Vídeo: Transformando Funções: Translações Horizontais e Verticais

Aprenda sobre transformações de funções. Mais especificamente, aprenda como identificar e aplicar transformações que deslocam horizontal e verticalmente os gráficos de funções. Por exemplo, considere 𝑓(𝑥 + 𝑎) ou 𝑓(𝑥) + 𝑎 para diferentes valores de 𝑎.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, consideraremos uma função simples 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado e realizaremos algumas transformações. Vamos fazer translações do gráfico para a esquerda ou para a direita ou para cima ou para baixo. E também vamos dar uma vista de olhos no efeito na expressão algébrica e no gráfico, lado a lado. Aqui está o gráfico da função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado. Agora vamos pensar nalguns dos pontos deste gráfico. 𝑓 de zero é zero. Se inserirmos um valor em 𝑥 de zero nesta função, obteremos um valor de imagem, ou coordenada em 𝑦, que também é zero. E se introduzirmos o valor de um, podemos ver que a coordenada em 𝑦 correspondente também é um. Portanto, com a função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado, estamos a tomar o valor de um objeto e a pô-lo ao quadrado, obtendo o valor de uma imagem.

Agora acontece que, nos dois primeiros números que experimentámos, o objeto é igual à imagem. Mas vamos tentar 𝑓 dois. Bem, 𝑓 de dois é dois ao quadrado e dois ao quadrado é quatro. Então é este ponto no gráfico. Em seguida, 𝑓 de menos um é menos um ao quadrado, que é um. Então é este ponto no gráfico. E 𝑓 de menos dois é menos dois ao quadrado, que é quatro. Então é este ponto no gráfico. E 𝑓 de três e 𝑓 de menos três, ambos dão como valores de imagem nove. Então são estes dois pontos do gráfico também. Ora, representámos 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, mas, e se quiséssemos representar 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 mais dois. Lembre-se de que, ao representar 𝑦 igual 𝑓 a 𝑥, tomámos todos os valores de 𝑓 de 𝑥 e utilizámo-los como coordenadas em 𝑦. Então, 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 mais dois, tomamos todas as coordenadas em 𝑦 e adicionamos apenas duas unidades.

Então, quando a coordenada em 𝑦 for zero, torna-se dois em 𝑓 de 𝑥 mais dois. Quando a coordenada em 𝑦 for um, adicionamos dois para formar três. Quando for quatro, adicionamos dois para formar seis, e assim por diante para todos os outros pontos. Então, quando estivermos a representar 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 mais dois, será exatamente igual a 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, mas todas as coordenadas 𝑦 foram adicionadas duas unidades. Assim, teremos um gráfico assim. Deslocámos a função duas unidades positivas na direção O𝑦. E este mesmo efeito teria ocorrido independentemente da aparência da função original. Por exemplo, se o gráfico 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 fosse assim, então para 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 mais dois, apenas aumentávamos todas estas coordenadas em 𝑦 duas unidades. E é assim que se parece a função transformada. E é importante notar que é isto mais dois aqui adicionado a todas as coordenadas em 𝑦 originais, que transformaram ou deslocaram a função neste caso.

Agora vamos tentar adicionar menos dois à nossa função ou subtrair dois. Quando a coordenada em 𝑦 é zero, subtraímos dois para torná-lo menos dois. Quando é um, subtraímos dois para torná-lo menos um. Quando é quatro, subtraímos dois para torná-lo dois e assim por diante para todos os pontos do gráfico. Então, o gráfico move-se para baixo duas unidades. Desloca duas unidades negativas na direção O𝑦. Portanto, adicionar uma constante a uma função faz uma translação do seu gráfico por esse número de unidades na direção O𝑦. Agora, vamos dar uma olhadela rápida no que faz com a expressão algébrica da função.

Se a expressão da nossa função for 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado, adicionar dois a 𝑓 de 𝑥 transforma-o em 𝑥 ao quadrado mais dois. Todas estas coordenadas em 𝑦 são iguais a estas coordenadas em 𝑦, mas com este dois extra adicionado. E da mesma forma, se subtrairmos dois da nossa função, todas estas coordenadas em 𝑦 serão iguais a estas coordenadas em 𝑦, exceto que serão retiradas duas unidades. E se a nossa função fosse algo um pouco mais complicada, como 𝑓 de 𝑥 igual a três 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 menos sete e eu adicionasse algo, digamos cinco, então, embora a função possa ser simplificada para uma expressão como esta, ainda é uma questão de tomar as mesmas coordenadas em 𝑦 que tínhamos antes, mas adicionar-lhes cinco unidades. E da mesma forma com a subtração, se eu tirar sete a cada membro, a expressão para a função pode simplificar para isto. Mas ainda é uma questão de tomar estas mesmas coordenadas em 𝑦, mas apenas subtrair sete a estas.

Portanto, adicionar algo a uma função faz uma translação do gráfico verticalmente para cima e subtrair algo de uma função faz uma translação do gráfico verticalmente para baixo. E em ambos os casos estas translações são paralelas ao eixo O𝑦. Agora vamos pensar em deslocar para a esquerda e para a direita. Para fazer isso, vamos adicionar ou subtrair números da coordenada em 𝑥, mas precisamos de ter um pouco de cuidado, pois o resultado é um pouco diferente da versão para cima e para baixo. Se 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado, então 𝑓 de 𝑥 mais dois é igual a 𝑥 mais dois tudo ao quadrado, que é 𝑥 mais duas vezes 𝑥 mais dois. E quando multiplico e simplifico, fico com 𝑥 ao quadrado mais quatro 𝑥 mais quatro. Então, adicionando dois ao objeto, a coordenada em 𝑥, obtenho uma função que parece bem diferente da função original.

Vamos então ver os gráficos de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 e 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 mais dois. O gráfico tracejado é 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 e lembre-se de que é 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado. E o gráfico a cheio é 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 mais dois. O que devemos lembrar é 𝑦 igual 𝑥 ao quadrado mais quatro 𝑥 mais quatro. Agora, pode esperar que esta parte aqui adicione duas unidades a todas as coordenadas em 𝑥 do nosso gráfico, mas não foi isso que aconteceu. Na verdade, subtraiu dois a todas as coordenadas em 𝑥 do nosso gráfico. Este ponto aqui foi movido para aqui. Este ponto aqui foi movido para aqui e assim por diante. Moveu o gráfico para a esquerda duas unidades ou fez uma translação de menos dois na direção O𝑥.

Agora vamos ver de perto e tentar entender por que é que isso aconteceu. Então, aqui está o gráfico de 𝑓 de 𝑥 e, lembre-se, 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado. Agora vamos definir uma nova função chamada 𝑔 de 𝑥 que é igual a 𝑓 de 𝑥 mais dois. Agora, para calcular as coordenadas em 𝑦 da função 𝑔 de 𝑥, podemos lê-las a partir do ponto correspondente na função 𝑓 de 𝑥. Mas o ponto correspondente é o que possui uma coordenada em 𝑥 que é maior em duas unidades. Assim, por exemplo, para calcular a coordenada em 𝑦 quando a coordenada em 𝑥 é zero, por outras palavras, o valor de 𝑔 de zero, tudo o que precisamos de fazer é calcular 𝑓 de zero mais dois, ou seja, 𝑓 de dois.

Agora, 𝑓 de dois é este ponto aqui, quatro. Então 𝑔 de zero é o mesmo que 𝑓 de dois. Aquele quatro é movido para aqui. E para calcular a coordenada em 𝑦 para a função 𝑔 com a coordenada um 𝑥 de um, calculamos 𝑔 de um. Mas lembre-se que 𝑔 de um é o mesmo que 𝑓 de um mais dois, ou seja, 𝑓 de três. Portanto, para calcular a coordenada em 𝑦 que da coordenada em 𝑥 de um na função 𝑔, precisamos de determinar a coordenada em 𝑦 que acompanha a coordenada em 𝑥 de três na função 𝑓; e é nove. Então 𝑔 de um é nove. Este ponto aqui moveu-se efetivamente duas unidades para a esquerda.

Vamos fazer mais um 𝑔 de menos dois. Bem, 𝑔 de menos dois é igual a 𝑓 de menos dois mais dois, então é 𝑓 de zero. Portanto, a coordenada em 𝑦 que acompanha a coordenada em 𝑥 de menos dois na função 𝑔 é a mesma que a coordenada em 𝑦 que acompanha a coordenada em 𝑥 de zero na função 𝑓. E 𝑓 de zero é zero. Portanto, na função 𝑔, quando 𝑥 é igual a menos dois, a coordenada em 𝑦 será zero. Este ponto foi transformado neste ponto. Então, tendo feito isto em alguns pontos diferentes, fica claro que o gráfico de 𝑓 de 𝑥 está a fazer uma translação de duas unidades para a esquerda para obter o gráfico de 𝑔 de 𝑥. Portanto, adicionar dois aos objetos desta função fez uma translação do gráfico duas unidades para a esquerda. E da mesma forma, se olharmos para esta função 𝑓 de 𝑥 menos dois, quando eu a expandir e simplificar, obtenho esta função aqui 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais quatro.

Agora, novamente, vejamos os gráficos de 𝑓 de 𝑥 e de 𝑓 de 𝑥 menos dois. Novamente, o gráfico tracejado é 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 e que era 𝑥 ao quadrado, lembre-se. E o gráfico a cheio é 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 menos dois, que era 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais quatro. Portanto, subtrair dois aos objetos da nossa função desloca o gráfico duas unidades positivas na direção O𝑥. Portanto, adicionar uma constante aos objetos faz uma translação do gráfico para a esquerda e subtrair uma constante dos objetos faz uma translação do gráfico para a direita.

Agora vamos resumir o que aprendemos até aqui. Se virmos algo como 𝑓 de 𝑥 mais 𝑎, adicionamos 𝑎 a todas as coordenadas em 𝑦, fazendo uma translação de 𝑓 de 𝑥 𝑎 unidades positivas na direção O𝑦. E isso significa que se 𝑎 é positivo, estamos a fazer uma translação para cima e se 𝑎 é negativo, estamos a fazer uma translação para baixo. E se encontrarmos algo como 𝑓 de 𝑥 mais 𝑎 em que adicionamos uma constante a 𝑥 dentro dos parêntesis da função, isso faz uma translação de 𝑓 de 𝑥 𝑎 unidades negativas na direção O𝑥. E agora, se 𝑎 for positivo, estamos a fazer uma translação do gráfico para a esquerda e se 𝑎 for negativo, estamos a fazer uma translação do gráfico para a direita. Agora, também podemos combinar estes dois tipos de transformações.

Por exemplo, se 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado, descreva o efeito da transformação 𝑓 de 𝑥 menos cinco mais três no gráfico de 𝑦 igual 𝑓 de 𝑥 e escreva e simplifique a expressão algébrica da função transformada.

Portanto, se 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado, 𝑓 de 𝑥 menos cinco mais três é igual a 𝑥 menos cinco tudo ao quadrado mais três. Agora, subtrair cinco dos objetos moverá o gráfico todo para a direita cinco unidades. Por outras palavras, uma translação de cinco unidades positivas na direção O𝑥. E adicionar três a este resultado adicionará três a todas as coordenadas em 𝑦 que deslocam três unidades positivas na direção O𝑦. E está a fazer as duas coisas. Então, esta é a nossa resposta para a primeira parte da questão. Agora vamos continuar, multiplicar e simplificar a expressão da nossa função. E isso dá-nos a resposta para a segunda parte da questão.

Agora, a parte típica b deste tipo de questão pode ser o esboço de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 menos cinco mais três no diagrama dado. Então, deram-nos o gráfico da função 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 e precisamos de desloca-lo cinco unidades para a direita e três para cima, conforme trabalhámos desde a primeira parte da questão. Então, vamos examinar alguns pontos deste gráfico e fazer as translações. Zero, zero vai cinco unidades para a direita e três unidades aqui para cima para cinco, três. Um, um vai cinco para a direita e três até seis, quatro. E dois, quatro vai cinco para a direita e três até sete, sete e assim por diante, com mais alguns pontos.

Então agora só precisamos de unir todos os pontos deslocados com a maior precisão possível, estendendo-se aqui para algum lado e estendendo-se aqui para algum lado, e identificando-o. Agora, não precisa de ser cem por cento exatos, mas precisa de mostrar o método e os pontos-chave precisam ser deslocados com precisão, neste caso, cinco unidades para a direita e três unidade para cima. Agora, vamos ver alguns exemplos em que não fornecem a expressão da função; apenas dão o gráfico.

Dado este gráfico de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, esboce o gráfico de 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 menos três.

Bem, o que acha que isto está a fazer? Subtraímos três das coordenadas em 𝑥, os objetos, antes de inseri-los na função. Portanto, o resultado disso será uma translação deste gráfico três unidades para a direita. E o meu conselho aqui seria escolher alguns pontos que serão fáceis de deslocar, para começar. Então, este ponto aqui tem coordenadas inteiras, então move-se apenas estas três unidades para a direita, será deslocado para aqui. Neste ponto aqui, três unidades para a direita vão movê-lo para aqui. E este ponto aqui, três unidades para a direita vão movê-lo para aqui.

Agora, este ponto aqui vai mover-se três unidades para a direita, ou seja, um, dois, três, é aqui. E este ponto aqui vai mover-se três unidades para a direita, ou seja, um, dois, três, é aqui. E vamos escolher mais alguns. Este ponto aqui em cima vai mover-se três unidades para a direita, então vai mudar para aqui. E este ponto aqui vai mover-se três unidades para a direita, ou seja, um, dois, três, estará aqui. E mais um, este ponto aqui vai mover-se três unidades, ou seja, um, dois, três, é aqui.

Agora só precisamos de juntá-los com a maior precisão possível, e isso acontece aqui, para que suba e desça aqui. Então, novamente, não precisa de ser cem por cento exato, mas precisamos de mostrar que escolhemos alguns pontos e os movemos exatamente três unidades para a direita. E agora este.

Dado este gráfico de 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥, esboce o gráfico de 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥 mais três menos dois.

Primeiro, precisamos de pensar sobre a transformação. Aqui, o que acha que está a fazer? Estamos a adicionar três a todas as coordenadas em 𝑥, os objetos, na função. Então, isto fará uma translação de três unidades negativas na direção O𝑥. E esta parte. Bem, estamos a subtrair dois dos resultados, então estamos a subtrair dois a todas as nossas coordenadas em 𝑦. Isso significa que estamos a fazer uma translação de duas unidades negativas na direção O𝑦. E estamos a fazer as duas coisas no nosso gráfico. Então, novamente, vamos tomar alguns pontos-chave no gráfico, fazer as transformações e unir os pontos. Este ponto aqui vai menos três na direção O𝑥 e menos dois na direção O𝑦, então isso vai parar aqui. Este ponto aqui, menos três em 𝑥, menos dois em 𝑦, terminará aqui. Faça o mesmo para mais alguns pontos e una-os a todos.

E, finalmente, para verificar, verifique se o seu gráfico ainda tem a mesma forma e foi deslocado para a esquerda e para baixo nas quantidades apropriadas. Verifique estes pontos máximos e mínimos aqui. Portanto, este ponto máximo aqui definitivamente vai para a esquerda três e para baixo dois e é transformado neste ponto máximo. Este ponto mínimo aqui foi três, menos dois e ainda está num ponto mínimo na minha nova versão do gráfico.

Portanto, um resumo final, 𝑓 de 𝑥 mais 𝑎 significa que estamos a adicionar 𝑎 à coordenada em 𝑦. E a coordenada em 𝑦 é a imagem da nossa função, por isso estamos a adicionar 𝑎 à imagem. E isso significa que se 𝑎 for positivo, estamos a deslocar o gráfico para cima e se 𝑎 for negativo, estamos a deslocar o gráfico para baixo. E se fizermos 𝑓 de 𝑥 mais 𝑎 entre parênteses, adicionaremos 𝑎 ao objeto na coordenada em 𝑥. Mas cuidado, se adicionar à coordenada em 𝑥, moverá a imagem para a esquerda. Se subtrair um valor do objeto, moverá o gráfico para a direita. E talvez uma terminologia um pouco melhor: no primeiro caso, uma translação de 𝑎 unidades positivas na direção O𝑦 e, no segundo caso, uma translação de 𝑎 unidades negativas na direção O𝑥.

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