Vídeo: Razões das Áreas de Formas Geométricas Semelhantes

Neste vídeo, aprenderemos como identificar a relação entre as áreas de formas semelhantes, utilizar a razão dos comprimentos para calcular a razão das áreas e vice-versa, e aplicar este método ao cálculo de comprimentos incógnitos de lados ou áreas de formas semelhantes.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver formas semelhantes e a relação existente entre as suas áreas. Então, primeiro, vamos ver o que significa o termo formas geométricas semelhantes. A definição está no ecrã aqui. Duas formas são semelhantes se, em primeiro lugar, tiverem de ter a mesma forma, assim como os quadrados ou os retângulos ou os triângulos, por exemplo e, segundo, os comprimentos correspondentes nestas formas devem estar na mesma razão.

Então, se pensares num triângulo, por exemplo, as bases destes dois triângulos devem estar na mesma razão das alturas dos dois triângulos. Vejamos um exemplo disto utilizando retângulos. Então, os dois retângulos no ecrã aqui são retângulos semelhantes. E podes ver isso se observares a razão entre pares de lados correspondentes. Se olhar para a largura do retângulo em primeiro lugar, ou seja, o dois e o três, dar-me-á o que é conhecido como uma razão dos comprimentos de dois para três.

Se olhar para a outra dimensão do retângulo, ou seja, o quatro para o seis, isso dir-me-ia que a razão dos comprimentos é de quatro para seis. Mas é claro que isto pode ser simplificado pela divisão de ambos os termos desta razão por dois. E se o fizeres, verás que simplifica para esta mesma razão de dois para três. Então, porque os pares correspondentes de lados estão ambos nesta razão de dois para três quando simplificados, isso significa que estes dois retângulos são semelhantes.

Agora, neste vídeo, queremos analisar especificamente a relação entre as áreas destas formas semelhantes. Então, vou calcular ambas as áreas. Agora, como são dois retângulos, isto é relativamente simples, só preciso de multiplicar as suas duas dimensões. Então, tenho oito centímetros quadrados para o primeiro retângulo e dezoito centímetros quadrados para o segundo.

Agora vamos utilizar estas áreas para escrever uma razão das áreas entre os dois retângulos. Assim, a razão das áreas será de oito para dezoito, mas isto simplificará porque, novamente, posso dividir ambos os termos da razão por dois. Então isto diz-me que minha razão das áreas simplificada é quatro para nove.

Agora, o ponto chave é como esta se relaciona com a razão dos comprimentos. Bem, a razão dos comprimentos, lembra-te, era dois para três e a razão das áreas é quatro para nove. E talvez percebas que há uma relação entre estes conjuntos de números e é uma relação de quadrados; dois ao quadrado dá quatro e três ao quadrado dá nove.

Assim, outra maneira de escrever esta razão das áreas seria dois ao quadrado para três ao quadrado. Agora não é uma coincidência que esta relação exista. É ilustrativo de uma regra geral quando se olha para as áreas de formas semelhantes e a regra geral é a seguinte: se a razão dos comprimentos entre duas formas semelhantes for 𝑎 para 𝑏, a razão das áreas entre elas será 𝑎 ao quadrado para 𝑏 ao quadrado.

Portanto, esta regra é sempre válida quando se trabalha com formas semelhantes. E agora vamos ver como podemos utilizá-la para responder a algumas questões. Então, aqui está a primeira questão. Temos um diagrama do nosso polígono, na verdade, é um retângulo, num plano de coordenadas e somos solicitados determinar a área de um polígono semelhante, onde 𝐴 linha 𝐷 linha é igual a seis.

Então, vamos olhar apenas para o retângulo que nos deram antes de mais. Bem, o comprimento da base aqui de 𝐴 para 𝐵, é de duas unidades. E o comprimento do lado vertical aqui de 𝐴 para 𝐷, é de três unidades. Então podemos preencher com estas duas medidas. Também podemos calcular a área deste retângulo, então será dois vezes três e será seis unidades quadradas.

Agora vamos pensar neste segundo polígono. Então, dizem-nos que é semelhante, mas dizem-nos que o comprimento de 𝐴 linha 𝐷 linha é seis, enquanto que no nosso polígono atual o comprimento de 𝐴𝐷 é de três unidades. Isso significa que podemos escrever a razão dos comprimentos entre estes dois polígonos. Então, utilizando este par de lados correspondentes, será três para seis.

Mas é claro que esta relação pode ser simplificada; eu posso dividir os dois termos por três. Então, a minha razão dos comprimentos simplificada será um para dois. O que isto significa, então, em termos práticos, é que todos os comprimentos do polígono ampliado são duas vezes maiores que no polígono existente.

Agora, queremos saber a área do polígono maior, por isso precisamos de lembrar a regra geral que vimos antes sobre a ligação entre a razão dos comprimentos e a razão das áreas. E a regra é: se a razão dos comprimentos for 𝑎 para 𝑏, então a razão das áreas é 𝑎 ao quadrado 𝑏 ao quadrado. Então, isto significa que posso utilizar a minha razão dos comprimentos conhecida para calcular a razão das áreas; só preciso de acertar os dois termos.

Então, a minha razão das áreas é um quadrado para dois ao quadrado, o que, claro, é apenas um para quatro. O que isto significa, então, é que a área deste polígono ampliado é quatro vezes a área do polígono menor.

Então tenho todas as informações de que preciso para poder calcular a área deste polígono semelhante. A área do polígono menor era de seis unidades quadradas. E se este é quatro vezes maior, eu preciso de multiplicar seis por quatro. Portanto, a área deste polígono é seis vezes quatro, o que é claro, vinte e quatro unidades quadradas.

Ora, uma recapitulação rápida do que fizemos. Utilizámos um par de comprimentos correspondentes para escrever uma razão dos comprimentos. Em seguida, utilizámos a nossa regra geral para transformá-la numa razão das áreas ao aplicar um quadrado a ambos os termos. Como conhecíamos a área do polígono menor, combinámo-la com a razão das áreas para calcular a área do polígono maior.

Ok, a próxima questão que vamos ver diz que os lados correspondentes de dois polígonos semelhantes são de dezoito centímetros e vinte e cinco centímetros. Dado que a área do polígono menor é de quatrocentos e oitenta e seis centímetros quadrados, somos solicitados determinar a área do polígono maior. Então vamos pensar como abordá-la. Temos este par de lados correspondentes, o que significa que podemos começar por escrever a razão dos comprimentos destes dois polígonos semelhantes.

E aqui está. A razão dos comprimentos é de dezoito para vinte e cinco e esta não simplifica mais. Agora perguntam-nos sobre as áreas, por isso precisamos de calcular a razão das áreas. E lembra-te desta regra geral, precisamos de aplicar o quadrado a ambos os termos para calcular a razão das áreas.

Portanto, a razão das áreas será dezoito ao quadrado para vinte e cinco ao quadrado. E isto é trezentos e vinte e quatro para seiscentos e vinte e cinco, o que novamente não simplifica mais. Então, vamos utilizar esta razão das áreas para calcular a área do polígono maior. Vamos dar uma letra; vou chamá-la A.

Agora, o que esta razão significa é se eu considerar a área do polígono maior, que é A, e dividi-la pela área do polígono menor, quatrocentos e oitenta e seis, estas estão nesta razão trezentos e vinte para seiscentos e vinte e cinco, o que significa que obtive o mesmo resultado que se fizesse seiscentos e vinte e cinco dividido por trezentos e vinte e quatro.

Então, o que fiz aqui foi formular uma equação que posso resolver para calcular a área deste polígono maior, utilizando a razão das áreas que conheço. O primeiro passo para resolver esta equação é que preciso de multiplicar os dois membros da equação por quatrocentos e oitenta e seis, já que atualmente está no denominador do primeiro membro. Então, vou ter seiscentos e vinte e cinco sobre trezentos e vinte e quatro, multiplicados por quatrocentos e oitenta e seis.

E se calcular isto e colocar as unidades, diz-me que a área do polígono maior é novecentos e trinta e sete vírgula cinco centímetros quadrados. Então é exatamente o mesmo processo do exemplo anterior: escrevemos uma razão dos comprimentos antes de mais; aplico o quadrado a ambos os termos para formular a razão das áreas; a diferença do último exemplo é que anteriormente tínhamos que multiplicar a área por quatro, já que era apenas uma razão de um para quatro; desta vez a razão foi um pouco mais complexa, então tivemos que transformá-la numa relação fracionária, utilizá-la para formular uma equação e depois resolver essa equação para determinar a área em falta.

Ok, vamos ver um tipo diferente de questão. Dizem que os dois polígonos abaixo são semelhantes e pedem-nos para calcular o valor de 𝑥. Agora, este comprimento 𝑥 está em falta aqui no polígono menor. Então vamos ver o que sabemos. Não temos um par de comprimentos correspondentes desta vez. Temos um par de áreas correspondentes porque podemos ver que as duas áreas são de trinta e cinco e trezentos e de quinze centímetros quadrados.

Então, vamos ter que abordar esta questão de uma maneira um pouco diferente. Em vez de escrever uma razão dos comprimentos para começar, em vez disso, vamos escrever uma razão das áreas. Portanto, a razão destas duas áreas é de trinta e cinco para trezentos e quinze. Isto pode ser simplificado porque ambos os termos podem ser divididos por trinta e cinco.

Então isto dá-me uma razão das áreas um para nove. Agora, gostaríamos de retroceder sabendo esta razão das áreas para calcular a razão dos comprimentos, por isso, lembra-te da regra geral que vimos anteriormente. Foi que qualquer que seja a razão dos comprimentos, para obter a razão das áreas, deves colocar ambos os termos ao quadrado. Agora vamos voltar a trabalhar da razão das áreas para a razão dos comprimentos. Então, para voltar ao outro lado, em vez de se colocar ao quadrado ambos os membros, precisamos de aplicar uma raiz quadrada a ambos os membros.

Assim, a razão dos comprimentos é a raiz quadrada de um para a raiz quadrada de nove, que, claro, é apenas um a três. Então, o que isto nos diz é que todos os comprimentos do polígono maior são três vezes os comprimentos do polígono menor.

Agora, se eu quisesse formulá-la como uma equação apenas para demonstrar novamente o que eu fiz no exemplo anterior, então sei que se fizer 𝑥 dividido por dezoito, o par correspondente de lados, então vou obter o mesmo resultado como se fizesse um dividido por três.

Então, isto está a utilizar esta razão dos comprimentos de um terço. Então eu posso resolver esta equação multiplicando ambos os membros por dezoito e, assim, 𝑥 é igual a seis. Outra maneira de pensar sobre isto sem ter que escrever a equação é porque é apenas uma razão de um para três, eu poderia simplesmente dividir dezoito por três para obter este valor de seis.

Então, neste exemplo foi ligeiramente diferente. Tivemos que começar com uma razão das áreas e depois trabalhar de trás para frente, de forma a calcular a razão dos comprimentos de que precisávamos.

Ok, a questão final diz que as formas X e Y são semelhantes com os lados na razão cinco para quatro. Se o comprimento de cada lado é triplicado, qual é a razão das áreas das formas ampliadas? Aqui podes ter uma ideia de qual deveria ser a resposta, ou talvez penses que possa haver um detalhe que não consideraste. Vejamos como devemos abordar isto.

Então, nós já temos uma razão dos comprimentos para as formas X e Y; é cinco para quatro. Isto significaria que a razão das áreas para X e Y antes de triplicarmos os lados e ampliá-los, lembra-te de que iríamos aplicar o quadrado a ambos os termos desta razão, de modo que a razão das áreas para X e Y seria de vinte e cinco para dezasseis.

Agora vamos pensar sobre o que acontece quando triplicamos os comprimentos dos lados. Bem, nós não sabemos que estes comprimentos sejam cinco e quatro, apenas que estão nesta razão. Mas se os triplicarmos, estariam na razão de quinze para doze. Mas aqui está o ponto chave. Como triplicamos os dois, esta razão de quinze para doze simplifica para cinco para quatro novamente.

Então, triplicar os comprimentos dos lados na verdade não tem efeito algum na razão dos comprimentos, porque fizemos a mesma coisa em ambas as formas semelhantes. Portanto, a razão das áreas dessas formas ampliadas será a mesma que a razão das áreas das formas originais.

Portanto, a razão das áreas ainda é de vinte e cinco para dezasseis. Agora, poderá ter sido a tua intuição. Mas se não foi, então espero que, ao fazer o trabalho, te tenhas convencido de que este é o caso.

Portanto, o ponto-chave deste exemplo é que, se uma questão lhe perguntar sobre duplicar ou triplicar os lados de ambas as formas semelhantes, não terá impacto na razão dos comprimentos e, consequentemente, nenhum impacto na razão das áreas. Assim, podes trabalhar apenas com as razões originais fornecidas.

Em resumo, vimos a relação entre a razão dos comprimentos e a razão das áreas de formas semelhantes; vimos como aplicá-la ao cálculo da área de uma forma semelhante; e também vimos como aplicá-la ao cálculo de um comprimento em falta, trabalhando de trás para frente, desde o conhecimento da razão das áreas até o cálculo da razão dos comprimentos.

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