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Suponha que três dos pontos rotulados sejam escolhidos aleatoriamente. Qual é a probabilidade de os pontos escolhidos serem colineares?
Bem, primeiro vamos verificar o que significa colinear. Isso significa que os pontos estão em linha reta. Então, temos cinco pontos para escolher. Vamos escolher três deles aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que esses três pontos estejam todos em linha reta?
Agora, olhando para esses cinco pontos, os únicos três que estão todos na mesma reta são 𝐹, 𝐺 e 𝐻. Agora, não importa se escolhemos 𝐻 primeiro e 𝐺 depois 𝐹 ou 𝐹 então 𝐺 então 𝐻 ou qualquer outra ordem desses três pontos, mas eles são os três pontos que devemos escolher para obtermos pontos colineares.
Então, temos cinco pontos diferentes para escolher e precisamos escolher três deles. Vamos usar nossa fórmula de 𝑛-escolher-r, onde 𝑛, é o número de pontos diferentes, que é cinco e 𝑟, é o número que precisamos escolher, que é três.
Agora, há várias formas diferentes de observar essa fórmula específica, então você escolher aquela que é mais familiar para você. Mas todas elas se resumem a esse cálculo: 𝑛 fatorial sobre 𝑟 fatorial vezes 𝑛 menos 𝑟 fatorial. Portanto, se substituirmos os números, onde, 𝑛 é cinco e 𝑟 é três, obtemos cinco fatorial sobre três fatorial vezes cinco menos três fatorial. Bem, cinco menos três são dois.
Simplificando temos, cinco fatorial sobre três fatorial dois fatorial. E, claro que, cinco fatorial significa cinco vezes quatro vezes três vezes dois vezes um; três fatorial significa três vezes dois vezes um; e dois fatorial é apenas duas vezes um. Agora podemos cancelar os três, os dois e os uns. Então eu tenho cinco vezes quatro sobre duas vezes um, que é 20 sobre dois, que é 10.
Portanto, existem 10 maneiras de escolher três pontos diferentes dos nossos cinco pontos diferentes. Mas apenas uma dessas formas envolve ter 𝐻, 𝐺 e 𝐹 como as três letras que nos interessam.
Então, das 10 maneiras diferentes que temos de selecionar três letras de cinco, apenas uma delas é o grupo 𝐹, 𝐺, 𝐻. Isso significa que apenas um dos 10 resultados possíveis os pontos escolhidos serão colineares, então a resposta é que a probabilidade de que eles sejam colineares é um sobre 10, um décimo.
