Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos a resolver equações trigonométricas usando a identidade de
arco duplo. Encontraremos soluções para um determinado intervalo em graus ou radianos. As equações com as quais estamos lidando poderão ser simplificadas usando as
identidades de arco duplo ou as identidades de arco metade. Começaremos lembrando como podemos resolver equações simples usando o método CAST ou
gráficos trigonométricos.
Como já mencionado, duas unidades para medir ângulos são graus e radianos. Lembramos que 180 graus é igual a 𝜋 radianos. Isso significa que 90 graus é igual a 𝜋 sobre dois radianos e 360 graus é igual a
dois 𝜋 radianos. Podemos encontrar as soluções para uma equação trigonométrica desenhando o gráfico
apropriado ou usando o diagrama CAST. Embora haja um número infinito de soluções para nossas equações, neste vídeo, nos
concentraremos em soluções entre zero e 360 graus ou zero e dois 𝜋 radianos. Medimos os ângulos no sentido anti-horário a partir do eixo 𝑥 positivo, como
mostrado. Podemos substituir os valores em graus pelos valores correspondentes em radianos.
No primeiro quadrante, rotulado como A, os valores de sen de 𝜃, cos de 𝜃 e tg de 𝜃
são todos positivos. No segundo quadrante, rotulado S, o valor de sen 𝜃 é positivo, enquanto o valor de
cos 𝜃 e tg 𝜃 são negativos. No terceiro quadrante, o tg de 𝜃 é positiva, enquanto o sen de 𝜃 e o cos de 𝜃 são
negativos. Portanto, isso é verdade quando 𝜃 está entre 180 e 270 graus. Finalmente, quando 𝜃 está entre 270 e 360 graus, conhecido como o quarto quadrante,
o valor de cos 𝜃 é positivo, enquanto os valores de sen 𝜃 e tg 𝜃 são
negativos. Podemos usar essas informações para resolver equações trigonométricas simples.
Encontre o conjunto de todas as soluções possíveis de cos 𝜃 igual a um meio, dado
que 𝜃 existe entre zero e 360 graus inclusive.
Os colchetes aqui significam que 𝜃 deve ser maior ou igual a grau zero e menor ou
igual a 360 graus. Se tivéssemos colchetes ou parênteses, 𝜃 seria estritamente maior ou menor que o
valor. Para resolver a equação cos 𝜃 é igual a um meio, tomamos o cosseno inverso de ambos
os lados da equação. Resolvendo isso nos dá um valor de 𝜃 igual a 60 graus. Nesse estágio, vale a pena esboçar nosso diagrama CAST, pois podemos ver em quais
quadrantes nossas soluções se encontram. Como o cos de 𝜃 é positivo, haverá soluções no primeiro e no quarto quadrantes.
Já temos a solução no primeiro quadrante. Isso é igual a 60 graus. Podemos calcular a solução no quarto quadrante subtraindo 60 graus de 360 graus. Isso nos dá uma resposta de 300 graus. O conjunto solução de cos 𝜃 igual a metade entre zero e 360 graus são 60 graus e 300
graus.
Vamos agora considerar alguns problemas mais complicados usando as identidades de
arco duplo.
Nossas identidades de arco duplo são as seguintes. Em primeiro lugar, o sen de dois 𝜃 é igual a dois sen 𝜃 cos 𝜃. Observe que às vezes as identidades também são escritas com uma linha tripla, o que
mostra que elas são verdadeiras para todos os valores da variável. O cos de dois 𝜃 é igual a cos ao quadrado 𝜃 menos sen ao quadrado 𝜃. Usando o fato de que sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 é igual a um, cos de
dois 𝜃 também é igual a dois cos ao quadrado 𝜃 menos um e um menos dois sen ao
quadrado 𝜃. Finalmente, temos que o tg de dois 𝜃 é igual a dois tg 𝜃 dividido por um menos tg
ao quadrado 𝜃.
Neste vídeo, não vamos provar essas identidades. Nós simplesmente as citaremos para resolver nossas equações. Em nossa próxima pergunta, usaremos o fato de que sen de dois 𝜃 é igual a dois sen
𝜃 cos 𝜃.
Encontre o conjunto solução possível de dois sen 𝜃 cos 𝜃 igual a zero, dado que
𝜃 é maior ou igual a zero e menor que 360 graus.
O colchete nos diz que 𝜃 é maior ou igual a zero grau, enquanto o parenteses nos
diz que 𝜃 é estritamente menor que 360 graus. Podemos resolver nossa equação usando nosso conhecimento das identidades de arco
duplo. Sabemos que sen de dois 𝜃 é igual a dois sen 𝜃 cos 𝜃. Isso significa que precisamos resolver sen de dois 𝜃 é igual a zero. Tomando o inverso do seno de ambos os lados dessa equação, obtemos dois 𝜃 que é
igual ao inverso do seno de zero.
Enquanto resolver essa equação nos daria uma solução, vale a pena esboçar os
gráficos de sen 𝜃 e sen de dois 𝜃 antes de prosseguir. Sabemos que sen 𝜃 é uma função periódica e estamos interessados em valores entre
zero e 360 graus. Tem um valor máximo de um e um valor mínimo de menos um, como mostrado. O gráfico de sen de dois 𝜃 será uma dilatação ou ampliação. O gráfico será esticado por um fator de escala de um meio na direção
horizontal. Isso significa que terá a aparência mostrada.
Isso tem um valor máximo de um quando 𝜃 é 45 graus e um valor mínimo de menos um
quando 𝜃 é 135 graus. Estamos interessados nos pontos em que o gráfico é igual a zero. Existem cinco desses pontos em nosso gráfico, em zero, 90, 180, 270 e 360
graus. Lembramos, porém, que 𝜃 deve ser menor que 360 graus. Portanto, nosso último ponto não é uma solução. As quatro soluções da equação dois sen 𝜃 cos 𝜃 é igual a zero, onde 𝜃 é maior
ou igual a grau zero e menor que 360 graus, são zero, 90, 180 e 270 graus.
Em nosso próximo exemplo, usaremos uma das identidades de ângulo duplo envolvendo cos
de dois 𝜃.
Encontre o conjunto solução para 𝑥 dado o cos de dois 𝑥 mais 13 raiz de três
multiplicado pelo cos de 𝑥 é igual a menos 19, onde 𝑥 existe entre zero e dois
𝜋.
Os parênteses ou colchetes nos dizem que 𝑥 é estritamente maior que zero e menor
que dois 𝜋. Isso também indica que precisamos fornecer nossas soluções em radianos. Podemos resolver a equação nesse intervalo usando nossas identidades de arco
duplo.
Uma dessas identidades afirma que o cos de dois 𝑥 é igual a dois cos ao quadrado
𝑥 menos um. Podemos, portanto, reescrever nossa equação como mostrado. Podemos então adicionar 19 a ambos os lados da equação, dando-nos dois cos ao
quadrado 𝑥 mais 13 raiz de três cos 𝑥 mais 18 é igual a zero. Se deixarmos 𝑦 igual a cos de 𝑥, isso pode ser reescrito como dois 𝑦 ao
quadrado mais 13 raiz de três 𝑦 mais 18 igual a zero.
Agora temos uma equação quadrática na forma 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐
igual a zero, que podemos resolver usando a fórmula quadrática, como
mostrado. Nossos valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são dois, 13 raiz de três e 18,
respectivamente. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos dois valores para 𝑦. Ou 𝑦 é igual a menos raiz de três sobre dois ou menos seis raiz de três. Isso significa que o cos de 𝑥 deve ser igual a menos raiz de três sobre dois ou
menos seis raiz de três.
Como o valor do cos de 𝑥 deve estar entre menos um e um inclusive, a segunda
opção não tem soluções. Agora podemos resolver a equação cos de 𝑥 é igual a menos raiz de três sobre
dois usando nosso diagrama CAST. Como o cos do nosso ângulo é negativo, teremos soluções no segundo e terceiro
quadrantes. Uma de nossas soluções estará entre 𝜋 sobre dois e 𝜋 e a nossa segunda entre 𝜋
e três 𝜋 sobre dois.
Sabemos que o cos de 30 graus ou 𝜋 sobre seis radianos é igual a raiz de três
sobre dois. Isso significa que nossas duas soluções serão iguais a 𝜋 menos 𝜋 sobre seis e
𝜋 mais 𝜋 sobre seis. Isso nos dá duas soluções: cinco 𝜋 sobre seis e sete 𝜋 sobre seis. O conjunto solução da equação cos de dois 𝑥 mais 13 raiz de três cos 𝑥 é igual
a menos 19 são cinco 𝜋 sobre seis e sete 𝜋 sobre seis.
Antes de responder à nossa pergunta final, consideraremos as identidades de arco
metade.
Em primeiro lugar, temos que o sen de 𝜃 sobre dois é igual a mais ou menos a raiz
quadrada de um menos cos 𝜃 todos divididos por dois. A segunda identidade é muito semelhante. O cos de 𝜃 sobre dois é igual a mais ou menos a raiz quadrada de um mais cos 𝜃
todos divididos por dois. Finalmente, temos que o tg de 𝜃 sobre dois é igual ao sen de 𝜃 dividido por um mais
o cos de 𝜃. Alternativamente, isso é igual a um menos o cos de 𝜃 dividido pelo sen de 𝜃. Vamos agora considerar uma questão em que precisamos usar uma dessas identidades.
Resolva tg de 𝑥 sobre dois é igual a sen 𝑥, onde 𝑥 é maior ou igual a zero e
menor que dois 𝜋 radianos.
A pergunta nos diz que nossas soluções devem ser menores que dois 𝜋 e maiores ou
iguais a zero. Isso significa que poderemos resolver as equações usando o diagrama CAST ou
esboçando nossos gráficos trigonométricos. Usando uma de nossas identidades de arco metade, sabemos que tg de 𝑥 sobre dois
é igual a um menos cos 𝑥 dividido pelo sen 𝑥. Isso significa que podemos reescrever nossa equação como um menos cos 𝑥 dividido
por sen 𝑥 é igual a sen 𝑥
Multiplicando ambos os lados da equação por sen 𝑥 nos dá um menos cos 𝑥 é igual
a sen ao quadrado 𝑥. Como sen ao quadrado 𝑥 é igual a um menos cos ao quadrado 𝑥, temos um menos cos
𝑥 é igual a um menos cos ao quadrado 𝑥. Podemos então adicionar cos ao quadrado 𝑥 e subtrair um de ambos os lados da
nossa equação. Isso nos dá cos ao quadrado 𝑥 menos cos 𝑥 é igual a zero. Fatorando cos 𝑥 nos dá cos 𝑥 multiplicado por cos 𝑥 menos um é igual a
zero. Isso significa que cos de 𝑥 é igual a zero ou cos de 𝑥 menos um é igual a
zero. A segunda equação pode ser reescrita como o cos de 𝑥 é igual a um.
Agora temos duas equações que podem ser resolvidas usando o diagrama CAST ou
desenhando o gráfico de cos 𝑥. O gráfico de cosseno entre zero e dois 𝜋 se parece com o mostrado. Lembrando que nossos valores precisam ser maiores ou iguais a zero e menores que
dois 𝜋, vemos que o gráfico é igual a zero quando 𝑥 é igual a 𝜋 sobre dois e
três 𝜋 sobre dois. cos de 𝑥 é igual a um quando 𝑥 é igual a zero ou dois 𝜋. No entanto, dois 𝜋 não estão dentro do intervalo de valores para 𝑥. Isso significa que existem três soluções para nossa equação. A tg de 𝑥 sobre dois é igual ao sen de 𝑥 quando 𝑥 é igual a zero, 𝜋 sobre
dois e três 𝜋 sobre dois.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Vimos neste vídeo que podemos resolver equações trigonométricas usando as identidades
de arco duplo. Também podemos usar adaptações dessas equações conhecidas como identidades de arco
metade Em ambos os casos, geralmente recebemos uma faixa de valores entre zero e 360 graus
ou zero e dois 𝜋 radianos. Podemos então usar nosso diagrama CAST ou os gráficos trigonométricos para nos ajudar
a resolver as equações.
