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑, onde 𝑛 é o número de termos, 𝑎 é o primeiro termo, e 𝑑 é a razão. Também sabemos que o 𝑛 -ésimo termo 𝑎 índice 𝑛 é igual a 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. É -nos dito nesta questão que 𝑙 é o último termo. Portanto, 𝑙 é igual a 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. Como 𝑎 mais 𝑎 é igual a dois 𝑎, podemos reescrever a nossa fórmula para 𝑆 índice 𝑛 como 𝑛 sobre dois multiplicado por 𝑎 mais 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑.

Sabemos que a segunda parte dentro dos parênteses 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑 é igual a 𝑙. A soma dos primeiros 𝑛 termos de uma progressão aritmética com o primeiro termo 𝑎 e o último termo 𝑙 é, portanto, igual a 𝑛 sobre dois multiplicado por 𝑎 mais 𝑙.

Vamos agora resumir brevemente as fórmulas que utilizaremos no restante deste vídeo. O 𝑛-ésimo termo 𝑎 índice 𝑛 é igual a 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. A soma dos primeiros 𝑛 termos escritos 𝑆 índice 𝑛 é igual a 𝑛 sobre dois multiplicado por dois 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. Como estamos a lidar com sequências finitas, haverá um último termo 𝑙. Isto será igual a 𝑎 índice 𝑛. Portanto, 𝑆 índice 𝑛 também é igual a 𝑛 sobre dois multiplicado por 𝑎 mais 𝑙. Agora, utilizaremos estas fórmulas para resolver problemas que envolvem progressões aritméticas finitas.

Determine a soma dos 10 primeiros termos da progressão aritmética cujo primeiro termo é cinco e a razão é oito.

Dizem-nos que o primeiro termo, denotado pela letra 𝑎, é igual a cinco. A razão 𝑑 da nossa progressão aritmética é igual a oito. Como precisamos de calcular a soma dos 10 primeiros termos, 𝑛 é igual a 10. Sabemos que a soma dos primeiros 𝑛 termos de uma progressão aritmética, denotada 𝑆 índice 𝑛, é igual a 𝑛 sobre dois multiplicado por dois 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. Substituindo os nossos valores de 𝑎, 𝑑 e 𝑛, podemos calcular 𝑆 índice 10. Isto é igual a 10 dividido por dois multiplicado por dois multiplicado por cinco mais 10 menos um multiplicado por oito. Dois multiplicado por cinco é igual a 10 e 10 menos um multiplicado por oito é igual a 72. Multiplicar 82 por cinco dá-nos 410.

A soma dos 10 primeiros termos da progressão aritmética cujo primeiro termo é cinco e a razão é oito é 410.

Agora, examinaremos uma questão semelhante em que os nossos termos são negativos.

Determine a soma dos termos da progressão aritmética de 11 termos cujo primeiro termo é menos 92 e o último termo é menos 102.

O primeiro termo 𝑎 da nossa progressão aritmética é igual a menos 92 e o último termo 𝑙 é igual a menos 102. Também nos é dito que existem 11 termos na progressão. Portanto, 𝑛 é igual a 11. Poderemos utilizar esta informação para calcular a razão 𝑑. No entanto, nesta questão, não é necessário. Podemos calcular a soma dos primeiros 𝑛 termos utilizando a fórmula 𝑛 sobre dois multiplicado por 𝑎 mais 𝑙. Substituindo os nossos valores, vemos que 𝑆 índice 11 é igual a 11 sobre dois multiplicado por menos 92 mais menos 102. 11 dividido por dois é igual a 5.5 e menos 92 mais menos 102 é igual a menos 194. Multiplicar estes dois valores dá-nos menos 1067.

A soma dos 11 termos na progressão aritmética cujo primeiro termo é menos 92 e o último termo é menos 102 é menos 1067.

Na nossa próxima questão, precisamos de determinar a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética, dado o 𝑛-ésimo termo.

Determine a soma dos 10 primeiros termos da progressão 𝑎 índice 𝑛, onde 𝑎 índice 𝑛 é igual a dois 𝑛 mais quatro.

Existem algumas maneiras de abordar este problema. Uma maneira será calcular o primeiro e o último termos da progressão. Como existem 10 termos, estes são denotados por 𝑎 índice um e 𝑎 índice 10. O primeiro termo será igual a dois multiplicado por um mais quatro. Isto é igual a seis. O décimo termo 𝑎 índice 10 é igual a dois multiplicado por 10 mais quatro. Isto é igual a 24. Agora podemos utilizar a fórmula 𝑆 índice 𝑛 é igual a 𝑛 sobre dois multiplicado por 𝑎 mais 𝑙, onde 𝑎 é igual a seis, o primeiro termo, e 𝑙 é igual a 24, o 10.º ou último termo. 𝑆 índice 10 é igual a 10 sobre dois multiplicado por seis mais 24. Isto simplifica para cinco multiplicado por 30, dando-nos uma resposta para a soma dos 10 primeiros termos da progressão de 150.

Um método alternativo será reconhecer que a nossa progressão é linear. Portanto, a razão 𝑑 é igual a dois, o coeficiente de 𝑛. Se 𝑎 índice 𝑛 é igual a dois 𝑛 mais quatro, a nossa progressão é seis, oito, 10 e assim por diante. Poderemos então utilizar a fórmula de que 𝑆 índice 𝑛 é igual a 𝑛 sobre dois multiplicado por dois 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. Substituir os nossos valores aqui dá-nos 𝑆 índice 10 é igual a 10 sobre dois multiplicado por dois multiplicado por seis mais 10 menos um multiplicado por dois. Isto simplifica para cinco multiplicado por 12 mais 18, que mais uma vez é igual a cinco multiplicado por 30, o que nos dá uma resposta de 150.

Vamos agora olhar para uma questão final.

Determine, em termos de 𝑛, a soma da progressão aritmética nove, 10, 11 e assim por diante até 𝑛 mais oito.

Existem duas fórmulas que podemos utilizar para calcular a soma de uma progressão aritmética. Em primeiro lugar, 𝑆 índice 𝑛 é igual a 𝑛 sobre dois multiplicado por 𝑎 mais 𝑙, onde 𝑎 é o primeiro termo e 𝑙 é o último termo da progressão. Em segundo lugar, 𝑆 índice 𝑛 é igual a 𝑛 sobre dois multiplicado por dois 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. Mais uma vez, 𝑎 é o primeiro termo e 𝑑 é a razão da progressão. Podemos ver que o primeiro termo 𝑎 é igual a nove e o último termo 𝑙 é 𝑛 mais oito. 𝑆 índice 𝑛 é, portanto, igual a 𝑛 sobre dois multiplicado por nove mais 𝑛 mais oito. Juntando termos semelhantes entre parênteses dá-nos 𝑛 sobre dois multiplicado por 𝑛 mais 17. Esta é a expressão, em termos de 𝑛, para a soma da progressão aritmética.

Se escolhermos utilizar a outra fórmula, podemos ver na progressão que a razão é igual a um. Substituindo em nossos valores de 𝑎 e 𝑑 dá-nos 𝑆 índice 𝑛 é igual a 𝑛 sobre dois multiplicado por dois multiplicado por nove mais 𝑛 menos um multiplicado por um. A expressão entre parênteses simplifica para 18 mais 𝑛 menos um. 18 menos um é igual a 17. Portanto, a expressão, mais uma vez, é 𝑛 sobre dois multiplicado por 𝑛 mais 17. Esta é a soma da progressão aritmética nove, 10, 11 e assim por diante até 𝑛 mais oito.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Vimos neste vídeo que uma progressão aritmética tem primeiro termo 𝑎, último termo 𝑙 e razão 𝑑. O 𝑛-ésimo termo de uma progressão aritmética 𝑎 índice 𝑛 é igual a 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑. Ao lidar com uma progressão aritmética finita, esta também será igual ao último termo 𝑙. A soma dos termos de uma progressão aritmética é chamada de série aritmética. Podemos calcular esta soma representada por 𝑆 índice 𝑛 utilizando uma de duas fórmulas, 𝑛 sobre dois multiplicado por dois 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑 ou 𝑛 sobre dois multiplicado por 𝑎 mais 𝑙. A fórmula que escolhermos dependerá das informações dadas numa questão específica.

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