Transcrição do vídeo
Neste vídeo, aprenderemos como encontrar volumes de prismas triangulares e resolver problemas, incluindo situações da vida real. Vamos considerar o que realmente queremos dizer com a palavra volume e como as propriedades dos prismas triangulares podem nos ajudar a derivar e usar uma fórmula para seu volume. Então, nossa primeira pergunta é: o que é um prisma? Um prisma é uma forma tridimensional com uma seção transversal constante. Em outras palavras, a seção transversal tem a mesma forma e tamanho em todo o seu comprimento. Um prisma retangular ou paralelepípedo, por exemplo, tem uma seção transversal retangular. Eu poderia cortá-lo aqui ou aqui embaixo, e o tamanho e a forma desse retângulo permaneceriam os mesmos em todo o seu comprimento. Da mesma forma, um cilindro tem uma seção transversal circular.
Agora, neste vídeo, estamos realmente interessados em prismas triangulares. Estes são, é claro, prismas cuja seção transversal é um triângulo. E neste vídeo, estamos aprendendo a calcular o volume dessas formas, onde o volume é apenas a medida de seu espaço tridimensional total. Vamos considerar como encontramos o volume de um prisma retangular ou paralelepípedo e como isso nos ajudará a calcular o volume de um prisma triangular. Imagine que temos um prisma retangular. As dimensões desse prisma são ℎ, 𝑤 e 𝑙 unidades de comprimento. Sabemos que a fórmula que nos ajuda a calcular o volume desse prisma é ℎ vezes 𝑤 vezes 𝑙. E isso será em unidades cúbicas.
Agora, o que vamos fazer é cortar nosso prisma perfeitamente ao meio daqui até aqui. Ao fazer isso, criamos dois prismas triangulares congruentes, o que significa idênticos. Os volumes de cada um desses prismas triangulares devem ser exatamente a metade do volume do prisma retangular. Poderíamos escrever isso como ℎ vezes 𝑤 vezes 𝑙 sobre dois ou, alternativamente, meio vezes ℎ vezes 𝑤 vezes 𝑙. Mas vamos considerar a primeira parte desta fórmula, um meio vezes ℎ vezes 𝑤. Você reconhece essa fórmula? Parece muito com a fórmula que nos ajuda a calcular a área de um triângulo, e isso é porque é. E podemos, portanto, reescrever a fórmula para o volume de um prisma triangular. É a área da seção transversal triangular multiplicada por seu comprimento perpendicular.
Agora, de fato, podemos generalizar isso para qualquer prisma. Seu volume é a área de sua seção transversal vezes seu comprimento perpendicular. Agora, embora possamos usar qualquer uma dessas fórmulas, a segunda versão é definitivamente a forma preferida. Agora, outra maneira de pensar sobre isso é que o volume ou o número de unidades cúbicas que uma fatia com o comprimento de uma unidade conterá será simplesmente o número de unidades cúbicas dessa fatia. Bem, isso é exatamente o mesmo que a área da seção transversal. Então, o comprimento nos diz quantas dessas fatias temos, portanto, a área da seção transversal vezes seu comprimento. Vamos começar com um exemplo simples.
Determine o volume do prisma triangular dado.
Então, nos foi dado um prisma triangular com várias dimensões. Lembre-se, um prisma é apenas uma forma tridimensional com uma seção transversal constante. E sabemos que a fórmula que nos ajuda a calcular o volume de um prisma triangular é a área de sua seção transversal triangular multiplicada por seu comprimento. Nossa seção transversal tem a forma de um triângulo, então também nos lembramos da fórmula para a área de um triângulo. É um meio vezes a base vezes a altura. A base do nosso triângulo mede 10 pés, enquanto sua altura é de seis pés. Então, sua área é um meio vezes 10 vezes seis, que é 30.
Agora, estamos trabalhando em pés, então a medida da área será em pés quadrados. Vamos agora substituir tudo o que sabemos na fórmula do volume do prisma. A área de sua seção transversal é 30, enquanto seu comprimento perpendicular, que é a dimensão perpendicular à seção transversal, é 17. Então, o volume é 30 multiplicado por 17, que é 510. Mais uma vez, como estamos trabalhando em pés, o volume será em pés cúbicos. E assim, o volume do prisma triangular dado é de 510 pés cúbicos.
Veremos agora como encontrar o volume de um prisma triangular com informações sobre a área de sua seção transversal.
Um prisma tem uma seção transversal triangular cuja área é de 1,8 metros quadrados. O comprimento do prisma é de 250 centímetros. Calcule o volume do prisma, dando sua resposta em metros cúbicos.
Recebemos algumas informações sobre um prisma com uma seção transversal triangular, em outras palavras, um prisma triangular. E estamos procurando calcular o volume desse prisma. Então, vamos lembrar a fórmula de que precisamos. O volume de um prisma triangular é encontrado multiplicando a área de sua seção transversal por seu comprimento perpendicular. Bem, vemos que a área da nossa seção transversal triangular é de 1,8 metros quadrados. E o comprimento perpendicular, lembre-se, essa é a dimensão perpendicular à seção transversal, é de 250 centímetros.
Observe que temos duas unidades de medida diferentes. Temos metros quadrados e centímetros. E assim, antes de calcularmos o volume, precisamos converter metros quadrados em centímetros quadrados ou centímetros em metros. A questão está nos dizendo para dar nossa resposta em metros cúbicos, no entanto. Então, vamos converter a medida de comprimento em metros.
Sabemos que existem 100 centímetros em um metro, então, para converter 250 centímetros em metros, dividiremos por 100. 250 dividido por 100 é 2,5. Portanto, o comprimento do nosso prisma é de 2,5 metros. Observe que, se quiséssemos converter nossa área em centímetros quadrados, não teríamos multiplicado por 100, mas por 100 ao quadrado. E assim, podemos ver que, embora seja possível, é realmente muito mais fácil converter as medidas de comprimento em vez de medidas de área ou volume.
Nós agora substituímos o que sabemos sobre nosso prisma na fórmula por seu volume. Sua área é 1,8 e seu comprimento é 2,5, então o volume é o produto destes. Mas como calculamos 1,8 vezes 2,5? Poderíamos, é claro, usar uma calculadora, mas vamos considerar métodos alternativos. Começaremos calculando 18 vezes 25. Existem vários métodos formais escritos para fazer isso, mas vamos usar o método da coluna. Começamos multiplicando o oito pelo cinco e depois o dois, dando 200 na primeira linha. Nós então multiplicamos o um pelo cinco e o dois, lembrando que estamos realmente multiplicando isso por 10. Então, adicionamos um zero aqui, dando 250 em nossa segunda linha. Finalmente, adicionamos esses dois números, dando que 18 vezes 25 é 450.
Então, como isso nos ajuda a calcular 1,8 vezes 2,5? Bem, 18 é 10 vezes maior que 1,8, assim como 25 a 2,5. Isso significa que nossa resposta, 450, será 10 vezes e depois outras 10 vezes maior ou 100 vezes maior. Então, para encontrar o valor de 1,8 vezes 2,5, vamos dividir por 100. 450 dividido por 100 é 4,5. E lembre-se, nossa resposta está em metros cúbicos. E assim, o volume do nosso prisma triangular é de 4,5 metros cúbicos.
Em nosso próximo exemplo, veremos como podemos encontrar o comprimento desconhecido de um prisma triangular quando recebemos informações sobre seu volume.
O diagrama mostra um prisma triangular cujo volume é de 1,932 centímetros cúbicos. Calcule o valor de 𝑥.
Recebemos algumas informações sobre o volume de um prisma triangular, então vamos começar relembrando a fórmula para isso. O volume de um prisma triangular é a área da seção transversal triangular multiplicada por seu comprimento perpendicular. Somos informados de que o volume é de 1,932 centímetros cúbicos. Também sabemos que o comprimento perpendicular à seção transversal é de 14 centímetros. Assim, podemos dizer que 1,932 deve ser igual à área do triângulo multiplicada por 14. Vamos resolver essa equação para encontrar a área do triângulo em centímetros quadrados.
Vamos dividir por 14. Isso nos diz que a área do triângulo é 1,932 dividida por 14, que é 138 ou 138 centímetros quadrados. Vamos agora limpar algum espaço e nos lembrar da fórmula para a área de um triângulo. A área de um triângulo é um meio multiplicado pelo comprimento de sua base multiplicado por sua altura. Agora, na verdade não importa que nosso triângulo seja escaleno. Usamos a mesma fórmula. Lembre-se, calculamos a área de nossa seção transversal triangular em 138 centímetros quadrados. A base é de 𝑥 centímetros e a altura é de 23 centímetros. Então, temos outra equação. 138 é um meio vezes 𝑥 vezes 23.
Desta vez, começaremos a resolver essa equação multiplicando ambos os lados por dois. 138 vezes dois é 276. Então, nossa equação se torna 276 igual a 𝑥 vezes 23 ou 23𝑥. Finalmente, vamos dividir ambos os lados desta equação por 23. Então, 𝑥 é 276 dividido por 23, que é 12. E assim, dadas as informações sobre nosso prisma triangular e seu volume, descobrimos que 𝑥 em nosso diagrama é igual a 12.
Qual das seguintes opções tem o maior volume?
Nós recebemos quatro prismas. Lembre-se, um prisma é uma forma que possui uma seção transversal constante. Para comparar seus volumes, vamos começar calculando o volume de cada um. E assim, lembramos que para encontrar o volume de um prisma retangular e, de fato, um cubo, simplesmente multiplicamos suas três dimensões. Nossa primeira forma é um cubo, então suas três dimensões são sete polegadas, sete polegadas e sete polegadas. Seu volume, portanto, deve ser sete vezes sete vezes sete ou sete ao cubo. Sete ao cubo são 343. E como estamos trabalhando em polegadas, o volume da nossa primeira forma é de 343 polegadas cúbicas.
Da mesma forma, o volume desse prisma retangular é oito vezes seis vezes cinco. Lembramos que a multiplicação é comutativa. Pode ser executado em qualquer ordem. Seis vezes cinco são 30, então precisamos calcular oito vezes 30. E como oito vezes três são 24, vemos que oito vezes 30 são 240. E o volume da nossa segunda forma é de 240 polegadas cúbicas. Mas e os prismas triangulares? Bem, a fórmula que tendemos a usar é que é a área da seção transversal triangular vezes seu comprimento, onde o comprimento é o comprimento da dimensão perpendicular à seção transversal. Também sabemos que a área de um triângulo é encontrada multiplicando sua base por sua altura e depois dividindo por dois ou metade da base vezes a altura.
Em nosso primeiro prisma, aquele cuja seção transversal é um triângulo escaleno, o comprimento de sua base é de 12 polegadas e sua altura é de nove polegadas. E assim, a área deste triângulo é um meio vezes 12 vezes nove, que é 54 ou 54 polegadas quadradas. O comprimento da dimensão perpendicular a essa seção transversal é de oito polegadas, portanto, o volume da forma é 54 vezes oito, o que equivale a 432 polegadas cúbicas.
Vamos repetir esse processo para o nosso quarto prisma. Desta vez, sua seção transversal é um triângulo retângulo e o comprimento de sua base é 18 e sua altura é quatro. Então, a área desse triângulo é um meio vezes 18 vezes quatro, que é 36 ou 36 polegadas quadradas. O comprimento da dimensão perpendicular a essa face é 10, então o volume da forma é 36 vezes 10, que é 360. Então, nossa forma final tem um volume de 360 polegadas cúbicas. E podemos dizer então que a forma que possui o maior volume é o prisma triangular cuja seção transversal é um triângulo escaleno.
Em nosso exemplo final, veremos algumas aplicações da vida real do volume de um prisma triangular.
Um vaso em forma de prisma triangular está apoiado em sua face triangular, conforme mostrado no diagrama. 200 centímetros cúbicos de água são despejados no vaso. Um ramo de flores é então colocado no vaso, fazendo com que a altura da água suba 1,8 centímetros. Quanta água a mais pode ser adicionada ao vaso até que esteja completamente cheio? Dê sua resposta em centímetros cúbicos.
Então, em primeiro lugar, notamos que estamos lidando com um prisma triangular. É um prisma cuja seção transversal tem a forma de um triângulo. Somos informados de que 200 centímetros cúbicos de água são inicialmente despejados no vaso, mas que um ramo de flores é colocado, o que faz com que a altura da água suba 1,8 centímetros. Queremos descobrir quanto mais espaço há no vaso, essencialmente. Então, vamos precisar fazer isso em algumas etapas. Vamos começar calculando a altura que a água atinge quando 200 centímetros cúbicos são despejados no vaso.
Começamos lembrando que o volume de um prisma triangular é encontrado multiplicando a área de sua seção transversal triangular por seu comprimento ou altura. 200 centímetros cúbicos de água são despejados no vaso, então o volume da nossa água é 200. Sabemos que a área de um triângulo é um meio multiplicado por sua base multiplicado por sua altura. Bem, a base do nosso triângulo é cinco e sua altura é oito, então sua área é um meio vezes cinco vezes oito, que é 20 centímetros quadrados. Estamos tentando descobrir a altura, vamos chamar de ℎ, que a água atinge no vaso. Então, temos uma equação: 200 é igual a 20 vezes ℎ.
Vamos encontrar o valor de ℎ dividindo ambos os lados desta equação por 20. ℎ é, portanto, 200 dividido por 20, o que equivale a 10 ou 10 centímetros. Podemos dizer então que a altura inicial da água no vaso é de 10 centímetros. Agora vamos calcular a altura da água no vaso quando as flores forem adicionadas. Então, isso deve ser 10 mais 1,8, já que aumenta em 1,8. E agora podemos dizer que ℎ sub dois, a segunda altura da água, é 11,8 centímetros. Essencialmente, queremos calcular o volume restante no vaso. Então, vamos encontrar a diferença entre a altura total do nosso vaso e a altura que a água atinge agora. São 14 menos 11,8, que são 2,2 centímetros.
Então, precisamos descobrir o volume da fatia do vaso, que tem 2,2 centímetros de altura. Lembre-se, já calculamos a área da seção transversal triangular como sendo 20. E o ponto principal de um prisma é que sua seção transversal não muda. Portanto, a área da seção transversal em que estamos interessados também é 20. E o volume é 20 vezes 2,2, que é 44 ou 44 centímetros cúbicos. E assim, 44 centímetros cúbicos de água podem ser adicionados ao vaso para torná-lo completamente cheio.
Agora, curiosamente, essa não foi a única maneira de responder a esse problema. Em vez disso, poderíamos ter calculado o volume dessa fatia. E, de fato, se tivéssemos feito isso, teríamos descoberto que o volume dessa fatia é de 36 centímetros cúbicos, o que significa que, depois que as flores são adicionadas, temos um total de 200 mais 36. São 236 centímetros cúbicos de volume sendo usados. Teríamos então que ter calculado o volume de todo o vaso. Se tivéssemos feito isso, teríamos encontrado 280 ou 280 centímetros cúbicos. A quantidade de espaço deixado no vaso é 280 menos 236, que é, mais uma vez, 44 centímetros cúbicos.
Neste vídeo, aprendemos que um prisma é uma forma tridimensional com uma seção transversal constante. Vimos que podemos encontrar o volume de um prisma triangular multiplicando a área de sua seção transversal triangular por seu comprimento e que precisamos ter cuidado para garantir que nossas unidades correspondam antes de realizar qualquer cálculo.
