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Vídeo da aula: Adicionando e subtraindo frações algébricas Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como adicionar e subtrair frações algébricas.

17:17

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como adicionar e subtrair frações algébricas, que são simplesmente frações em que o numerador, o denominador ou ambos envolvem expressões algébricas em vez de apenas números. Por exemplo, dois sobre 𝑥 mais quatro e três sobre 𝑥 menos um, estes são exemplos de frações algébricas.

Antes de mergulharmos no trabalho com frações algébricas, vamos lembrar como podemos adicionar ou subtrair frações numéricas. E consideraremos o exemplo de dois quintos mais um quarto. Sabemos que, para adicionar ou subtrair frações, precisamos de um denominador comum. E geralmente procuramos fazer deste o menor múltiplo comum dos dois denominadores originais. Neste caso, é o menor múltiplo comum de cinco e quatro, que é 20. Observe que, neste caso, 20 também é igual ao produto de cinco por quatro. Embora nem sempre seja este o caso.

Em seguida, convertemos cada uma das nossas frações numa fração equivalente com o denominador de 20. No caso da nossa primeira fração de dois quintos, isso significa multiplicar o numerador e o denominador por quatro. E no caso da nossa segunda fração, precisamos multiplicar o numerador e o denominador por cinco. Isto dá oito sobre 20 mais cinco sobre 20. E como as duas frações têm agora o mesmo denominador de 20, adicionamo-las simplesmente adicionando os seus numeradores, dando uma resposta a este problema numérico de 13 sobre 20.

Agora, adicionar ou subtrair frações como esta é provavelmente algo que tem feito por muitos anos. As regras para adicionar e subtrair frações algébricas são exatamente as mesmas. Antes que possamos adicionar ou subtrair duas frações algébricas, devemos primeiro convertê-las em frações equivalentes com um denominador comum. Os nossos denominadores, e talvez também os numeradores, serão expressões algébricas, mas o processo que seguimos é exatamente o mesmo. Então, vamos ver um exemplo.

Dado que 𝑎 sobre 𝑏 e 𝑐 sobre 𝑑 são frações algébricas, escreva 𝑎 sobre 𝑏 mais 𝑐 sobre 𝑑 na forma 𝑥 sobre 𝑦.

Nesta questão, pedem-nos para determinar a soma de duas frações algébricas. Se imaginarmos, em vez disso, que 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 são números inteiros em vez de termos algébricos, então este problema parece muito semelhante a uma questão como dois quintos mais um quarto. Sabemos que, para adicionar estas duas frações numéricas, precisamos de determinar um denominador comum. E podemos determinar isto multiplicando os dois denominadores originais. No nosso exemplo numérico, isto dá um denominador comum de 20. No exemplo algébrico, o denominador comum será o produto de 𝑏 e 𝑑, que podemos escrever como 𝑏𝑑.

Também precisamos de converter os numeradores para que as frações que estamos a adicionar sejam equivalentes àquelas com as quais começámos. No nosso exemplo numérico, precisamos de multiplicar o numerador e o denominador de dois quintos por quatro e o numerador e o denominador de um quarto por cinco. Em cada caso, estamos a multiplicar pelo outro denominador. No exemplo algébrico, no caso de 𝑎 sobre 𝑏, precisamos de multiplicar o numerador e o denominador por 𝑑. E no caso de 𝑐 sobre 𝑑, precisamos de multiplicar o numerador e o denominador por 𝑏.

Isto dá 𝑎𝑑 sobre 𝑏𝑑 mais 𝑏𝑐 sobre 𝑏𝑑. E agora temos duas frações algébricas com um denominador comum. Podemos, portanto, adicioná-los adicionando os seus numeradores, o que dá 𝑎𝑑 mais 𝑏𝑐 tudo sobre 𝑏𝑑. Esta fração não pode ser mais simplificada. Portanto, temos a nossa resposta para o problema. Escrevemos 𝑎 sobre 𝑏 mais 𝑐 sobre 𝑑 na forma 𝑥 sobre 𝑦. 𝑥 é igual à expressão algébrica 𝑎𝑑 mais 𝑏𝑐 e 𝑦 é a expressão algébrica 𝑏𝑑.

Portanto, embora as questões que envolvem frações algébricas possam parecer um pouco mais assustadoras do que as questões numéricas, seguimos exatamente o mesmo processo. Vamos agora ver um exemplo um pouco mais complicado em que os denominadores das duas frações que estamos a adicionar são expressões algébricas em vez de termos individuais.

Escreva quatro sobre 𝑥 mais dois mais dois sobre 𝑥 menos um como uma única fração na sua forma mais simples.

Estamos a ser solicitados a adicionar estas duas frações algébricas. Portanto, precisamos de lembrar os métodos pelos quais podemos fazer isto. O processo no qual adicionamos frações algébricas é exatamente o mesmo que quando adicionamos frações numéricas. Então, primeiro, devemos determinar um denominador comum para as nossas duas frações. Podemos determinar isto multiplicando os dois denominadores originais, dando 𝑥 mais dois multiplicado por 𝑥 menos um. Em seguida, precisamos de converter cada fração numa fração equivalente com este denominador.

Para a primeira fração, se multiplicarmos o denominador por 𝑥 menos um, também devemos multiplicar o numerador por 𝑥 menos um. E para a segunda fração, se estamos a multiplicar o denominador por 𝑥 mais dois, também devemos multiplicar o numerador por 𝑥 mais dois. Portanto, temos quatro multiplicado por 𝑥 menos um sobre 𝑥 mais dois 𝑥 menos um mais dois multiplicado por 𝑥 mais dois também sobre 𝑥 mais dois 𝑥 menos um.

Como as duas frações agora têm um denominador comum, combinamo-las adicionando os seus numeradores, dando quatro multiplicado por 𝑥 menos um mais dois multiplicado por 𝑥 mais dois tudo sobre 𝑥 mais dois multiplicado por 𝑥 menos um. Para simplificar, distribuímos cada conjunto de parênteses no numerador, dando quatro 𝑥 menos quatro mais dois 𝑥 mais quatro tudo sobre 𝑥 mais dois 𝑥 menos um e depois vemos se algo pode ser anulado. Temos menos quatro mais quatro, então estes dois termos anulam-se diretamente. E a seguir quatro 𝑥 mais dois 𝑥 simplifica para seis 𝑥. Portanto, temos a nossa resposta final de seis 𝑥 sobre 𝑥 mais dois multiplicada por 𝑥 menos um.

Esta é uma única fração e está na sua forma mais simples, pois não há fatores comuns que possam ser anulados do numerador e do denominador. A nossa resposta ao problema é seis 𝑥 sobre 𝑥 mais dois multiplicado por 𝑥 menos um.

No nosso próximo exemplo, veremos como adicionar ou subtrair frações algébricas onde o denominador de uma fração é um fator do denominador da outra.

Escreva dois sobre 𝑥 menos três ao quadrado mais sete sobre 𝑥 menos três como uma única fração na sua forma mais simples.

Nesta questão, então, estamos a determinar a soma de duas frações algébricas. Lembramos que o primeiro passo em qualquer problema que envolva adicionar ou subtrair frações, sejam numéricas ou algébricas, é determinar um denominador comum. Mas precisamos de ter um pouco de cuidado aqui, porque se olharmos atentamente para os nossos denominadores, vemos que já têm algo em comum. Um dos nossos denominadores é 𝑥 menos três e o outro é simplesmente 𝑥 menos três, tudo ao quadrado.

Um denominador é, portanto, um fator do outro. Então, para determinar um denominador comum, não vamos simplesmente multiplicar os dois denominadores. Vamos pensar no exemplo numérico um quarto mais três oitavos. Agora, o produto dos denominadores quatro e oito é 32, mas este não é o menor múltiplo comum dos dois números. Como quatro é um fator de oito, o menor múltiplo comum dos dois denominadores é simplesmente oito. Portanto, precisaríamos apenas de converter uma das nossas duas frações numa fração equivalente para as poder adicionar. Converteríamos a fração de um quarto em dois oitavos e depois adicionaríamos isto a três oitavos, dando uma resposta final de cinco oitavos.

Vamos agora aplicar a mesma lógica ao problema algébrico. 𝑥 menos três é um fator de 𝑥 menos três ao quadrado. Portanto, o denominador comum que utilizaremos é 𝑥 menos três ao quadrado. E precisaremos apenas de converter a nossa segunda fração. A nossa primeira fração permanece inalterada. E para criar um denominador de 𝑥 menos três ao quadrado no segundo, temos que multiplicar por 𝑥 menos três. Então, fazemos o mesmo com o numerador, dando dois sobre 𝑥 menos três ao quadrado mais sete multiplicado por 𝑥 menos três sobre 𝑥 menos três multiplicado por 𝑥 menos três. Claro, podemos escrever o denominador da nossa segunda fração como 𝑥 menos três ao quadrado para que possamos ver que são comuns.

Como as duas frações que estamos a adicionar agora têm o mesmo denominador, combinamo-las adicionando os numeradores. Podemos então distribuir os parênteses no numerador apenas para dar dois mais sete 𝑥 menos 21 tudo sobre 𝑥 menos três ao quadrado e, finalmente, simplificar a expressão no numerador para dar menos 19 mais sete 𝑥 sobre 𝑥 menos três ao quadrado. Portanto, determinámos a soma destas duas frações algébricas como uma única fração na sua forma mais simples. A nossa resposta é menos 19 mais sete 𝑥 sobre 𝑥 menos três ao quadrado.

No nosso próximo exemplo, veremos como subtrair uma fração algébrica de um termo que é simplesmente um número inteiro.

Escreva dois menos dois sobre 𝑥 como uma única fração na sua forma mais simples.

O primeiro passo em qualquer problema que envolva adicionar ou subtrair frações, sejam elas numéricas ou algébricas, é determinar um denominador comum. Agora, neste exemplo, estamos a subtraie uma fração, dois sobre 𝑥, de um número inteiro, dois. Uma questão comparável utilizando apenas números seria algo como dois menos três quartos.

Agora, numa questão simples como esta, podemos descobrir a resposta de cabeça, mas quando estávamos a aprender a adicionar ou a subtrair frações, provavelmente teríamos seguido um processo parecido com este. Podemos primeiro ter pensado no inteiro dois como a fração dois sobre um. Podemos então ter escrito as duas frações com um denominador comum de quatro. Então, dois sobre um se tornaria dois multiplicado por quatro sobre quatro, que é oito sobre quatro. Como as duas frações agora tinham o mesmo denominador de quatro, poderíamos subtrair três quartos de oito quartos subtraindo os numeradores, dando cinco sobre quatro ou cinco quartos. E, no caso de um exemplo numérico, podemos converter isto para um numeral misto de um e um quarto.

Vamos agora aplicar a mesma lógica a este problema algébrico. O denominador da fração que estamos a subtrair é 𝑥. Portanto, este é o denominador comum que queremos utilizar para as duas frações. Também podemos pensar nisto como um multiplicado por 𝑥, se quisermos. Para expressar o número inteiro dois como uma fração com denominador de 𝑥, também precisamos de multiplicar o numerador por 𝑥. Portanto, o inteiro dois é equivalente à fração dois 𝑥 sobre 𝑥. Portanto, temos dois 𝑥 sobre 𝑥 menos dois sobre 𝑥. E como os denominadores destas duas frações são iguais, podemos combiná-los subtraindo os numeradores, dando dois 𝑥 menos dois sobre 𝑥.

Também podemos identificar neste caso que os termos no numerador têm um fator comum de dois. Portanto, podemos dar a nossa resposta fatorizada de dois multiplicado por 𝑥 menos um sobre 𝑥, embora isto não seja totalmente necessário. Portanto, seguindo exatamente os mesmos processos de quando subtraímos uma fração de um número inteiro, descobrimos que dois menos dois sobre 𝑥 como uma única fração na sua forma mais simples é dois 𝑥 menos dois sobre 𝑥.

Agora vimos vários exemplos, mas há alguns erros comuns que gostaria de destacar.

Suponha que adicionamos duas frações algébricas e, por meio de simplificação, chegamos ao resultado 𝑎 sobre 𝑎 mais 𝑏. Um erro comum é pensar que podemos anular um fator de 𝑎 no numerador e no denominador para dar um sobre um mais 𝑏 ou às vezes um sobre 𝑏. Isto está incorreto. 𝑎 não é um fator do denominador. Não é 𝑎 multiplicado por algo; é 𝑎 mais alguma coisa. Portanto, não podemos dividir por isto.

No entanto, se noutro problema, chegássemos a uma resposta de dois 𝑎 ao quadrado sobre 𝑎 multiplicado por 𝑎 mais quatro, poderíamos anular por um fator de 𝑎 aqui, pois o numerador é dois 𝑎 ao quadrado, que é dois 𝑎 multiplicado por 𝑎, e o denominador é 𝑎 multiplicado por 𝑎 mais quatro. Portanto, vemos que 𝑎 é um fator multiplicativo do numerador e do denominador. Neste caso, então, seria perfeitamente aceitável e de facto melhor prática anular este fator comum de 𝑎, levando a uma resposta final de dois 𝑎 sobre 𝑎 mais quatro.

Outra coisa com a qual precisamos de ter cuidado é que quando estamos a subtrair frações algébricas, devemos ter a certeza de que subtraímos todo o numerador na segunda fração. No caso do exemplo na tela, utilizaríamos um denominador comum de 𝑥 mais dois multiplicado por 𝑥 mais um, dando quatro multiplicado por 𝑥 mais um menos três multiplicado por 𝑥 mais dois no numerador. Tudo bem até agora.

A etapa que geralmente tropeça nas pessoas é a distribuição dos parênteses no numerador. O primeiro conjunto distribui para quatro 𝑥 mais quatro. Tudo bem. Mas no segundo conjunto, devemos lembrar que é menos três multiplicado por todo o 𝑥 mais dois. O erro comum é acertar o menos três 𝑥, mas depois escrever mais seis em vez de menos seis. Neste caso, se procedêssemos com mais seis em vez de menos seis, obteríamos o coeficiente de 𝑥 no numerador correto, mas obteríamos o termo constante errado.

Portanto, tome cuidado com cada um destes erros comuns e certifique-se de não cair em nenhuma destas armadilhas.

Antes de terminarmos, vamos ver um exemplo final que é um pouco mais complicado porque envolve uma expressão algébrica no numerador de uma fração.

Escreva 𝑥 sobre 𝑥 mais um mais 𝑥 mais quatro sobre 𝑥 menos três como uma única fração na sua forma mais simples.

O primeiro passo é determinar um denominador comum para as duas frações, o que fazemos multiplicando-as, dando 𝑥 mais um multiplicado por 𝑥 menos três. Multiplicamos o numerador e o denominador da primeira fração por 𝑥 menos três e o numerador e o denominador da segunda por 𝑥 mais um. Como as duas frações agora partilham um denominador comum, nós combinamo-las adicionando os numeradores.

Em seguida, distribuímos os parênteses no numerador. E é aqui que este exemplo é um pouco mais complicado do que os outros que vimos até agora, porque terminamos com alguns termos quadráticos. 𝑥 multiplicado por 𝑥 dá 𝑥 ao quadrado. Podemos simplificar o numerador juntando termos semelhantes. 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 ao quadrado é dois 𝑥 ao quadrado. Menos três 𝑥 mais 𝑥 mais quatro 𝑥 é mais dois 𝑥. E a seguir temos um termo constante de quatro.

Poderíamos, neste caso, fatorizar o numerador por dois, dando uma resposta final de dois multiplicado por 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 mais dois tudo sobre 𝑥 mais um multiplicado por 𝑥 menos três.

Neste problema, então, os métodos são exatamente os mesmos. Primeiro, determinamos um denominador comum multiplicando os dois denominadores individuais. Em seguida, determinamos as frações equivalentes com este denominador e combinamo-las adicionando os seus numeradores. É um pouco mais complicado, porém, porque terminamos com uma expressão quadrática no numerador, bem como uma no denominador.

Vamos agora rever alguns dos pontos principais que vimos neste vídeo. Em primeiro lugar, para adicionar ou subtrair frações algébricas, seguimos exatamente as mesmas regras de quando trabalhamos com frações numéricas. Primeiro determinamos um denominador comum, geralmente multiplicando os dois denominadores. Embora, como vimos, se um denominador for um fator do outro, precisaremos apenas de converter um.

Em seguida, convertemos cada fração numa fração equivalente com este denominador comum e combinamos adicionando ou subtraindo os numeradores. Podemos então distribuir os parênteses no numerador, simplificar a expressão resultante e anular se houver realmente algum fator comum entre o numerador e o denominador. Embora, como vimos nos nossos erros comuns, devemos ter muito cuidado ao fazer isto.

Seguindo estas regras, então, podemos estender o nosso conhecimento de adição de frações a questões em que o denominador, e possivelmente o numerador, de uma ou ambas as frações é uma expressão algébrica.

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