Vídeo: Números Complexos Conjugados

Neste vídeo, aprenderemos como usar as propriedades dos números conjugados para calcular uma expressão.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como usar o conjugado de um número complexo para calcular expressões. Começaremos definindo o que queremos dizer com o complexo conjugado, antes de considerar suas propriedades e como elas podem ser exploradas para nos ajudar a resolver equações envolvendo números complexos. Ao longo deste vídeo, procuraremos, sempre que possível, obter resultados gerais que possam ser usados ​​em problemas de números complexos mais complicados.

Cada número complexo está associado a outro número complexo, conhecido como seu conjugado. A definição da palavra conjugado é ter características em comum, mas opostas ou inversas em algo particular. Fora da matemática, pode significar justapor ou unir-se, indicando que um número complexo e seu conjugado têm uma relação especial. Vamos ver a definição. Para um número complexo da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, seu conjugado denotado por 𝑧 barra ou 𝑧 estrela é 𝑎 menos 𝑏𝑖. Em termos leigos, o conjugado de um número complexo é encontrado alterando o sinal da parte imaginária do número.

Por exemplo, um número complexo dado como três mais dois 𝑖 — teremos um complexo conjugado de três menos dois 𝑖. Da mesma forma, um número complexo, quatro menos seis 𝑖 — teremos um conjugado de quatro mais seis 𝑖. E, de fato, o complexo conjugado do conjugado é quatro menos seis 𝑖. E podemos ver que podemos generalizar isso e dizer que o complexo conjugado do conjugado é simplesmente o número original. É 𝑧.

E que tal um número puramente real? Isso terá um conjugado? Bem, sim. De fato, podemos dizer que um número real é da forma 𝑎. Este é realmente um número complexo. Mas é uma das formas 𝑎 mais zero 𝑖. Sua parte imaginária é zero. Como mudamos o sinal da parte imaginária para encontrar o conjugado, o conjugado desse número será 𝑎 menos zero 𝑖. Mas claro, isso ainda é 𝑎. Então o conjugado do número real é simplesmente esse número. Outra beleza do conjugado é que ele compartilha todas as mesmas propriedades que qualquer outro número complexo. É distributivo sobre adição e multiplicação. E nós vamos ver agora o que isso se parece.

Se 𝑠 é igual a oito mais dois 𝑖, quanto é 𝑠 mais 𝑠 estrela?

Lembre-se, 𝑠 estrela é o conjugado do número complexo 𝑠, dado por oito mais dois 𝑖. Podemos dizer que o conjugado complexo de um número 𝑧, dado por 𝑎 mais 𝑏𝑖, é 𝑧 estrela igual a 𝑎 menos 𝑏𝑖. Nosso número complexo tem uma parte real de oito e uma parte imaginária de dois. Isso significa que seu conjugado complexo é oito menos dois 𝑖. E isso também significa que a soma dos dois números é oito mais dois 𝑖 mais oito menos dois 𝑖. E adicionamos esses itens adicionando suas partes reais e adicionando separadamente suas partes imaginárias, que muitas vezes pensamos em agrupar termos semelhantes. Oito mais oito é 16. E dois 𝑖 menos dois 𝑖 é zero. E vemos que 𝑠 mais 𝑠 estrela é 16.

Observe como a soma de um número complexo e seu conjugado é apenas um número real. E isso faz muito sentido se considerarmos a forma geral. 𝑧 mais 𝑧 estrela é 𝑎 mais 𝑏𝑖 mais 𝑎 menos 𝑏𝑖. 𝑏𝑖 menos 𝑏𝑖 é zero. E, portanto, vemos que a soma de um número complexo com seu conjugado complexo é simplesmente dois 𝑎. Ou, alternativamente, poderíamos dizer que a soma de um número complexo e seu conjugado são duas vezes a parte real desse número.

Da mesma forma, a diferença é 𝑎 mais 𝑏𝑖 menos 𝑎 menos 𝑏𝑖. Nós distribuímos o segundo parênteses multiplicando cada parte por menos um. E temos 𝑎 mais 𝑏𝑖 menos 𝑎 mais 𝑏𝑖. Desta vez, 𝑎 menos 𝑎 é zero, que é igual a dois 𝑏𝑖. Podemos, portanto, dizer que a diferença entre um número complexo e seu conjugado é dois 𝑖 multiplicado pela parte imaginária daquele número complexo. Agora veremos um exemplo detalhado de uma equação envolvendo a soma e a diferença de um número complexo e seu conjugado.

Encontre o número complexo 𝑧 que satisfaz as seguintes equações. 𝑧 mais 𝑧 estrela é igual a menos cinco. 𝑧 estrela menos 𝑧 é igual a três 𝑖.

Lembre-se, 𝑧 estrela representa o conjugado do número complexo 𝑧. 𝑧 terá a forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, onde 𝑎 e 𝑏 são números reais. E 𝑧 estrela será da forma 𝑎 menos 𝑏𝑖. Nós mudamos o sinal da parte imaginária. A primeira equação nos diz a soma desses dois números. Podemos formar uma expressão para a soma deles usando a forma geral do número complexo. É 𝑎 mais 𝑏𝑖 mais 𝑎 menos 𝑏𝑖. Isso simplifica para dois 𝑎 ou dois multiplicados pela parte real de 𝑧.

Agora, de fato, sabemos que a soma desses números é menos cinco. Então podemos dizer que menos cinco é igual a dois multiplicado pela parte real de 𝑧. E nós resolvemos dividindo por dois. E vemos que a parte real de 𝑧 é igual a menos cinco sobre dois.

A segunda equação nos diz a diferença desses dois números. Isso é 𝑎 menos 𝑏𝑖 menos 𝑎 mais 𝑏𝑖. Nós distribuímos o segundo parênteses multiplicando cada termo por menos um. E temos 𝑎 menos 𝑏𝑖 menos 𝑎 menos 𝑏𝑖, que é menos dois 𝑏𝑖. Isso é igual a menos dois 𝑖 multiplicado pela parte imaginária de 𝑧. E, claro, sabemos que isso é igual a três 𝑖. Assim, vemos que três 𝑖 é igual a menos dois 𝑖 multiplicado pela parte imaginária de 𝑧. Para resolver essa equação, nós nos dividimos por menos dois 𝑖. E como 𝑖 dividido por 𝑖 é um, vemos que a parte imaginária de 𝑧 é menos três sobre dois.

É útil identificar que, como alternativa, poderíamos ter multiplicado por menos um. Isso nos daria 𝑧 menos 𝑧 a estrela é igual a menos três 𝑖. Mas isso resultaria na mesma solução. Assim, sabemos que o número complexo 𝑧, que satisfaz as duas equações dadas, tem uma parte real de menos cinco sobre dois e uma parte imaginária de menos três sobre dois. Portanto, esta solução é menos cinco sobre dois menos três sobre dois 𝑖. Agora você deve ser capaz de ver por que aprender a definição da soma e da diferença de um número complexo e seu conjugado pode ser um ganho de tempo. Em seguida, consideraremos o produto de um número complexo e seu conjugado.

Encontre o complexo conjugado de um mais 𝑖 e o produto deste número com seu complexo conjugado.

Lembre-se, o complexo conjugado é encontrado alterando o sinal da parte imaginária do número complexo. Isso significa que o complexo conjugado de um mais 𝑖 é um menos 𝑖. E nós queremos encontrar o produto de um mais 𝑖 e um menos 𝑖. Encontramos o produto desses dois números exatamente como faríamos com quaisquer dois binômios.

O método PEIU pode ser uma boa maneira de fazer isso. P significa primeiro. Nós multiplicamos o primeiro termo no primeiro parêntese pelo primeiro termo no segundo parêntese. Um multiplicado por um é um. E significa exterior. Nós multiplicamos os dois termos exteriores. Um multiplicado por menos 𝑖 é menos 𝑖. I significa interior. Nós multiplicamos os termos internos. E 𝑖 multiplicado por um é 𝑖. E finalmente, U significa último. Nós multiplicamos o último termo em cada parêntese. 𝑖 multiplicado por menos 𝑖 é menos 𝑖 ao quadrado. E, claro, 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Como menos 𝑖 mais 𝑖 é zero, isso se torna um menos menos um, que é dois. E o produto deste número com seu complexo conjugado é dois. Podemos generalizar esse resultado. E logo veremos que há várias aplicações para o complexo conjugado.

Seja 𝑎 mais 𝑏𝑖 um número complexo cujo conjugado é 𝑎 menos 𝑏𝑖. Seu produto é 𝑎 mais 𝑏𝑖 multiplicado por 𝑎 menos 𝑏𝑖. Se expandirmos esses parênteses como antes, obtemos 𝑎 ao quadrado menos 𝑎𝑏𝑖 mais 𝑎𝑏𝑖 menos 𝑏 ao quadrado 𝑖 ao quadrado. E, claro, menos 𝑎𝑏𝑖 mais 𝑎𝑏𝑖 é zero. E você pode perceber que isso é como a diferença de dois quadrados. Vamos substituir menos um por 𝑖 ao quadrado. E vemos que o produto desse número complexo com seu conjugado é 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Assim, 𝑧 multiplicado por 𝑧 estrela é 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Nos nossos dois últimos exemplos, consideraremos algumas questões mais complicadas envolvendo somas e produtos de números complexos e seus conjugados.

Considere 𝑧 é igual a cinco menos 𝑖 raiz de três e 𝑤 é igual a raiz de dois mais 𝑖 raiz de cinco. Parte um, calcule 𝑧 estrela e 𝑤 estrela. Parte dois, encontre 𝑧 estrela mais 𝑤 estrela e 𝑧 mais 𝑤 estrela. Parte três, encontre 𝑧 estrela 𝑤 estrela e 𝑧𝑤 estrela.

Nesta pergunta, recebemos dois números complexos. E precisamos encontrar seus conjugados. Lembre-se, para encontrar o conjugado de um número complexo, nós mudamos o sinal de sua parte imaginária. Isso significa que o complexo conjugado de cinco menos 𝑖 raiz de três é cinco mais 𝑖 raiz de três. Agora, não se preocupe que o 𝑖 está na frente da raiz de três aqui. Sim, isso não está na forma geral. Mas é uma maneira sensata de escrever quando estamos lidando com raízes.

Se, em vez disso, optássemos por escrever a raiz de três multiplicada por 𝑖, poderia parecer um pouco como se estivéssemos a encontrar a raiz quadrada de três 𝑖 em vez da raiz quadrada de três multiplicada por 𝑖. Em seguida, vemos que 𝑤 é raiz de dois mais 𝑖 raiz de cinco, seu conjugado é raiz de dois menos 𝑖 raiz de cinco.

Para a parte dois, precisamos calcular dois números. Precisamos encontrar a soma dos conjugados. E precisamos encontrar o conjugado da soma dos números complexos originais. Vamos começar encontrando a soma de seus conjugados. Isso é cinco mais 𝑖 raiz de três mais raiz de dois menos 𝑖 raiz de cinco. Podemos encontrar sua soma agrupando termos semelhantes. E quando o fazemos, vemos que 𝑧 estrela mais 𝑤 estrela é cinco mais raiz de dois mais 𝑖 multiplicado por raiz de três menos raiz de cinco. E nós também podemos trabalhar 𝑧 mais 𝑤 estrela.

Desta vez, adicionamos 𝑧 e 𝑤 antes de encontrar o conjugado. Esse é o conjugado de cinco menos 𝑖 raiz de três mais raiz de dois mais 𝑖 raiz de cinco. Mais uma vez, fazemos isso adicionando as partes reais e depois as partes imaginárias. Nós temos cinco mais raiz de dois mais 𝑖 multiplicado por menos raiz de três mais raiz de cinco. Então nós mudamos o sinal da parte imaginária para encontrar o conjugado. E temos cinco mais raiz de dois menos 𝑖 multiplicado por menos raiz de três mais raiz de cinco. E, de fato, se multiplicarmos a parte imaginária por menos um, vemos que isso é igual a cinco mais raiz de dois mais 𝑖 multiplicado pela raiz de três menos a raiz de cinco. Observe que 𝑧 estrela mais 𝑤 estrela é na verdade o mesmo que 𝑧 mais 𝑤 estrela.

Para esta terceira parte, precisamos encontrar o produto do conjugado de 𝑧 e 𝑤. Isso é cinco mais 𝑖 raiz de três multiplicado por raiz de dois menos 𝑖 raiz de cinco. Multiplicando o primeiro termo em cada parêntese, obtemos cinco raiz de dois. Multiplicando os termos externos, obtemos menos cinco 𝑖 raiz de cinco. Multiplicando os termos internos, que é 𝑖 raiz de três multiplicado pela raiz de dois, dá a 𝑖 raiz de seis. E multiplicar os últimos termos dá 𝑖 raiz de três multiplicado por menos 𝑖 raiz de cinco, que é menos 𝑖 ao quadrado multiplicado por raiz de 15. E como 𝑖 ao quadrado é igual a menos um, esse último termo se torna raiz de 15. Agrupando termos semelhantes, vemos que o produto do conjugado de 𝑧 e 𝑤 é cinco raiz de dois mais raiz de 15 mais 𝑖 multiplicado por raiz de seis menos cinco raiz de cinco.

Em seguida, encontramos o produto de 𝑧 e 𝑤 e depois encontramos seu conjugado. Desta vez, o produto é cinco menos 𝑖 raiz de três multiplicado por raiz de dois mais 𝑖 raiz de cinco. Expandindo estes parênteses, e obtemos cinco raiz de dois mais raiz de 15 menos 𝑖 multiplicado por raiz de seis menos cinco raiz de cinco. E segue-se que o conjugado deste número é cinco raiz de dois mais raiz de 15 mais 𝑖 multiplicado por raiz de seis menos cinco raiz de cinco, mais uma vez.

Nós vimos neste exemplo que, para números complexos 𝑧 e 𝑤, a soma de seus conjugados é igual ao conjugado de sua soma. E também vimos que o produto de seus conjugados é igual ao conjugado de seu produto. E isso, na verdade, é uma regra geral, que vale para todos os números complexos.

Resolva dois 𝑧 menos 𝑧 barra igual a cinco em ℂ.

Aqui nós temos um número complexo. E podemos dizer que isso pode ser da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, onde 𝑎 e 𝑏 são números reais. 𝑧 barra é seu conjugado. Isso é 𝑎 menos 𝑏𝑖. E ℂ é usado para denotar o conjunto de números complexos. Vamos substituir 𝑧 e 𝑧 barra em nossa equação.

Quando o fazemos, vemos que dois multiplicados por 𝑎 mais 𝑏𝑖 menos 𝑎 menos 𝑏𝑖 é igual a cinco. Em seguida, distribuímos os parênteses multiplicando a parte real e a imaginária pelo número do lado de fora. Para o primeiro parêntese, são dois multiplicado por 𝑎 e dois multiplicado por 𝑏𝑖. E para o segundo parêntese, esse é menos um multiplicado por 𝑎 mais menos um multiplicado por menos 𝑏𝑖. Então temos dois 𝑎 mais dois 𝑏𝑖 menos 𝑎 mais 𝑏𝑖 é igual a cinco. E, claro, podemos agrupar termos semelhantes. E vemos que 𝑎 mais três 𝑏𝑖 é igual a cinco.

Agora, esse número é puramente real. Ou podemos dizer que é um número complexo cuja parte imaginária é zero. E uma vez que identificamos isso, podemos equacionar as partes real e imaginária. Nós vemos que 𝑎 deve ser igual a cinco. E três 𝑏 deve ser igual a zero. De fato, se três 𝑏 é igual a zero, 𝑏 também deve ser igual a zero. Estamos resolvendo por 𝑧. E nós estabelecemos que 𝑎 — sua parte real é igual a cinco. E 𝑏 — sua parte imaginária é igual a zero. Então poderíamos dizer que 𝑧 é igual a cinco mais zero 𝑖 embora não precisemos escrever a parte imaginária. Então dizemos que 𝑧 é simplesmente igual a cinco.

Neste vídeo, aprendemos que um número complexo da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖 tem um conjugado complexo 𝑎 menos 𝑏𝑖. E isso é frequentemente denotado por 𝑧 estrela ou às vezes 𝑧 barra. Também vimos que, para dois números complexos 𝑧 um e 𝑧 dois, existe um conjunto inteiro de regras que relacionam os números complexos com seus conjugados. E, finalmente, aprendemos que um número complexo é igual ao seu conjugado se, e somente se, sua parte imaginária for zero, em outras palavras, se for um número real.

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